19. Potentialtheorie

19.1 Klassische Differentialoperatoren

19.2 Potentiale und Gebietszusammenhang

19.3 Kurvenintegrale

19.4 Flächenintegrale

19.1 Klassische Differentialoperatoren

19.1.1 Vektorfelder

Wir beginnen mit der

Definition: Eine Abbildung \( f\colon\Omega\to\mathbb R^n \) auf einer offenen Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) bezeichnen wir als ein Vektorfeld.

Zwei Beispiele solcher Vektorfelder sind

Wir empfehlen die Wikipedia-Seiten zum ➝ Gravitationsfeld und zum ➝ magnetischen Feld.

19.1.2 Die Divergenz

Definition: Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) eine offene Menge. Dann erklären wir die Divergenz der Abbildung \[ f(x)=(f_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,f_n(x_1,\ldots,x_n))\in C^1(\Omega,\mathbb R^n) \] an der Stelle \( x\in\Omega \) gemäß \[ \mbox{div}\,f(x):=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_i}\,. \]

Die Divergenz lässt sich auch als Spur der Jacobimatrix \( \partial f(x) \) schreiben, genauer \[ \mbox{div}\,f(x) =\mbox{Spur}\,\partial f(x) =\mbox{Spur} \left( \begin{array}{ccc} f_{1,x_1} & \cdots & f_{1,x_n} \\ \vdots & & \vdots \\ f_{n,x_1} & \cdots & f_{n,x_n} \end{array} \right) =\sum_{i=1}^n\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_i}\,. \]

Häufig verwendet man folgende Sprechweisen:

Wir erinnern schließlich an den Nablaoperator bzw. Gradienten einer Funktion \( f\colon\Omega\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R \) \[ \nabla f(x)\equiv\mbox{grad}\,f(x):=\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}\,,\ldots,\frac{\partial f(x)}{\partial x_n}\right). \]

19.1.3 Die Rotation

Achten Sie im Folgenden auf die Dimension \( n=3. \)

Definition: Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^3 \) eine offene Menge. Dann erklären wir die Rotation der Abbildung \[ f(x)=(f_1(x_1,x_2,x_3),f_2(x_1,x_2,x_3),f_3(x_1,x_2,x_3))\in C^1(\Omega,\mathbb R^3) \] an der Stelle \( x\in\Omega \) gemäß \[ \mbox{rot}\,f(x) :=\left( \frac{\partial f_3(x)}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2(x)}{\partial x_3}\,, \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3(x)}{\partial x_1}\,, \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2}\,, \right). \]

Auch hier vereinbaren wir:

Mit dem Nablaoperator bzw. Gradienten schreibt man auch hier gelegentlich symbolisch \[ \mbox{rot}\,f(x)=\nabla\times f(x). \]

19.1.4 Potentiale und Gradientenfelder

Im Zentrum des vorliegenden Kapitels stehen Potentiale und Gradientenfelder. Dazu zunächst die

Definition: Auf der offenen Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) sei die Abbildung \( f\colon\Omega\to\mathbb R^n \) gegeben. Eine differenzierbare Abbildung \( \varphi\colon\Omega\to\mathbb R \) mit der Eigenschaft \[ \mbox{grad}\,\varphi(x)=f(x)\quad\mbox{in}\ \Omega \] heißt ein Potential von \( f(x). \) Umgekehrt heißt \( f(x) \) ein Gradientenfeld, wenn ein Potential \( \varphi(x) \) von \( f(x) \) existiert.

Der folgende, als Übung zu beweisende Satz beinhaltet eine notwendige Bedingung an ein Vektorfeld, ein Gradientenfeld zu sein. Achten Sie aber hierbei auf die Dimensionszahl \( n=3. \)

Satz: Es seien \( \Omega\subseteq\mathbb R^3 \) offen und \( \varphi\in C^2(\Omega,\mathbb R) \) ein Potential des Gradientenfeldes \( f\colon\Omega\to\mathbb R^3. \) Dann gilt \[ \mbox{rot}\,f(x)=0\quad\mbox{in}\ \Omega. \] Mit anderen Worten:

Notwendige und hinreichende Bedingungen allgemeiner Vektorfelder, Gradientenfelder zu sein, werden wir im nächsten Abschnitt kennenleren.

19.1.5 Laplaceoperator und harmonische Funktionen

Definition: Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) eine offene Menge. Dann erklären wir den Laplaceoperator der Abbildung \[ f(x)=f(x_1,\ldots,x_n)\in C^2(\Omega,\mathbb R) \] an der Stelle \( x\in\Omega \) gemäß \[ \Delta f(x):=\mbox{div}\,\mbox{grad}\,f(x). \]

Der Laplaceoperator spielt in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung die grundlegende Rolle.

Die einfachste partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung ist die sogenannte Laplacegleichung \[ \Delta f(x)=0\quad\mbox{in}\ \Omega. \] Sie muss noch vervollständigt werden durch Randbedingungen o.ä., zum Beispiel durch Vorgabe von \( f(x) \) auf dem Rand \( \partial\Omega. \)

Eine Funktion, die der Laplacegleichung genügt, heißt harmonisch.

19.1.6 Aufgaben und Wiederholungsfragen

\[ \mbox{rot}\,f(x)=0\quad\mbox{in}\ \Omega. \]

\[ f(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2\,,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \]

\[ \Delta(fg)=f\Delta g+2\langle\nabla f,\nabla g\rangle+g\Delta f \]

Rechenaufgaben: 2, 3, 5, 7, 10, 11, 14, 15, 16

19.2 Potentiale und Gebietszusammenhang

19.2.1 Zusammenhang und Wegzusammenhang

Definition: Eine nichtleere Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) heißt

\[ U\cap\Omega=\emptyset\quad\mbox{oder}\quad V\cap\Omega=\emptyset; \]

\[ \gamma\colon[0,1]\longrightarrow\Omega \quad\mbox{mit}\quad \gamma(0)=x,\ \gamma(1)=y. \]

Satz: Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) offen und nichtleer. Dann sind äquivalent:

In diesem Satz bedeuten

\[ 0=t_0\lt t_1\lt t_2\lt\ldots\lt t_N=1,\quad N\in\mathbb N, \]

\[ \pi(x,y):=\overline{x_1x_2}\cup\overline{x_2x_3}\cup\ldots\cup\overline{x_{N-1}x_N}\subset\mathbb R^n \] ein stetiger Polygonzug, worin \( \overline{x_ix_{i+1}}:=\{x_i+t(x_{i+1}-x_i)\,:\,t\in[0,1]\} \) die Verbindungsstrecke zwischen zwei Knotenpunkten \( x_i,x_{i+1}\in\mathbb R^n \) des Polygonzugs bezeichnet.

