Die Hilbertkurve

Ein Beispiel einer stetigen und surjektiven Abbildung des Einheitsintervalls auf das Einheitsquadrat stammt vom deutschen Mathematiker David Hilbert aus dem Jahre 1890:

Konstruktion

Hilberts Konstruktionsbeschreibung lässt sich etwa wie folgt wiedergeben:

  1. Eine Strecke der Länge 1 unterteilen wir in 4 gleiche Teilstrecken 1, 2, 3 und 4; das Quadrat mit den Seitenlängen 1 unterteilen wir ebenfalls in vier gleiche Teilquadrate 1, 2, 3 und 4. Jedem der vier Streckenabschnitte wird nun das Teilquadrat mit der entsprechenden Nummer zugeordnet, wir im linken Bild skizziert. Zur Orientierung verbinden wir die Mittelpunkte der 4 Teilquadrate durch eine dick gezeichnete, rote Kurve.
  2. Jede der vier Teilstrecken unterteilen wir erneut in vier neue, gleiche Teilstrecken, und gleichzeitig unterteilen wir jedes der vier Teilquadrate aus dem ersten Konstruktionsschritt in vier neue, gleiche Teilquadrate. Es entstehen so 16 Teilstrecken 1, 2 usw. bis 16 sowie 16 Teilquadrate 1, 2 usw. bis 16. Das mittlere Bild gibt an, wie diese Teilstrecken den neuen Teilquadraten zuzuordnen sind. Zur Orientierung verbinden wir auch hier die Mittelpunkte der 16 Teilquadrate durch eine dick gezeichnete, rote Kurve.
  3. Dieses Verfahren denken wir uns nun unbegrenzt fortgesetzt. Auf diese Weise wird jedem Punkt der anfänglichen Strecke der Länge 1 ein Punkt des anfänglichen Quadrates mit den Seitenlängen 1 zugeordnet.

Damit ist die gesuchte Abbildung von der Strecke auf das Quadrat gefunden. Diese Abbildung heißt Hilbertkurve, obgleich sie natürlich keine Kurve im ursprünglichen Verständnis der Mathematik darstellt.

Konstruktion nach Wunderlich

Um Hilberts Konstruktionsbeschreibung zu präzisieren, gehen wir nach Walter Wunderlich (1954) vor (siehe K. Strubeckers Lehrbuch):

Auf dem Fundamentalbereich

\[ F:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\} \]

betrachten wir das im linken oberen Bild eingezeichnete Polygon \( p_1 \) mit den Eckpunkten \( 1, \) \( 2, \) \( 3 \) und \( 4, \) das sogenannte Grundmotiv.

Auf dieses Grundmotiv wenden wir die folgenden Ähnlichkeitsabbildungen an:

  • \( A_1 \) als Hintereinanderausführung einer Spiegelung von \( F \) an der Hauptdiagonalen, die die Punkte \( (0,0) \) und \( (1,1) \) verbindet, und einer zentrischen Streckung mit Zentrum \( (0,0) \) um den Faktor \( \frac{1}{2}; \)
  • \( A_2 \) als zentrische Streckung mit Zentrum \( (0,1) \) um den Faktor \( \frac{1}{2}; \)
  • \( A_3 \) als zentrische Streckung mit Zentrum \( (1,1) \) um den Faktor \( \frac{1}{2}; \)
  • \( A_4 \) als Hintereinanderausführung einer Spiegelung von \( F \) an der Nebendiagonalen, die die Punkte \( (1,0) \) und \( (0,1) \) verbindet, und einer zentrischen Streckung mit Zentrum \( (1,0) \) um den Faktor \( \frac{1}{2}. \)

Insbesondere erhalten wir die Koordinaten des Grundmotivs \( p_1 \) aus dem Mittelpunkt \( M=(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \) wie folgt:

\[ 1=A_1\circ M,\quad 2=A_2\circ M,\quad 3=A_3\circ M,\quad 4=A_4\circ M. \]

Durch sukzessive Anwendung dieser Ähnlichkeitsabbildungen auf das Grundmotiv lassen sich die eingangs skizzierten Polygonzüge, welche die Hilbertkurve approximieren, gewinnen. Die Eckpunkte des Polygons \( p_2 \) im vorigen rechten Bild besitzen beispielsweise die Koordinaten:

\(1=A_1\circ A_1\circ M,\)
\(2=A_1\circ A_2\circ M,\)
\(3=A_1\circ A_3\circ M,\) \(4=A_1\circ A_4\circ M,\)
\(5=A_2\circ A_1\circ M,\)
\(6=A_2\circ A_2\circ M, \)
\(7=A_2\circ A_3\circ M,\)
\(8=A_2\circ A_4\circ M,\)
\(9=A_3\circ A_1\circ M,\)
\(10=A_3\circ A_2\circ M,\)
\(11=A_3\circ A_3\circ M,\)
\(12=A_3\circ A_4\circ M,\)
\(13=A_4\circ A_1\circ M,\)
\(14=A_4\circ A_2\circ M,\)
\(15=A_4\circ A_3\circ M,\)
\(16=A_4\circ A_4\circ M.\)


