Hausaufgabenblatt 6
Aufgabe HA 25 (Zykel als Produkt von Paarvertauschungen II)
Stellen Sie folgende Zykel \( \vartheta \) der Länge \( 4 \) als Produkt \( \vartheta=\sigma\circ\tau\circ\omega \) von drei Paarvertauschungen \( \sigma,\tau,\omega \) dar.
| (i) | \( \displaystyle\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{array}\right) \) bzw. \( \left(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & 4 \end{array}\right) \) |
| (ii) | \( \displaystyle\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}\right) \) bzw. \( \left(\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 2 & 3 \end{array}\right) \) |
Aufgabe HA 26 (Vorzeichen von Permutationen II)
Bestimmen Sie die Vorzeichen folgender Permutation \[ \sigma\in S_7\quad\mbox{vermöge}\quad \sigma:\,\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 6 & 1 & 3 & 2 & 5 & 7 \end{array}\right). \]
Aufgabe HA 27 (Produkt der Vorzeichen von Permutationen II))
Es sei \( \sigma\in S_n \) eine Permutation mit der Inversen \( \sigma^{-1}\in S_n. \) Unter der Vereinbarung \( \text{sgn}(\text{id}):=1 \) und unter Verwendung eines Satzes aus der Vorlesung über das Produkt der Vorzeichen zweier Permutationen ist zu zeigen \[ 1=\mbox{sgn}(\sigma)\cdot\mbox{sgn}(\sigma^{-1}). \]
Aufgabe HA 28 (Fixpunktfreie Permutationen)
Bestimmen Sie alle fixpunktfreien Permutationen \( \sigma\in S_4, \) und verifizieren Sie die aus der Vorlesung bekannte Identität \[ d_4=\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\right)\cdot 4! \] für die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen aus \( S_4. \)