Beachten Sie in diesem Satz ferner, dass \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) eine offene Menge ist. In allgemeinen topologischen Räumen, wie wir sie in der Analysis 2 kennengelernt haben, ist dieser Satz nicht richtig. Wir verweisen auf folgende, inhaltlich jeweils unterschiedlich ausgerichtete Literatur, die Sie auch online in unserer Bibliothek erhalten:

19.2.2 Sternförmige Gebiete

Definition: Unter einem Gebiet verstehen wir eine nichtleere, offene und zusammenhängende Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n. \)

Definition: Ein Gebiet \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) heißt sternförmig, falls ein \( x\in\Omega \) existiert, so dass gilt \[ \overline{xy}\subset\Omega\quad\mbox{für alle}\ y\in\Omega. \]

Beispielsweise sind konvexe Gebiete sternförmig, und jedes sternförmige Gebiet ist zusammenhängend.

Der spezielle Punkt \( x\in\Omega \) in der Definition heißt Zentrumspunkt. Sternförmige Gebiete können mehrere Zentrumspunkte besitzen.

19.2.3 Existenz von Gradientenfeldern

Wir widmen uns nun der Frage nach der Existenz von Gradientenfeldern. Zunächst dazu folgendes notwendige Kriterium, dessen Beweis wir als Übung belassen.

Satz: Auf der offenen Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) sei das stetig differenzierbare Gradientenfeld \( f\colon\Omega\to\mathbb R^n \) mit dem zweimal stetig partiell differenzierbarem Potential \( \varphi\colon\Omega\to\mathbb R \) gegeben. Dann gelten die Integrabilitätsbedingungen \[ \frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j(x)}{\partial x_i}\quad\mbox{in}\ \Omega \] für alle \( i,j=1,\ldots,n. \)

Auf sternförmigen Gebieten sind die Integrabilitätsbedingungen sogar hinreichend, wie unser zweites Kriterium lehrt.

Satz: Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) ein sternförmiges Gebiet mit Zentrumspunkt \( x_0\in\Omega. \) Sei ferner \( f\colon\Omega\to\mathbb R^n \) eine stetig differenzierbare Abbildung mit \[ \frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j(x)}{\partial x_i}\quad\mbox{in}\ \Omega \] für alle \( i,j=1,\ldots,n. \) Dann ist \( f(x) \) ein Gradientenfeld und besitzt das Potential \[ \varphi(x):=\int\limits_0^1\langle f(x_0+t(x-x_0)),x-x_0\rangle\,dt. \]

19.2.4 Aufgaben und Wiederholungsfragen

\[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle \left(\frac{(x^4-y^4)y+4x^2y^3}{(x^2+y^2)^2}\,,\frac{(x^4-y^4)x-4x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}\right), & (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{array} \right.. \]

\[ \varphi(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle \frac{(x^2-y^2)xy}{x^2+y^2}\,, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \]

\[ \frac{\partial f_1(x,y)}{\partial x_2}=\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x_1}\quad\mbox{in}\ \mathbb R^2\,. \]

Rechenaufgaben: 4, 6, 7, 8, 9, 10

19.3 Kurvenintegrale

19.3.1 Kurven und ihre Parametrisierungen

Wir wollen nun Integrale über Kurven \( C\subset\mathbb R^n \) in Euklidischen Räumen studieren.

Zunächst müssen wir aber den Begriff der „Kurve“ präzisieren und knüpfen dazu an unsere Untersuchungen aus der Vorlesung ➝ Analysis 2, Abschnitt 12.1 an. Wir betrachten also zwei stetig partiell differenzierbare Kurvenparametrisierungen \[ \gamma\colon[a,b]\longrightarrow\mathbb R^n \quad\mbox{und}\quad \widetilde\gamma\colon[\widetilde a,\widetilde b]\longrightarrow\mathbb R^n\,. \]

Reguläre Kurven

Für solche Kurvenparametrisierungen sei Folgendes richtig:

\[ \varphi\colon[\widetilde a,\widetilde b]\longrightarrow[a,b] \]

\[ \dot\varphi(\widetilde t)\not=0\quad\mbox{für alle}\ \widetilde t\in[\widetilde a,\widetilde b],\quad\mbox{wobei}\quad \dot\varphi(\widetilde t):=\frac{d}{d\widetilde t}\,\varphi(\widetilde t) \]

\[ \gamma(\varphi(\widetilde t))=\widetilde\gamma(\widetilde t),\quad\widetilde t\in[\widetilde a,\widetilde b]. \]

\[ |\dot\gamma(t)|\gt 0\quad\mbox{für alle}\ t\in[a,b]. \] Eine solche analytisch wie geometrisch reguläre Kurvenparametrisierung \( \gamma(t) \) bezeichnen wir kurz als regulär - siehe aber die Bemerkung unten.

Die Abbildung \( \gamma(t) \) und ihre reguläre Umparametrisierung \( \widetilde\gamma(\widetilde t) \) heißen äquivalent, in Zeichen \[ \gamma\sim\widetilde\gamma. \] Bei \( \sim \) handelt es sich tatsächlich um eine Äquivalenzrelation: Mit \( \gamma(t) \) ist auch \( \widetilde\gamma(\widetilde t) \) regulär.

Oft wird nun die Äquivalenzklasse \( [\gamma] \) aller zur regulären Kurvenparametrisierung \( \gamma(t) \) äquivalenten Kurvenparametrisierungen als reguläre Kurve definiert. Wir können uns dieser Definition stillschweigend anschließen, wollen aber vor allem mit dem Bild \[ C=\mbox{Spur}\,\gamma(t)\subset\mathbb R^n \] der Parametrisierung rechnen und bezeichnen daher auch die Menge \( C\subset\mathbb R^n \) als reguläre Kurve. Eine genaue Definition wollen wir aber auslassen.

Bemerkung: Neben diesen regulären Kurvenparametrisierungen ist es wichtig, auch Parametrisierungen zuzulassen, die stetig, aber nur stückweise stetig differenzierbar sind, d.h. es gibt eine Zerlegung \[ a=t_0\lt t_1\lt t_2\lt\ldots\lt t_N=b,\quad N\in\mathbb N, \] so dass \( \gamma(t) \) auf jedem \( [t_{i-1},t_i], \) \( i=1,\ldots,N, \) stetig differenzierbar ist, siehe Paragraph 19.2.1 oben. Wir werden darauf jeweils aufmerksam machen.