Eigenschaften

Die Hilbertkurve ist

  • eindeutig, d.h. jedem Punkt der Strecke wird ein Punkt des Quadrates zugeordnet;
  • surjektiv, also flächenfüllend, d.h. jeder Punkt des Quadrates ist Bild eines Punktes der Strecke;
  • nicht eineindeutig, d.h. genauer besitzt jeder Punkt des Quadrates ein, zwei, drei oder vier Urbilder auf der Strecke;
  • stetig;
  • in keinem Punkt differenzierbar.

Geschichtliches

Hilbert präsentierte dieses Beispiel einer flächenfüllenden Kurve erstmals am 18. September 1890 während der vierten Abteilungssitzung für Mathematik und Astronomie auf der 63. Versammlung der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte in Bremen.

 

Diese Abteilungssitzung fand, wie wir dem Sitzungsbericht entnehmen, vormittags zwischen 11.15 Uhr und 13.15 Uhr statt. Vor Hilbert trugen Heinrich Weber (Marburg) sowie Friedrich Wilhelm Franz Meyer (Clausthal) vor. Hilberts dritter Vortrag, an dessen Diskussion sich die Herren Walther von Dyck (München), Reinhold Ernst Eduard Hoppe (Berlin), Felix Klein (Göttingen) und Ernst Lebrecht Henneberg (Darmstadt) teilnahmen, schloss diese Sitzung ab.

 

Aus den Verhandlungen der Versammlung zitieren wir aus Hilberts Beitrag:

Auch sieht man aus der geometrischen Construction leicht, dass diese Abbildung stetig ist und dass ihre Umkehrung eine 2- und 4 deutige ist. Doch erscheint es bemerkenswert, dass durch geeignete Abänderung der Theillinien in dem Quadrate sich leicht eine stetige Abbildung finden lässt, deren Umkehrung nur eine 2- und 3 deutige ist.

Hilbert gibt weder Beweise seiner Behauptungen noch Beweisideen. Hans Hahn demonstrierte 1913 die von Hilbert erwähnte "Abänderung" der Teillinien im Quadrat am Beispiel der Peanokurve. Torsten Schmitt übertrug 2013 in seiner Bachelorarbeit Hahns Methode auf die von Hilbert beschriebene Kurve.

In einem Brief vom 23. November 1890 bittet F. Klein um ein kurzes schriftliches Manuskript des in Bremen gehaltenen Vortrags (siehe G. Frei):

Könnten Sie uns nicht eine mit Figuren ausgestattete Note über die Curve, die Sie in Bremen behandelten, geben? Dass Sie die Sache der geometrischen Anschauung nahe rücken, ist mir das Wesentliche. In der That: die abstracte Darstellung bei Peano lese ich und mit mir wahrscheinlich viele andere Mathematiker doch nicht; so aber, an der Figur, wirds mir unmittelbar zugänglich und ich empfinde die ganze Wichtigkeit der Sache.

Offenbar erwünscht sich F. Klein eine Note für die Mathematischen Annalen, zu deren Herausgeber er von 1876 bis 1924 zählte. Erwähnenswert ist auch Kleins Sicht auf G. Peanos Darstellung eines Beispiels einer flächenfüllenden Kurve, welche im 36. Band der Mathematischen Annalen 1890 veröffentlicht wurde (siehe G. Peano). Am 9. Dezember 1890 antwortet Hilbert:

Ueber meinen Bremer Vortrag habe ich in den "Bremer-Verhandlungen der Naturforscher und Aerzte" kurz berichtet und die Notiz auch mit Figuren ausgestattet. Eine breitere Ausführung - der Bericht umfasst nur eine Seite - möchte ich für jetzt nicht vornehmen, da ich mir vorgenommen habe, künftig einmal auf die ganze Frage näher einzugehen. Ich glaube nämlich, dass auch andere principiell interessante Beispiele von Funktionen, welche bisher immer durch einen ungeheuren analytischen Apparat definirt werden mussten, leichter und einfacher zu construiren sind, wenn man die geometrische Anschauung zu Hülfe nimmt. Freilich vorläufig bin ich mit anderen Arbeiten vollauf beschäftigt. Ich werde mir daher erlauben, Ihnen einen Separatabzug jenes Berichtes zur Zeit zuzusenden; derselbe steht dann zum Abdruck in den mathematischen Annalen zu Ihrer Verfügung.

