Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 4:

Komplexe Zahlen - Eigenschaften komplexer Zahlen


 

 

Lösungen zu den Aufgaben Definition komplexer Zahlen

 

Lösung zur Aufgabe 4.1.1 - Real- und Imaginärteil komplexer Zahlen

(i) \( \mbox{Re}\,z=3,\ \mbox{Im}\,z=-1 \) (ii) \( \mbox{Re}\,z=0,\ \mbox{Im}\,z=27 \)
(iii) \( \mbox{Re}\,z=17,\ \mbox{Im}\,z=1 \)    

 

Lösungen zu den Aufgaben Addition und Multiplikation komplexer Zahlen

 

Lösung zur Aufgabe 4.1.2 - Summe und Produkt komplexer Zahlen

(i) \( z_1+z_2=(1,-10), \) \( z_1\cdot z_2=(24,-12) \)
(ii) \( z_1+z_2=(3,-3), \) \( z_1\cdot z_2=(12,-1) \)
(iii) \( z_1+z_2=(21,7), \) \( z_1\cdot z_2=(54,126) \)

 

Lösungen zu den Aufgaben Die komplexe Einheit

 

Lösung zur Aufgabe 4.1.3 - Vereinfachen komplexer Zahlen

(i) \( z=2 \) (ii) \( z=17+7i \)
(iii) \( z=-i \) (iv) \( \displaystyle z=\frac{1}{10}+\frac{7i}{10} \)

 

Lösung zur Aufgabe 4.1.4 - Potenzen komplexer Zahlen

(i) Wir nutzen \( i^2=-1 \) und \( i^3=i^2\cdot i=-i. \) Es folgen
  \( \circ\quad i^4=i^3\cdot i=(-i)\cdot i=-i\cdot i=1 \)
  \( \circ\quad i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i \)
  \( \circ\quad i^6=i^5\cdot i=i\cdot i=i^2=-1 \)
  \( \circ\quad i^7=i^6\cdot i=(-1)\cdot i=-i \)
  \( \circ\quad i^8=i^7\cdot i=(-i)\cdot i=-i\cdot i=1 \)
  Als allgemeine Regel finden wir

\[ i^n =\left\{ \begin{array}{rlcl} 1, & \quad\mbox{falls}\ n=4,8,12,\ldots & \quad\mbox{bzw.} & \quad n=4k,\ k\in\mathbb N \\[0.6ex] i, & \quad\mbox{falls}\ n=1,5,9,\ldots & \quad\mbox{bzw.} & \quad n=4k-3,\ k\in\mathbb N \\[0.6ex] -1, & \quad\mbox{falls}\ n=2,6,10,\ldots & \quad\mbox{bzw.} & \quad n=4k-2,\ k\in\mathbb N \\[0.6ex] -i, & \quad\mbox{falls}\ n=3,7,11,\ldots & \quad\mbox{bzw.} & \quad n=4k-1,\ k\in\mathbb N \end{array} \right.. \]

(i) Wir berechnen
  \( \circ\quad z=2+5i+8i^2+9i^3+6i^7=2+5i-8-9i-6i=-6-10i \)
  \( \circ\quad z=i^{10}+i^{14}-i^{17}+(-i)^{23}=-1-1+i-i=-2 \)

 

Lösung zur Aufgabe 4.1.5 - Quadratische Gleichungen mit komplexwertigen Lösungen

(i) \( z_1=5-\sqrt{15}\,i, \) \( z_2=5+\sqrt{15}\,i \)
(ii) \( \displaystyle z_1=\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{43}}{2}\,i, \) \( \displaystyle z_2=\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{43}}{2}\,i \)

 

Lösungen zu den Aufgaben Die komplexen Zahlen sind nicht anordbar

 

Lösung zur Aufgabe 4.1.6 - Es gibt keine Anordnung in \( \mathbb C \)

Betrachte \( z=1+i. \) Es ist \( 1+i\not=0. \) Angenommen, es ist \( 1+i\gt 0. \) Dann folgt, wie in Paragraph 4.1.4, \[ (1+i)^2\gt 0\quad\mbox{bzw.}\quad 2i\gt 0\quad\mbox{bzw.}\quad i\gt 0. \] Das führt aber, wie in Paragraph 4.1.4 ausgeführt, zu einem Widerspruch. Angenommen, es ist \( -(1+i)\gt 0. \) Dann folgt mit \[ \big[-(1+i)\big]^2\gt 0\quad\mbox{bzw.}\quad 2i\gt 0\quad\mbox{bzw.}\quad i\gt 0 \] erneut ein Widerspruch. Der Körper \( \mathbb C \) ist also nicht angeordnet.\( \qquad\Box \)

