GRUNDDefinitionen
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann setzen wir
\[ a'b:=\{x\in{\mathcal P}\,:\,b\in ax\}\,. \]
Sind also \( a \) und \( b \) zwei Punkte, so bedeutet \( a'b \) die Menge aller Punkte \( x, \) für welche das Segment \( ax \) den Punkt \( b \) als inneren Punkt enthält.
Beispiel (Euklidische Ebene)
Es sei \( ab \) eine beschränkte, offene Strecke in der Euklidischen Ebene. Dann stellt \( a'b \) den in \( b \) beginnenden, beidseitig offenen und einseitig unbegrenzten Halbstrahl dar, der \(
ab \) selbst nicht enthält.
Beispiel (Isolinien)
Bedeutet \( x\in ab \) die Menge aller der Punkte \( x\in{\mathcal P} \) mit \( |a-x|=|b-x|, \) so ist
\[ a'b=\{x\in{\mathcal P}\,:\,|a-b|=|x-b|\}\,, \]
d.h. \( a'b \) stellt den Kreis mit Mittelpunkt \( b \) und Radius \( |a-b| \) dar ohne den Punkt \( a. \)
Beispiel (Reelle Zahlenachse)
In diesem Fall bedeuten \( ab=(ab)\subset\mathbb R \) und \( a'b=(b,\infty). \)
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann setzen wir
\[ ab':=\{x\in{\mathcal P}\,:\,a\in xb\}\,. \]
Sind also \( a \) und \( b \) zwei Punkte, so bedeutet \( ab' \) die Menge aller Punkte \( x, \) für welche das Segment \( xb \) den Punkt \( a \) als inneren Punkt enthält.
Beispiel (Euklidische Ebene)
Es sei \( ab \) eine beschränkte, offene Strecke in der Euklidischen Ebene. Dann stellt \( ab' \) den in \( a \) beginnenden, beidseitig offenen und einseitig unbegrenzten Halbstrahl dar, der \(
ab \) selbst nicht enthält.
Beispiel (Isolinien)
Bedeutet \( x\in ab \) die Menge aller Punkte \( x\in{\mathcal P} \) mit \( \|a-x|=|b-x|, \) so ist
\[ ab'=\{x\in{\mathcal P}\,:\,|a-b|=|a-x|\}\,, \]
d.h. \( ab' \) stellt den Kreis mit Mittelpunkt \( a \) und Radius \( |a-b| \) dar ohne den Punkt \( b. \)
Beispiel (Reelle Zahlenachse)
In diesem Fall bedeuten \( ab=(ab)\subset\mathbb R \) und \( ab'=(-\infty,a). \)
Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( k\in{\mathcal F}. \) Dann setzen wir
\[ ak:=\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in ay\}\,. \]
Beispiel (Euklidische Ebene)
Beispiel (Isolinien)
Beispiel (Reelle Zahlenachse)
Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( k\in{\mathcal F}. \) Dann setzen wir
\[ a'k:=\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in a'y\}\,. \]
Beispiel (Euklidische Ebene)
Beispiel (Isolinien)
Beispiel (Reelle Zahlenachse)
Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( k\in{\mathcal F}. \) Dann setzen wir
\[ ak':=\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in ay'\}\,. \]
Beispiel (Euklidische Ebene)
Beispiel (Isolinien)
Beispiel (Reelle Zahlenachse)
Es seien \( h,k\in{\mathcal F}. \) Dann setzen wir
\[ hk:=\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in yk\}\,. \]
Beispiel (Euklidische Ebene)
Beispiel (Isolinien)
Beispiel (Reelle Zahlenachse)
Definition 7
Es seien \( h,k\in{\mathcal K}. \) Dann setzen wir
\[ h'k := \{ x\in{\mathcal P} \,:\, \mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in y'k \}\,. \]
\( \circ \) Es ist also \( h'k = \displaystyle\bigcup_{y\in h}y'k. \)
Beispiel (Euklidische Ebene)
Beispiel (Isolinien)
Beispiel (Reelle Zahlenachse)
Definition 8
Es seien \( h,k\in{\mathcal K}. \) Dann setzen wir
\[ hk' := \{ x\in{\mathcal P} \,:\, \mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in yk' \}\,. \]
\( \circ \) Es ist also \( hk' = \displaystyle\bigcup_{y\in h}yk'\,. \)
Beispiel (Euklidische Ebene)
Beispiel (Isolinien)
Beispiel (Reelle Zahlenachse)
Definition 9
Es sei \( h\in{\mathcal K}. \) Dann setzen wir
\[ h'' := hh'\,. \]
Beispiel (Euklidische Ebene)
Beispiel (Isolinien)
Beispiel (Reelle Zahlenachse)
Definition 10
Wir setzen
\[ {\mathcal G}:=\{x\,:\,\mbox{es gibt}\ a,b\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ a\not=b\ \mbox{und}\ x=(ab)''\}\,. \]
\( \circ \) Es ist also \( {\mathcal G} \) die Menge aller Geraden.
Beispiel (Euklidische Ebene)
Beispiel (Isolinien)
Beispiel (Reelle Zahlenachse)
Definition 11
Wir setzen
\[ \mbox{Col}:=\{(a,b,c)\in{\mathcal P}^3\,:\,\mbox{es gibt ein}\ r\in{\mathcal G}\ \mbox{mit}\ a,b,c\in r\}\,. \]
\( \circ \) Es ist also \( \mbox{Col} \) die Menge aller kolinearen Punkttripel \( (a,b,c)\in{\mathcal P}^3. \)
Beispiel (Euklidische Ebene)
Beispiel (Isolinien)
Beispiel (Reelle Zahlenachse)
Definition 12
Wir setzen
\[ {\mathcal E}:=\{x\,:\,\mbox{es gibt}\ a,b,c\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ (a,b,c)\not\in\mbox{Col}\ \mbox{und}\ x=(abc)''\}\,. \]
\( \circ \) Es ist also \( {\mathcal E} \) die Menge aller Ebenen.
Definition 13
Wir setzen
\[ \mbox{Copl}:=\{(a,b,c,d)\in{\mathcal P}^4\,:\,\mbox{es gibt ein}\ p\in{\mathcal E}\ \mbox{mit}\ a,b,c,d\in p\}\,. \]
\( \circ \) Es ist also \( \mbox{Copl} \) die Menge aller koplanaren Punktquadrupel \( (a,b,c,d)\in{\mathcal P}^4. \)
Definition 14
Wir setzen
\[ \mbox{Conv}:=\{x\in{\mathcal K}\,:\,\mbox{für alle}\ a,b\in x\ \mbox{gilt}\ ab\subseteq x\}\,. \]
\( \circ \) Es ist also \( \mbox{Conv} \) die Menge aller konvexen Figuren.
Abkürzungen
Wir verwenden folgende Schreibweisen:
\[ abc:=a(bc),\quad a'bc:=a'(bc),\quad a'b'c:=a'(b'c),\quad abcd:=a(bcd)\quad\mbox{usw.} \]