Im 38. Band dieser Zeitschrift, im Jahre 1891, erschien dann David Hilberts Beitrag, und zwar in leicht veränderter Form:

Die so gefundene Abbildung ist eindeutig und stetig und umgekehrt einem jeden Punkte des Quadrates entsprechen ein, zwei oder vier Punkte der Linie. Es erscheint überdies bemerkenswert, daß durch geeignete Abänderung der Teillinien in dem Quadrate sich leicht eine eindeutige und stetige Abbildung finden läßt, deren Umkehrung eine nirgends mehr als dreideutige ist.

Wir bemerken insbesondere, dass auch hier die Anzahl der möglichen Urbilder der Kurve nicht richtig angegeben wurde. Hilbert fügt außerdem hinzu:

Die oben gefundenen abbildenden Funktionen sind zugleich einfache Beispiele für überall stetige und nirgends differenzierbare Funktionen.

Ein Beweis dieser Aussage wurde offenbar erst 100 Jahre später, also 1991, von Hans Sagan veröffentlicht (siehe Hans Sagans Lehrbuch). Für ausführliche Diskussionen über die Anzahl der Urbilder der Hilbertkurve verweisen wir auf die 2013 angefertigten Bachelorarbeiten von Thomas Schäfer und Torsten Schmitt.

Über die Anzahl der Urbilder

Wir wollen auf das Problem der Anzahl der Urbilder der Hilbertschen Kurve eingehen und fragen uns, weshalb diese grundlegende Frage in der Literatur nicht hinreichend präzise diskutiert wird:

 

In den Bremer Verhandlungen bemerkte Hilbert, dass jeder Punkt der von ihm gefundenen Kurve zwei oder vier Urbilder besitzt:

... dass diese Abbildung stetig ist und dass ihre Umkehrung eine 2- und 4 deutige ist.

Nach geeigneter Abänderung der Teillinien des Quadrats lässt sich erreichen, dass die so entstehende neue, aber ebenfalls flächenfüllende Kurve nur noch zwei bzw. dreideutig ist.

 

In einem Brief vom 22. Dezember 1890 an D. Hilbert äußerst sich H. Minkowski über die Frage der Anzahl der Urbilder der Hilbertschen Kurve nun wie folgt (siehe Rüdenberg und Zassenhaus)

Jüngstens habe ich einmal über Ihren Vortrag auf der Naturforscherversammlung nachgedacht. Sind Sie sicher, daß bei der von Ihnen angegebenen Bewegung eines Punktes in einem Quadrat der Punkt manche Stellen zu drei verschiedenen Zeiten passirt. Mir will es scheinen, als ob er nirgends mehr als zweimal hinkommt.

Aber meint Minkowski die von Hilbert ursprünglich vorgestellte Konstruktion, oder die von Hilbert erwähnte Kurve nach Abänderung der Teillinien des Quadrats? Wie wir jedenfalls wissen, behauptete Hilbert im Jahre 1891:

Die so gefundene Abbildung ist eindeutig und stetig und umgekehrt einem jeden Punkte des Quadrates entsprechen ein, zwei oder vier Punkte der Linie.

Das Problem der Anzahl der Urbilder bleibt daraufhin auch in der mathematischen Literatur unklar. So lesen wir beispielsweise in E. Jürgens 1899 (Seite 54; den Hinweis auf diese Literaturstelle verdanke ich Prof. D. Rowe):

Es ist von Interesse, an dieser Stelle die Peano-Hilbert'sche Abbildung (mathematische Annalen Bd. 36 und 38) zum Vergleich herbeizuziehen. Bei derselben ist die Abhängigkeit des Quadratpunktes vom Geradenpunkte bekanntlich eine eindeutige und stetige; bei der Umkehrung jedoch entsprechen einem Quadratpunkte entweder ein Punkt der Geraden oder aber zwei Punkte der Geraden oder endlich deren vier ...

Doch bereits 1900 gibt wir in E.H. Moore auf Seite 74 die richtige Antwort auf unsere Frage:

Similarly, every Z of the square belongs to ... one, two, three, or four points T of the line.

Wir fügen noch ein drittes Beispiel hinzu, was die Unsicherheit über das in Frage stehende Problem verdeutlicht. In H. Hahn 1913 (Seite 50) finden wir nämlich:

Bekanntlich liefert die von D. Hilbert gegebene stetige Abbildung der Strecke aufs Quadrat ein Beispiel, wo niemals mehr als drei verschiedene Punkte der Strecke auf einen und denselben Punkt des Quadrates abgebildet werden ...

Hahn bezieht sich wohl auf die von Hilbert gemachte Bemerkung, dass durch geeignete Abänderung der Teillinien des Quadrats die neue Kurve höchstens dreideutig ist. Wie diese neue Kurve aber aussehen soll, erläutert er nicht, weshalb der Leser nach Hahns Bemerkung über die richtige Anzahl der Urbilder weiter im Unklaren bleibt.