 

Lösungen zu den Aufgaben Die komplexe Ebene

 

Lösung zur Aufgabe 4.1.7 - Komplexe Konjugation und Betrag - Praxis

(i) \( \overline z=\sqrt{3}-i, \) \( |z|=2, \)
(ii) \( \overline z=7, \) \( |z|=7 \)
(iii) \( \overline z=\sqrt{2}+7i, \) \( |z|=\sqrt{51} \)
(iv) \( \overline z=3-i, \) \( |z|=\sqrt{10} \)
(v) \( \displaystyle\overline z=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}, \) \( \displaystyle|z|=\sqrt{\frac{1}{2}} \)
(vi) \( \displaystyle\overline z=\frac{1}{5}+\frac{7i}{5}, \) \( \displaystyle|z|=\sqrt{2} \)

 

Lösung zur Aufgabe 4.1.8 - Komplexe Konjugation und Betrag - Theorie

(i) Sei \( z=x+iy. \) Dann ist nach Definition der reellen Wurzelfunktion

\[ |z|=\sqrt{x^2+y^2}\ge 0. \]

  Da diese Funktion genau dann verschwindet, wenn ihr Argument verschwindet, folgt

\[ \begin{array}{lll} |z|=0\quad & \mbox{genau dann, wenn} & \quad\sqrt{x^2+y^2}=0 \\ \quad & \mbox{genau dann, wenn} & \quad x^2+y^2=0, \end{array} \]

  und das ist genau dann der Fall, wenn \( x=y=0. \)
(ii) Wir ermitteln

\[ \overline{\overline z} =\overline{\overline{x+iy}} =\overline{x-iy} =x+iy =z. \]

(iii) Wir ermitteln

\[ |z| =|x+iy| =\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{x^2+(-y)^2} =|x+i(-y)| =|\overline z|. \]

(iv) Wir ermitteln

\[ z\cdot\overline z =(x+iy)\cdot(x-iy) =x^2-i^2y^2-ixy+ixy =x^2+y^2 =|z|^2\,. \]

(v) Mit \( z_1=x_1+iy_1 \) und \( z_2=x_2+iy_2 \) ermitteln wir

\[ \begin{array}{lll} \overline{z_1+z_2} & = & \displaystyle \overline{x_1+x_2+i(y_1+y_2)} =x_1+x_2-i(y_1+y_2) \\ & = & \displaystyle (x_1-iy_1)+(x_2-iy_2) =\overline z_1+\overline z_2\,. \end{array} \]

(vi) Mit \( z_1=x_1+iy_1 \) und \( z_2=x_2+iy_2 \) ermitteln wir

\[ \begin{array}{lll} \overline{z_1\cdot z_2} & = & \displaystyle \overline{(x_1+iy_1)\cdot(x_2+iy_2)} =\overline{(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)} \\ & = & \displaystyle (x_1x_2-y_1y_2)-i(x_1y_2+x_2y_1) \\ & = & \displaystyle x_1x_2-(-y_1)(-y_2)+i\,\big\{x_1(-y_2)+x_2(-y_1)\big\} \\ & = & \displaystyle (x_1-iy_1)\cdot(x_2-iy_2) =\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\,. \end{array} \]

(vii) Mit \( z_1=x_1+iy_1 \) und \( z_2=x_2+iy_2 \) ermitteln wir

\[ \begin{array}{lll} |z_1\cdot z_2| & = & \displaystyle |(x_1+iy_1)\cdot(x_2+iy_2)| =|x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)| \\ & = & \displaystyle \sqrt{(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2} \\ & = & \displaystyle \sqrt{x_1^2x_2^2-2x_1x_2y_1y_2+y_1^2y_2^2+x_1^2y_2^2+2x_1x_2y_1y_2+x_1^2y_1^2} \\ & = & \displaystyle \sqrt{x_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2+x_1^2y_2^2+x_1^2y_1^2} \\ & = & \displaystyle \sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)} =\sqrt{|z_1|^2|z_2|^2} =|z_1|\cdot|z_2|. \end{array} \] Damit ist alles bewiesen.\( \qquad\Box \)