19.3.2 Definition des Kurvenintegrals

Definition: Es seien \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) offen und \( C\subset\Omega \) eine reguläre Kurve mit Parametrisierung \( \gamma\colon[a,b]\to\Omega. \) Unter dem Kurvenintegral einer Abbildung \( f\in C^0(\Omega,\mathbb R^n) \) entlang \( C\subset\Omega \) verstehen wir \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \int\limits_C\langle f(x),dx\rangle\negthickspace & \equiv & \negthickspace\displaystyle \int\limits_\gamma\langle f(x),dx\rangle \,\equiv\,\int\limits_\gamma\big\{f_1(x)\,dx_1+\ldots+f_n(x)\,dx_n\big\} \\ & := & \negthickspace\displaystyle \int\limits_a^b\langle f(\gamma(t)),\dot\gamma(t)\rangle\,dt \,=\,\sum_{i=1}^n\int\limits_a^bf_i(\gamma(t))\dot\gamma_i(t)\,dt. \end{array} \]

Ohne Beweis halten wir fest

Satz Seien \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) offen, \( C\subset\Omega \) eine reguläre Kurve mit Parametrisierung \( \gamma(t) \) und \( \widetilde\gamma=\gamma\circ\varphi(\widetilde t) \) eine positiv orientierte, reguläre Umparametrisierung, d.h. worin gilt \[ \dot\varphi(\widetilde t)\gt 0\quad\mbox{für alle}\ \widetilde t\in[\widetilde a,\widetilde b]. \] Dann gilt \[ \int\limits_{\widetilde\gamma}\langle f(x),dx\rangle=\int\limits_\gamma\langle f(x),dx\rangle\,. \]

Kurvenintegrale sind also geometrische Größen und hängen nicht von ihrer parametrischen Beschreibung ab, solange wir nur positiv orientierte Umparametrisierungen zulassen, was nachträglich die nichtparametrische Schreibweise \[ \int\limits_C\langle f(x),dx\rangle \] rechtfertigt.

Bemerkung: Sind die Kurve \( C\subset\mathbb R^n \) und damit die Parametrisierung \( \gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n \) stetig, aber nur stückweise stetig differenzierbar, wie in der Bemerkung in Paragraph 19.3.1 beschrieben, so setzen wir für das Kurvenintegral \[ \int\limits_C\langle f(x),dx\rangle :=\sum_{i=0}^{N-1}\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}\langle f(x),dx\rangle\,. \]

19.3.3 Zusammengesetzte Kurven

Es seien \[ \gamma\colon[a,b]\longrightarrow\mathbb R^n\,,\quad \gamma_1\colon[c,d]\longrightarrow\mathbb R^n\,,\quad \gamma_2\colon[d,e]\longrightarrow\mathbb R^n \] reguläre, aber nur stückweise stetig differenzierbare Kurvenparametrisierungen mit \( \gamma_1(d)=\gamma_2(d). \) Dann definieren wir

\[ \omega:=\gamma_1+\gamma_2\colon[c,e]\longrightarrow\mathbb R^n \quad\mbox{vermöge}\quad \omega(t) :=\left\{ \begin{array}{cl} \gamma_1(t), & \mbox{falls}\ t\in[c,d] \\ \gamma_2(t), & \mbox{falls}\ t\in[d,e] \end{array} \right. \]

\[ \gamma^{-1}\colon[a,b]\longrightarrow\mathbb R^n \quad\mbox{vermöge}\quad \gamma^{-1}(t):=\gamma(a+b-t),\ t\in[a,b]. \] Die Abbildungen \( \gamma(t) \) und \( \gamma^{-1}(t) \) besitzen dieselben Spuren im \( \mathbb R^n, \) allerdings mit entgegengesetztem Durchlaufsinn.

Einen Beweis des folgenden Satzes belassen wir als Übung.

Satz: Auf der offenen Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) seien \( f,g\in C^0(\Omega,\mathbb R^n). \) Seien ferner \( \alpha,\beta\in\mathbb R \) und \[ \gamma\colon[a,b]\longrightarrow\Omega\,,\quad \gamma_1\colon[c,d]\longrightarrow\Omega\,,\quad \gamma_2\colon[d,e]\longrightarrow\Omega \] reguläre, stückweise stetig differenzierbare Kurvenparametrisierungen mit \( \gamma_1(d)=\gamma_2(d). \) Dann gelten

Die Kurvenintegrale sind dabei wie in der Bemerkung in Paragraph 19.3.2 zu verstehen.

19.3.4 Kurvenintegrale über Gradientenfelder

Für Gradientenfelder lassen sich Kurvenintegrale besonders leicht berechnen.

Satz: Es seien \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) offen und \( C\subset\Omega \) eine reguläre Kurve mit regulärer Parametrisierung \( \gamma\colon[a,b]\to\Omega. \) Ferner sei \( f\colon\Omega\to\mathbb R^n \) eine Abbildung mit dem Potential \( \varphi\in C^1(\Omega,\mathbb R). \) Dann gilt \[ \int\limits_C\langle f(x),dx\rangle=\varphi(\gamma(b))-\varphi(\gamma(a)). \]

Dieses Resultat besagt, dass für Gradientenfelder das Kurvenintegral nur vom Anfangs- und Endpunkt der Kurve abhängt, nicht jedoch von ihrem sonstigen Verlauf selbst. Entlang einfach geschlossener Kurven verschwindet daher in dieser Situation das Kurvenintegral.

Bemerkung: Der Satz kann genauso auch für stetige, aber nur stückweise stetig differenzierbare Kurven formuliert werden.

19.3.5 Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen

Definition: Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) ein Gebiet. Eine Abbildung \( f\in C^0(\Omega,\mathbb R^n) \) heißt wegunabhängig in \( \Omega, \) falls für alle \( x,y\in\Omega \) und alle regulären, stückweise stetig differenzierbaren Kurvenparametrisierungen \( \gamma \) und \( \widetilde\gamma \) mit gleichem Anfangspunkt \( x \) und gleichem Endpunkt \( y \) und Bild in \( \Omega \) gilt \[ \int\limits_\gamma\langle f(x),dx\rangle=\int\limits_{\widetilde\gamma}\langle f(x),dx\rangle\,. \]

Bemerkung: Stetige Vektorfelder auf Gebieten sind demnach also genau dann wegunabhängig, wenn gilt \[ \int\limits_\gamma\langle f(x),dx\rangle=0 \] für jede reguläre, stückweise stetig differenzierbare und einfach geschlossene Kurve in \( \Omega \) mit Parametrisierung \( \gamma(t). \) Nach obigem Satz sind solche Felder sogar wegunabhängig, wenn sie ein Potential besitzen.

