Hausaufgabenblatt 9
Aufgabe HA 40 (Anwendung der Multiplikativität der Eulerfunktion II)
Ermitteln Sie die folgenden Werte der Eulerschen \( \varphi \)-Funktion:
| (i) | \( \varphi(77) \) |
| (ii) | \( \varphi(462) \) |
Aufgabe HA 41 (Rechengesetze für Kongruenzen II)
Sind \( a,b,c,d\in\mathbb Z \) und \( m\ge 2, \) und gelten \[ a\equiv b\,\mbox{mod}\,m\quad\mbox{und}\quad c\equiv d\,\mbox{mod}\,m, \] so sind zu beweisen:
| (i) | \( a+c\equiv(b+d)\,\mbox{mod}\,m \) |
| (ii) | \( a-c\equiv(b-d)\,\mbox{mod}\,m \) |
| (iii) | \( ac\equiv(bd)\,\mbox{mod}\,m \) |
Aufgabe HA 42 (Multiplikation von Restklassen)
Es seien \( a\,\mbox{mod}\,m \) und \( b\,\mbox{mod}\,m \) zwei Restklassen. Beweisen Sie (ohne Diskussion der Unabhängigkeit von den Repräsentanten), dass die Multiplikation \[ a\,\mbox{mod}\,m\cdot_Rb\,\mbox{mod}\,m:=(a\cdot b)\,\mbox{mod}\,m \] kommutativ und assoziativ ist.
Aufgabe HA 43 (Distributivgesetz für Restklassen)
Es seien \( a\,\mbox{mod}\,m, \) \( b\,\text{mod}\,m \) und \( c\,\mbox{mod}\,m \) drei Restklassen. Beweisen Sie die Richtigkeit des Distributivgesetzes \[ (a\,\text{mod}\,m+_Rb\,\text{mod}\,m)\cdot_Rc\,\text{mod}\,m =a\,\text{mod}\,m\cdot_Rc\,\text{mod}\,m+_Rb\,\text{mod}\,m\cdot_Rc\,\text{mod}\,m. \]
Aufgabe HA 44 (Teilbarkeit durch \( 8 \))
Für jede ungerade natürliche Zahl \( a\in\mathbb N \) gilt \( a^2\equiv 1\,\mbox{mod}\,8. \)