 

Lösung zur Aufgabe 4.1.9 - Dreiecksungleichung und Parallelogrammgleichung

(i) Wir berechnen

\[ \begin{array}{l} |w+z|^2 \,=\,(z+w)\cdot\overline{(z+w)} \,=\,z\overline z+z\overline w+\overline z w+w\overline w \\ \qquad\displaystyle =\,|z|^2+z\overline w+\overline zw+|w|^2 \,=\,|z|^2+z\overline w+\overline{z\overline w}+|w|^2 \\ \qquad\displaystyle =\,|z|^2+2\mbox{Re}\,(z\overline w)+|w|^2 \le|z|^2+2|\mbox{Re}\,(z\overline w)|+|w|^2 \\ \qquad\displaystyle \le\,|z|^2+2|z||\overline w|+|w|^2 \,=\,|z|^2+2|z||w|+|w|^2 \,=\,(|z|+|w|)^2\,. \end{array} \]

  Das zeigt die Dreiecksungleichung.
(ii) Mit \( w=u+iv \) und \( z=x+iy \) berechnen wir

\[ \begin{array}{l} |w+z|^2+|w-z|^2 \,=\,|(u+x)+i(v+y)|^2+|(u-x)+i(v-y)|^2 \\ \qquad\displaystyle =\,(u+x)^2+(v+y)^2+(u-x)^2+(v-y)^2 \\ \qquad\displaystyle =\,u^2+2ux+x^2+v^2+2vy+y^2+u^2-2ux+x^2+v^2-2vy+y^2 \\ \qquad\displaystyle =\,2(u^2+v^2)+2(x^2+2y^2) \,=\,2|w|^2+2|z|^2 \,=\,2(|w|^2+|z|^2). \end{array} \]

  Das zeigt die Parallelogrammgleichung.

Damit ist alle gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

Lösung zur Aufgabe 4.1.10 - Polynomielle Gleichungen mit reellen Koeffizienten

Wir ermitteln wegen \( \overline 0=0 \) und \( p_i\in\mathbb R \) für alle \( i=0,\ldots,n-1 \) \[ \begin{array}{lll} 0 & = & \overline{z^n+p_{n-1}z^{n-1}+p_{n-2}z^{n-2}+\ldots+p_1z+p_0} \\ & = & \overline{z^n}+\overline{p_{n-1}z^{n-1}}+\overline{p_{n-2}z^{n-2}}+\ldots+\overline{p_1z}+\overline{p_0} \\ & = & \overline z^n+\overline{p_{n-1}}\,\overline z^{n-1}+\overline{p_{n-2}}\,\overline z^{n-2}+\ldots+\overline{p_1}\,\overline z+\overline{p_0} \\ & = & \overline z^n+ p_{n-1}\overline z^{n-1}+p_{n-2}\overline z^{n-2}+\ldots+p_1\overline z+p_0\,. \end{array} \] Also ist auch \( \overline z \) Lösung der polynomiellen Gleichung.\( \qquad\Box \)

 

Lösung zur Aufgabe 4.1.11 - Komplexe Zahlen auf dem Einheitskreis

Wir ermitteln

\( \circ \) \( \displaystyle|\overline z|=|z|=1 \)
\( \circ \) \( \displaystyle\left|\frac{1}{z}\right|=\left|\frac{\overline z}{z\cdot\overline z}\right|=\left|\frac{\overline z}{|z|^2}\right|=|\overline z|=1 \)
\( \circ \) \( \displaystyle|wz|=|w||z|=1 \)
\( \circ \) \( \displaystyle\left|\frac{w}{z}\right|=\left|\frac{w\overline z}{z\overline z}\right|=\left|\frac{w\overline z}{|z|^2}\right|=|w\overline z|=|w||\overline z|=1 \)

Die letzte Teilaufgabe haben wir bereits im zweiten Punkt bewiesen: \[ \frac{1}{z}=\frac{\overline z}{z\cdot\overline z}=\frac{\overline z}{|z|^2}=\overline z\,. \] Damit ist alle gezeigt.\( \qquad\Box \)