Es gilt aber nun der folgende

Satz: Es seien \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) ein Gebiet und \( f\in C^0(\Omega,\mathbb R^n) \) eine Abbildung. Dann ist \( f(x) \) genau dann wegunabhängig in \( \Omega, \) wenn \( f(x) \) ein Gradientenfeld ist und ein Potential \( \varphi(x)\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) besitzt.

19.3.6 Pfaffsche Formen

Definition: Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) eine offene Menge. Eine reelle Pfaffsche Form oder Differentialform erster Ordnung oder kurz \( 1 \)-Form ist eine Abbildung \[ \omega\colon\Omega\longrightarrow L(\mathbb R^n,\mathbb R) \] von \( \Omega \) in die Menge \( L(\mathbb R^n,\mathbb R) \) der reellwertigen, stetigen Linearformen.

Jedem Punkt \( x\in\Omega \) wird also eine solche Linearform zugeordnet. Ist genauer \( x\in\Omega \) ein Punkt, so stellt (wir schreiben zur Deutlichkeit \( \omega_x \) statt \( \omega(x) \)) \[ \omega_x\colon\mathbb R^n\longrightarrow\mathbb R \] eine reellwertige lineare Abbildung dar.

Beispiel: Eine vollständig differenzierbare Abbildung \( f\colon\Omega\to\mathbb R \) erfüllt \[ f(x+h)=f(x)+\langle\nabla f(x),h\rangle+o(h),\quad x\in\Omega, \] mit dem Gradienten \( \nabla f(x)\in\mathbb R^n. \) Die \( 1 \)-Form, um die es hier geht, lautet \[ \omega_x\colon\mathbb R^n\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad \omega_x(h)=\langle\nabla f(x),h\rangle\,,\quad x\in\Omega. \]

Wir wollen nun Normalformen für Pfaffsche Formen ableiten.

\[ x_i\colon\mathbb R^n\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad x_i(\xi):=\xi_i\ \mbox{für}\ \xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)\in\mathbb R^n \]

\[ x_i(\xi+h)=\xi_i+h_i\,,\quad i=1,\ldots,n, \]

\[ \langle\nabla x_i(\xi),h\rangle=h_i\,, \]

\[ a_i(\xi):=\omega_\xi(e_i),\quad i=1,\ldots,n. \]

\[ \begin{array}{lll} \omega_\xi(h)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \omega_\xi(h_1e_1+\ldots+h_ne_n) \,=\,\sum_{i=1}^n\omega_\xi(h_ie_i) \\ & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{i=1}^n\omega_\xi(e_i)h_i \,=\,\sum_{i=1}^na_i(\xi)h_i \,=\,\sum_{i=1}^na_i(\xi)dx_{i,\xi}(h). \end{array} \] Für diese letzte Identität schreiben wir kurz \[ \omega=a_1\,dx_1+\ldots+a_n\,dx_n\,. \] Das ist die gesuchte Normalform einer Differentialform erster Ordnung.

Beispiel: Es sei \( \omega \) das Differential erster Ordnung einer Funktion \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R), \) \[ a_i(\xi) =\omega_\xi(e_i) =\langle\nabla f(\xi),e_i\rangle =\frac{\partial f(\xi)}{\partial x_i}\,. \] Dann erhalten wir die Darstellung in Normalform \[ \omega=df=\frac{\partial f}{\partial x_1}\,dx_1+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\,dx_n\,. \]

Beispiel: Jedem Vektorfeld \( \nu\colon\Omega\to\mathbb R^n \) können wir vermittels \[ \omega_{x,\nu}(h):=\langle\nu(x),h\rangle\,,\quad x\in\Omega, \] eine \( 1 \)-Form \( \omega_{x,\nu} \) zuordnen. Ist umgekehrt \( \omega \) eine \( 1 \)-Form auf \( \Omega, \) so existiert zu jeder Linearform \( \omega_x, \) \( x\in\Omega, \) ein eindeutig bestimmter Vektor \( \nu_\omega(x)\in\mathbb R^n \) mit \[ \omega_x(h)=\langle\nu_\omega(x),h\rangle\,. \] Diese gegenseitige Korrespondenz bezeichnet man als den Rieszschen Darstellungssatz. Sind also die \( 1 \)-Form \( \omega \) und das Vektorfeld \( \nu\in\mathbb R^n \) auf diese Weise gegenseitig zugeordnet, so haben wir \[ a_i(\xi)=\langle\nu(\xi),e_i\rangle=\nu_i(\xi) \] bzw. in Normalform \[ \omega=\nu_1\,dx_1+\ldots+\nu_n\,dx_n\,. \]

Wir stellen uns nun die Frage, wie \( 1 \)-Formen entlang regulärer Kurven integriert werden können. Sei dazu eine \( 1 \)-Form \[ \omega=\sum_{i=1}^na_i\,dx_i \] mit stetigen Koeffizienten \( a_i\in C^0(\Omega,\mathbb R) \) vorgelegt. Sei ferner \( \gamma\colon[a,b]\to\Omega \) eine reguläre Kurvenparametrisierung. In Anschluss an unsere bisherigen Betrachtungen definieren wir dann das Kurvenintegral von \( \omega \) entlang \( \gamma(t) \) gemäszlig; \[ \int\limits_\gamma\omega :=\int\limits_a^b\omega_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t))\,dt =\int\limits_a^b\sum_{i=1}^na_i(\gamma(t))\dot\gamma(t)\,dt. \] Auch diese Setzung kann unmittelbar auf stückweise stetig differenzierbare Kurven ausgedehnt werden.

19.3.7 Aufgaben und Wiederholungsfragen

\[ \int\limits_C\langle f(x,y),d(x,y)\rangle \]

\[ C\,:\,\gamma(t)=(\cos t,\sin t),\quad t\in[0,2\pi), \]

\[ f\in C^0(\mathbb R^2,\mathbb R^2) \quad\mbox{vermöge}\quad f(x,y)=(-y,x),\ (x,y)\in\mathbb R^2\,. \]

\[ \int\limits_C\langle f(x,y),d(x,y)\rangle \]

\[ C\,:\,\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t),\quad t\in[0,2\pi), \]

\[ f\in C^0(\mathbb R^3,\mathbb R^3) \quad\mbox{vermöge}\quad f(x,y,z)=(-y,x,z^3),\ (x,y,z)\in\mathbb R^2\,. \]

\[ \left|\,\int\limits_\gamma\langle f(x),dx\rangle\right| \le\max_{t\in[a,b]}\|f(\gamma(t))\|_2\cdot{\mathcal L}[C] \]

\[ {\mathcal L}[C]:=\int\limits_a^b\sqrt{\dot\gamma_1(t)^2+\ldots+\dot\gamma_n(t)^2}\,dt. \]

\[ \begin{array}{lll} C_1\ :\ \gamma_1(t)=(t,t), \\ C_2\ :\ \gamma_2(t)=(t,t^2), \end{array} \]

\[ f(x,y)=\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\,,\frac{x}{x^2+y^2}\right),\quad(x,y)\in\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\,. \]

\[ \mbox{div}\,f(x,y)=0\quad\mbox{für alle}\ (x,y)\in\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\,. \]

\[ \frac{\partial f_1(x,y)}{\partial x_2}=\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x_1}\quad\mbox{in}\ \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\,. \]

\[ \int\limits_{\partial B}\langle f(x,y),d(x,y)\rangle \]

\[ B:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\lt 1\}\,. \]

\[ \Omega:=\mathbb R^2\setminus\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x\le 0,\ y=0\}\,. \]

Rechenaufgaben: 4, 5, 6, 9, 11, 12

19.4 Flächenintegrale

19.4.1 Flächen und ihre Parametrisierungen

Wir wollen nun Integrale über Flächen \( M\subset\mathbb R^n \) in Euklidischen Räumen studieren.

Wir betrachten zwei stetig partiell differenzierbare Flächenparametrisierungen \[ X\colon\Sigma\longrightarrow\mathbb R^3 \quad\mbox{und}\quad \widetilde X\colon\widetilde\Sigma\longrightarrow\mathbb R^3 \] auf beschränkten, „glatt“ berandeten (später genauer, jetzt z.B. berandet durch eine einfach geschlossene, stetig differenzierbare Kurve) Gebieten \( \Sigma,\widetilde\Sigma\subset\mathbb R^2. \) Beachten Sie die Dimensionszahl \( n=3. \)

Reguläre Flächen

Für solche Flächenparametrisierungen sei Folgendes richtig:

\[ \Phi\colon\widetilde\Sigma\longrightarrow\Sigma \]

\[ \mbox{det}\,J_\Phi(\widetilde u,\widetilde v) =\mbox{det}\left(\frac{\partial(\varphi_1(\widetilde u,\widetilde v),\varphi_2(\widetilde u,\widetilde v))}{\partial(u,v)}\right)\not=0 \quad\mbox{für alle}\ (\widetilde u,\widetilde v)\in\widetilde\Sigma \]

\[ \widetilde X(\widetilde u,\widetilde v)=X\circ\Phi(\widetilde u,\widetilde v)=X(\Phi(\widetilde u,\widetilde v)),\quad(\widetilde u,\widetilde v)\in\widetilde\Sigma\,. \]

\[ \mbox{Rang}\,\partial X(u,v) =\mbox{Rang} \left( \begin{array}{cc} x_{1,u}(u,v) & x_{1,v}(u,v) \\ x_{2,u}(u,v) & x_{2,v}(u,v) \\ x_{3,u}(u,v) & x_{3,v}(u,v) \end{array} \right) =2 \quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\Sigma \] mit \( X=(x_1,x_2,x_3). \) Eine solche Parametrisierung \( X\in C^1(\Sigma,\mathbb R^3), \) die also analytisch wie geometrisch regulär ist, bezeichnen wir kurz als regulär. Es heißen \( X(u,v) \) und \( \widetilde X(\widetilde u,\widetilde v) \) äquivalent, in Zeichen \( X\sim\widetilde X. \)

Die Äquivalenzklasse \( [X] \) aller zu \( X(u,v) \) äquivalenten Flächenparametrisierungen bezeichnet man häufig als reguläre Fläche. Wie auch bei Kurven, können wir uns stillschweigend dieser Definition anschließen, aber auch jetzt steht für uns vor allem das geometrische Bild \[ M=\mbox{Spur}\,X(u,v)\subset\mathbb R^n \] im Vordergrund, welches wir auch als reguläre Fläche bezeichnen möchten. Eine genaue Definition wollen wir aber auslassen.

Bemerkung: Es wird wichtig, Differenzierbarkeit der Parametrisierungen bis zum Rand \( \partial\Sigma \) des Parametergebiets \( \Sigma \) zu fordern. Zu diesem Zweck wollen wir ebenfalls stillschweigend voraussetzen, dass \[ X\in C^1(\Omega,\mathbb R^3) \quad\mbox{bzw.}\quad X\in C^k(\Omega,\mathbb R^3)\ \mbox{für ein}\ k\ge 1 \] richtig ist mit einer offenen Menge \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) mit der Eigenschaft \( \Sigma\subset\subset\Omega. \)

19.4.2 Tangentialraum und Normalenraum

Wir bezeichnen die reguläre Abbildung bzw. ihr Bild \( M\subset\mathbb R^3 \) auch als

\[ \mbox{Rang}\,\partial X(u,v)=2\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\Sigma, \]

Die geometrische Regularität sichert, dass die von den beiden Tangentialvektoren \[ \begin{array}{lll} X_u(u,v)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle (x_{1,u}(u,v),x_{2,u}(u,v),x_{3,u}(u,v)), \\ X_v(u,v)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle (x_{1,v}(u,v),x_{2,v}(u,v),x_{3,v}(u,v)) \end{array} \] aufgespannte Tangentialebene \( T_X(u,v) \) im Punkt \( (u,v)\in\Sigma \) stets zweidimensional ist: \[ \mbox{dim}\,T_X(u,v)=\mbox{dim}\,\mbox{Lin}\,\{X_u(u,v),X_v(u,v)\}=2\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\Sigma\,. \] Wir definieren hierzu noch den Einheitsnormalenvektor \[ N(u,v):=\frac{X_u(u,v)\times X_v(u,v)}{|X_u(u,v)\times X_v(u,v)|}\,,\quad(u,v)\in\Sigma, \] wobei auf Grund der geometrischen Regularitätsbedingung und damit der linearen Unabhängigkeit der Tangentialvektoren zu beachten ist \[ |X_u(u,v)\times X_v(u,v)|\gt 0\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\Sigma. \] Statt „Tangentialebene“ benutzt man auch den allgemeineren Begriff des Tangentialraums, und als Normalenraum verstehen wir die lineare Hülle des Einheitsnormalenvektors \( N(u,v). \)

19.4.3 Erste Fundamentalform und Flächeninhalt

Von grundlegender Bedeutung ist der Begriff der ersten Fundamentalform \[ I(X):=(g_{ij})_{i,j=1,2}\subset\mathbb R^{2\times 2} \quad\mbox{mit}\quad g_{ij}(u,v):=\langle X_{u^i}(u,v),X_{u^j}(u,v)\rangle \] und den Setzungen \( u^1:=u \) und \( u^2:=v. \) Immersionen erfüllen stets \[ \mbox{det}\,I(X)=g_{11}g_{22}-g_{12}^2\gt 0\quad\mbox{in}\ \Sigma, \] was also eine weitere Form der geometrischen Regularitätsbedingung bedeutet, denn es gilt \[ |X_u(u,v)\times X_v(u,v)|=\sqrt{\mbox{det}\,I(X)}\,. \] Man bezeichnet \[ W(u,v):=|X_u(u,v)\times X_v(u,v)|,\quad(u,v)\in\Sigma, \] als Oberflächenelement. Als Flächeninhalt einer Immersion \( X\in C^1(\Sigma,\mathbb R^3) \) definieren wir \[ {\mathcal A}[X]:=\int\limits_\Sigma W(u,v)\,d\ell_2(u,v). \]

Satz: Der Wert des Flächeninhalts \( {\mathcal A}[X] \) der Immersion \( X\in C^1(\Sigma,\mathbb R^3) \) ist invariant gegenüber regulären Umparametrisierungen.

Wir wollen die geometrische Bedeutung der ersten Fundamentalform anhand des folgenden Beispiels verdeutlichen.

Beispiel: Für die Länge einer stetig differenzierbaren Flächenkurve auf dem Bild \( M\subset\mathbb R^3 \) der Immersion \( X\in C^1(\Sigma,\mathbb R^3), \) also \[ c\colon[a,b]\longrightarrow M \quad\mbox{vermöge}\quad c(t):=X\circ\gamma(t),\ t\in[a,b], \] mit \( \gamma\in C^1([a,b],\Sigma) \) und \( \gamma(t)=(u(t),v(t)) \) ermitteln wir (als Übung) \[ {\mathcal L}[c] =\int\limits_a^b|c'(t)|\,dt =\int\limits_a^b\sqrt{g_{11}\dot c_1(t)^2+2g_{12}\dot c_1(t)\dot c_2(t)+g_{22}\dot c_2(t)^2}\,dt. \]

19.4.4 Approximation von Länge und Flächeninhalt

Mehrmals haben wir bereits vom Längenfunktional \[ {\mathcal L}[C]=\int\limits_a^b|c'(t)|\,dt,\quad C:=\mbox{Spur}\,c([a,b])\ (\mbox{oder einfach}\ c([a,b])), \] sowie vom Flächeninhaltsfunktional \[ {\mathcal A}[M]=\int\limits_\Sigma|X_u(u,v)\times X_v(u,v)|\,dudv,\quad M:=X(\Sigma), \] Gebrauch gemacht. Wir wollen nun anschaulich und mit nur wenigen Details eine mengentheoretische und eine geometrische Approximation dieser Funktionale kennenlernen.

Das eindimensionale normierte Hausdorffmaß

In ➝ Abschnitt 18.1 haben wir das Hausdorffsche Überdeckungsmaß \( {\mathcal H}^s(\Omega) \) für eine beliebige Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) kennengelernt, siehe auch das nachstehende Bild. Im Falle \( \Omega=\mbox{Spur}\,c([a,b]) \) mit einer eineindeutigen (beachte, dass es sich um ein Überdeckungsmaß handelt), Lipschitzstetigen Kurvenparametrisierung \( c\colon[a,b]\to\mathbb R^n \) gilt \[ {\mathcal H}_*^1(\Omega)=\int\limits_{[a,b]}|c'(t)|\,d\ell_1(t), \] d.h. \( {\mathcal H}_*^1(\Omega) \) gibt die (differentialgeometrische) Länge der Kurve wieder, siehe Evans, L.C. und Gariepy, R.F.: Measure theory and fine properties of functions, Abschnitt 3.3, Paragraph 3.3.4, erstes Beispiel. Hierbei bezeichnen wir mit \[ {\mathcal H}_*^s(\Omega) :=\inf \left\{ \sum_{k\ge 1}\alpha(s)\left(\frac{\mbox{diam}\,\Omega_i}{2}\right)^s\,:\, \{\Omega_i\}_{i=1,2,\ldots}\ \mbox{ist \( \delta \)-Überdeckung von}\ \Omega \right\} \] das (im Gegensatz zu \( {\mathcal H}^s(\Omega) \) aus Kapitel 18) normierte Hausdorffmaß, worin \[ \alpha(s):=\frac{\pi^\frac{s}{2}}{\Gamma\left(\frac{s}{2}+1\right)} \] ein dimensionsabhängiger Faktor bedeutet mit der Gamma-Funktion \[ \Gamma(u):=\int\limits_0^\infty e^{-x}x^{u-1}\,dx,\quad 0\lt u\lt\infty\,. \] Beachte insbesondere \( \alpha(0)=0 \) und \( \alpha(1)=2, \) so dass tatsächlich gilt \( {\mathcal H}^1(\Omega)={\mathcal H}_*^1(\Omega) \) mit dem aus vorigem Kapitel 18 bekannten (nichtnormierten) Hausdorffmaß \( {\mathcal H}^1(\Omega). \) Zur korrekten Formulierung der folgenden geometrischen und mengentheoretischen Resultate ist es jedoch zweckmäßig, das normierte Hausdorffmaß \( {\mathcal H}_*^s(\Omega) \) zu verwenden.

Die Jordanlänge

Es sei \( c\colon[a,b]\to\mathbb R^n \) stetig auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R. \) Wir betrachten ein Zerlegung von \( [a,b] \) gemäß \[ a=t_0\lt t_1\lt t_2\lt\ldots\lt t_N=b,\quad N\in\mathbb N, \] siehe auch nachstehendes Bild. Dann gibt \[ \sum_{k=1}^N|c(t_k)-c(t_{k-1})| \] die Länge des durch die Kurvenpunkte \( c(t_0),\ldots,c(t_N) \) verlaufenden Polygons.

Unter der Jordanlänge der Kurve \( C=\mbox{Spur}\,c([a,b]) \) verstehen wir nun den Ausdruck \[ {\mathcal L}[C]:=\sup\sum_{i=1}^N|c(t_k)-c(t_{k-1})|, \] wobei das Supremum über alle möglichen endlichen Zerlegungen von \( [a,b] \) gebildet wird. Die Kurve \( C \) heißt ferner rektifizierbar, wenn \( {\mathcal L}[C]\lt\infty \) richtig ist.

Diese Definition geht zurück auf

Gibt es einen Zusammenhang zum eindimensionalen normierten Hausdorffmaß \( {\mathcal H}_*^1(C)? \)

Zunächst ist die Kurve \( C=\mbox{Spur}\,c([a,b]) \) genau dann rektifizierbar, wenn die Komponenten \( c_i(t) \) auf \( [a,b]\subset\mathbb R \) von beschränkter Variation sind, wobei wir zur Definition dieser, der Rektifizierbarkeit sehr nahe liegenden Regularitätsklasse auf folgenden ➝ Wikipedia-Artikel verweisen.

Nun argumentieren wir wie folgt:

\[ {\mathcal H}_*^1(C)={\mathcal L}[C], \]

\[ {\mathcal L}[C]=\int\limits_{[a,b]}|c'(t)|\,d\ell_1(t). \]

Das zweidimensionale normierte Hausdorffmaß

Das zweidimensionale normierte Hausdorffmaß als Überdeckungsmaß gibt den Flächeninhalt einer hinreichend regulären Fläche im \( \mathbb R^3 \) wieder, genauer nämlich

\[ X(u,v)=(u,v,f(u,v)),\quad(u,v)\in\Sigma, \]

\[ {\mathcal H}_*^2(M)=\int\limits_\Sigma\sqrt{1+|\nabla f(u,v)|^2}\,d\ell_2(u,v) \]

\[ X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\quad(u,v)\in\Sigma, \]

\[ {\mathcal H}_*^2(M)=\int\limits_\Sigma\sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}\,d\ell_2(u,v) \]

Das Beispiel von Peano und Schwarz

Das folgende Beispiel geht auf G. Peano (in einer Vorlesung im Mai 1882) und H.A. Schwarz (in einem Brief vom 25. Dezember 1880 an A. Genocchi) zurück - siehe Cesari, L.: Surface area. Princeton University Press 1956, Seite 25.

Wir betrachten einen Kreiszylinder vom Radius \( r\gt 0 \) und mit der Höhe \( h\gt 0, \) parametrisiert durch \[ X(u,v)=(r\cos u,r\sin u,v),\quad u\in[0,2\pi],\ v\in[0,h]. \] Die Nichteineindeutigkeit der Parametrisierung an den Rändern \( u=0 \) und \( u=2\pi \) ist für das Folgende unerheblich.

Wir zerlegen nun den \( u \)-Bereiches \( [0,2\pi] \) in \( m\ge 4 \) äquidistante Teile und den \( v \)-Bereiches in \( n\ge 1 \) äquidistante Teile. Es ergeben sich \( m\cdot n \) abgeschlossene, bis auf ihre Ränder zueinander disjunkte Rechtecke, die in ihrer Vereinigung den gesamten Parameterbereich ergeben. Schließlich zerlegen wir, wie im nachstehenden Bild veranschaulicht, sämtliche Teilrechtecke in gleichschenklige Dreiecke, beginnend mit \( m \) aufrecht stehenden Dreiecken entlang \( v=0 \) der gemeinsamen Höhen \( \frac{h}{n}. \)

Unser Bild zeigt den Fall \( m=4 \) und \( n=6: \)

Im Bild denken wir uns nun die Ecken der beschriebenen Dreiecke, die den Parameterbereich aufspannen, auf der Zylinderwand anliegen, d.h. nur diese Eckpunkte werden vermittels \( X(u,v) \) in den Raum abgebildet. Diese Bildpunkte sind gleichzeitig die Eckpunkte einer aus gleichschenkligen Dreiecken aufgebauten Polyederfläche im Raum, die den Zylinder von innen „approximiert“.

Unter Verwendung der Software Javaview veranschaulichen wir diese Situation:

Die untere Zeile macht das Problem deutlich: Die Flächen der einzelnen Bilddreiecke aufsummiert, ergibt einen Gesamtinhalt, der den elementaren Inhalt \( 2\pi rh \) des Zylinders übertreffen wird - was wir als Übung belassen.

Der Lebesgue-Geöcze-Inhalt

Man betrachtet nun alle möglichen polyedrischen Approximationen des Zylindermantels - oder eben irgendeiner zu untersuchenden stetigen Fläche, ermittelt die elementargeometrischen Inhalte der Approximationen und bildet hiervon das Infimum. Genauer

Wir verweisen dabei auf die dreiteilige Arbeit von Toralballa, L.V.: A geometric theory of surface area (1969, 1972, 1973).

Der Lebesgue-Geöcze-Inhalt stimmt nun mit den uns bekannten analytischen Darstellung für den Inhalt \[ \int\limits_\Sigma\sqrt{1+|\nabla f(x,y)|^2}\,d\ell_2(x,y) \quad\mbox{bzw.}\quad \int\limits_\Sigma\sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}\,d\ell_2(u,v) \] der Fläche \( M\subset\mathbb R^3 \) im Falle eines Flächengraphen \( M=\{(x,y,f(x,y)\,:\,(x,y)\in\Sigma\} \) bzw. im Falle einer parametrischen Einbettung \( X(u,v) \) überein, falls \( f(x,y) \) bzw. \( X(u,v) \) selbst Lipschitzstetig sind (in beiden Fällen ist \( \Sigma\subset\mathbb R^2 \) geeignet vorauszusetzen). So lesen wir in Rademacher, H.: Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen II (1920) auf der zweiten Seite:

Der Inhalt einer über dem Quadrat \( Q \) [bzw. quadrierbares Gebiet] sich hinstreckenden Fläche \( z=f(x,y), \) die der Lipschitzschen Bedingung ... genügt, ist der Limes des Inhaltes einer Folge von Polyedern, die sich gleichfalls schlicht über \( Q \) hinstrecken, und die so beschaffen sind, daß ihre Ecken auf der Fläche liegen, daß die Polyederfolge gegen die Fläche konvergiert und daß die Neigungen der Polyederebenen gegen die Fläche konvergiert und daß die Neigungen der Polyederebenen gegen die Neigungen der Tangentenebenen der Fläche, wo diese existieren, konvergieren. Dabei sollen die Polyeder der Lipschitzschen Bedingung genügen, und zwar gleichmäßig, d.h. mit einer für alle geltenden Konstanten \( M'. \)

19.4.5 Differential-2-Formen und Flächenintegrale

Wir wollen nun Flächenintegrale \[ \int\limits_M(f_1\,dy\wedge dz+f_2\,dz\wedge dx+f_3\,dx\wedge dy) \] einführen.

Definition: Es seien \( M\subset\mathbb R^3 \) eine vermittels der regulären Parametrisierung \[ X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\quad(u,v)\in\Sigma, \] gegebene Immersion \( X\in C^1(\Sigma,\mathbb R^3) \) und \( f\in C^1(\mathbb R^3,\mathbb R^3) \) eine Abbildung. Dann setzen wir \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \int\limits_Mf_1\,dy\wedge dz\negthickspace & := & \negthickspace\displaystyle \int\limits_\Sigma f_1(X(u,v))\,\mbox{det}\,\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\,d\ell_2(u,v), \\ \displaystyle \int\limits_Mf_2\,dz\wedge dx\negthickspace & := & \negthickspace\displaystyle \int\limits_\Sigma f_2(X(u,v))\,\mbox{det}\,\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\,d\ell_2(u,v), \\ \displaystyle \int\limits_Mf_3\,dx\wedge dy\negthickspace & := & \negthickspace\displaystyle \int\limits_\Sigma f_3(X(u,v))\,\mbox{det}\,\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\,d\ell_2(u,v) \end{array} \] und bezeichnen den symbolischen Ausdruck \[ \int\limits_M(f_1\,dy\wedge dz+f_2\,dz\wedge dx+f_3\,dx\wedge dy) \] als (parameterfreies) Flächenintegral.

Bei den Symbolen, den sogenannten Basis-Differential- \( 2 \)-Formen, \[ dy\wedge dz,\quad dz\wedge dx,\quad dx\wedge dy \] ist auf die Reihenfolge der \( 1 \)-Formen zu achten. Beispielsweise ist nach obiger Definition \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \int\limits_Mf_1\,dy\wedge dz\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \int\limits_\Sigma f_1(X(u,v))\,\mbox{det}\,\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\,d\ell_2(u,v) \\ & = & \negthickspace\displaystyle -\,\int\limits_\Sigma f_1(X(u,v))\,\mbox{det}\,\frac{\partial(z,y)}{\partial(u,v)}\,d\ell_2(u,v) \\ & = & \negthickspace\displaystyle -\,\int\limits_Mf_1\,dz\wedge dy, \end{array} \] so dass wir folgerichtig setzen \[ dy\wedge dz=-dz\wedge dy\quad\mbox{usw.} \]

Satz: Es sei \( M\subset\mathbb R^3 \) eine Immersion. Dann ist das Flächenintegral \[ \int\limits_M(f_1\,dy\wedge dz+f_2\,dz\wedge dx+f_3\,dx\wedge dy) \] invariant unter positiv orientierten, regulären Parametertransformationen.

19.4.6 Das Flächenintegral als Flussintegral

Wir wollen Flächenintegrale als Flussintegrale deuten. Dazu betrachten zunächst mit dem Flächenelement \( W(u,v) \) und dem Einheitsnormalenvektor \( N(u,v) \) der Immersion \( X\in C^1(\Sigma,\mathbb R^3) \) \[ WN=X_u\times X_v=(y_uz_v-z_uy_v,z_ux_v-z_vx_u,x_uy_v-y_ux_v) \] bzw. unter Benutzung der obiger Jacobischen Unterdeterminanten \[ WN=\left(\mbox{det}\,\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\,,\mbox{det}\,\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\,,\mbox{det}\,\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right). \] Damit erhalten wir \[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_M(f_1\,dy\wedge dz+f_2\,dz\wedge dx+f_3\,dx\wedge dy) \\ \qquad\displaystyle =\,\int\limits_\Sigma \left\{ f_1(X)\,\mbox{det}\,\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} +f_2(X)\,\mbox{det}\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)} +f_3(X)\,\mbox{det}\,\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right\}d\ell_2(u,v) \\ \qquad\displaystyle =\,\int\limits_\Sigma\langle(f_1,f_2,f_3),N\rangle\,W\,d\ell_2(u,v). \end{array} \]

\[ \int\limits_M(f_1\,dy\wedge dz+f_2\,dz\wedge dx+f_3\,dx\wedge dy) \]

\[ \int\limits_M\langle f,N\rangle\,W\,d\ell_2(u,v). \]

19.4.7 Aufgaben und Wiederholungsfragen

\[ X(u,v)=(v\cos u,v\sin v,\sin v),\quad u\in[0,2\pi),\ v\in[0,4\pi). \]

\[ X(x,y)=(x,y,f(x,y)),\quad(x,y)\in\Sigma. \]

\[ X(u,v):=(\sin u,\sin u\cos u,v),\quad(u,v)\in(-0.1,\pi+0.1)\times(-1,1). \]

\[ X(u,v):=(u,v,u^3-3uv^2),\quad(u,v)\in(-1,1)\times(-1,1). \]

\[ X(u,v)=(u,v,u^3-3uv^2),\quad(u,v)\in(-1,1)\times(-1,1), \]

\[ X(u,v)=\left(\sin u+v\sin\frac{u}{2}\sin u,\cos u+v\sin\frac{u}{2}\cos u,v\cos\frac{u}{2}\right) \]

\[ X(u,v)=X(u+2\pi,-v)\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\mathbb R\times[-1,1]. \]

\[ X([0,2\pi)\times[-1,1])=X(\mathbb R\times[-1,1]). \]

\[ N(u,v)=\frac{X_u(u,v)\times X_v(u,v)}{|X_u(u,v)\times X_v(u,v)|}\,. \]

\[ \begin{array}{l} X(u,v)=(u,v,0),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,, \\ \widetilde X(r,\varphi)=(r\cos\varphi,r\sin\varphi,0),\quad(r,\varphi)\in[0,\infty)\times[0,2\pi). \end{array} \]

\[ X(u,v)=(\cos u,\sin u,v),\quad(u,v)\in[0,2\pi)\times[0,1]. \]

\[ X(u,v)=(\sin u\cos v,\sin u\sin v,\cos u),\quad(u,v)\in[0,\pi]\times[0,2\pi). \]

\[ |X_u(u,v)\times X_v(u,v)|=\sqrt{\mbox{det}\,I(X)}\,. \]

Rechenaufgaben: 4, 6, 7, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20