Theorie der Kurven - Kurven in Ebene und Raum


 

 

1.3.1 Stetige Abbildungen

 

Beschränkte Funktionen

 

Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^m. \) Mit \[ B(\Omega):=\{f\colon\Omega\to\mathbb R\,:\,f(\Omega)\ \mbox{ist beschränkte Teilmenge des}\ \mathbb R\} \] bezeichnen wir den unendlich dimensionalen Vektorraum der beschränkten Funktionen auf \( \Omega. \) Ausgestattet mit der Supremumsnorm \[ \|f\|_\infty:=\sup_{x\in\Omega}|f(x)| \] wird \( B(\Omega) \) zum Banachraum. Allgemeiner stellt auch der Raum \[ B(\Omega,\mathbb R^n):=\{f\colon\Omega\to\mathbb R^n\,:\,f(\Omega)\ \mbox{ist beschränkte Teilmenge des}\ \mathbb R^n\} \] aller vektorwertigen Funktionen \[ f(x)=(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x)) \quad\mbox{mit}\quad f_k\colon\Omega\to\mathbb R\ \mbox{für}\ k=1,2,\ldots, \] wieder ausgestattet mit der Supremumsnorm \[ \|f\|_\infty:=\sup_{x\in\Omega}\|f(x)\|_2\,, \] einen Banachraum dar. Oft schreiben wir auch einfach \( |f| \) für \( \|f\|_2. \)

 


 

 

Stetige Abbildungen

 

Es sei \( D\subseteq\mathbb R \) nicht leer, beispielsweise ein Intervall oder eine abzählbare Vereinigung von Intervallen. Dann heißt eine Abbildung \[ f\colon D\longrightarrow\mathbb R \] stetig im Punkt \( x_0\in D, \) wenn zu jedem vorgegebenen \( \varepsilon\gt 0 \) ein reelles \( \delta=\delta(\varepsilon,x_0) \) existiert mit der Eigenschaft \[ |f(x)-f(x_0)|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ x\in D\ \mbox{mit}\ |x-x_0|\lt\delta(\varepsilon,x_0). \] Die Abbildung heißt stetig in \( D, \) wenn sie in jedem Punkt \( x_0\in D \) stetig ist. Lässt sich ferner \( \delta(\varepsilon)=\delta(\varepsilon,x_0) \) gleichmäßig für alle \( x\in D \) und nur in Abhängigkeit von \( \varepsilon\gt 0 \) wählen, so heißt \( f(x) \) gleichmäßlig stetig auf \( D. \) Diese Definitionen lassen sich natürlich unmittelbar erweitern auf vektorwertige Funktionen \( f\colon D\to\mathbb R^n\,. \)

 


 

 

Häufungspunkte und isolierte Punkte

 

Ein Punkt \( x\in D \) heißt

\( \circ \) Häufungspunkt von \( D, \) falls zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( y\in D\setminus\{x\} \) existiert mit

\[ y\in B_\varepsilon(x):=\{z\in\mathbb R\,:\,|x-z|\lt\varepsilon\}\subset\mathbb R; \]

\( \circ \) isolierter Punkt von \( D, \) falls \( x\in D \) und \( x \) kein Häufungspunkt von \( D \) ist.

Wir wollen zwei Dinge bemerken: Einmal, dass eine Abbildung stets stetig in isolierten Punkten ist. Und zweitens ist obige \( \varepsilon \)-\( \delta \)-Definition der Stetigkeit äquivalent zur Definition der Folgenstetigkeit in Häufungspunkten \( x_0\in D, \) d.h. wenn erfüllt ist \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \] Hierin ist der Grenzwert auszuwerten über sämtliche Folgen \( \{x_k\}_{k=1,2,\ldots}\subset D \) mit \( x_k\to x_0 \) für \( k\to\infty. \) Wir verweisen auf das F. Sauvigny: Analysis (2014).

 


 

 

Sätze über stetige Funktionen

 

Wir wollen zwei wichtige Aussagen über stetige Funktionen auf kompakten Mengen in \( \mathbb R \) bereitstellen. Dabei heißt eine Teilmenge \( K\subset\mathbb R \) kompakt, wenn es möglich ist, aus jeder Überdeckung von \( K \) aus offenen Mengen endlich viele offene Mengen \( \Omega_1,\ldots,\Omega_N \) dieser Überdeckung so auszuwählen, dass bereits gilt \[ K\subset\Omega_1\cup\ldots\cup\Omega_N\,. \] Wir beginnen mit dem Fundamentalsatz von Weierstraß: Seien \( K\subset\mathbb R \) eine kompakte Menge und \( f\colon K\to\mathbb R \) eine stetige Funktion. Dann existieren Punkte \( x_{min}\in K \) und \( x_{max}\in K \) mit der Eigenschaft \[ f(x_{min})\le f(x)\le f(x_{max})\quad\mbox{für alle}\ x\in K. \] Eine auf einer kompakten Menge stetige Funktion nimmt also ihr Minimum in \( x_{min}\in K \) und ihr Maximum in \( x_{max}\in K \) an. Diese Punkte sind mit diesen Eigenschaften nicht notwendig eindeutig definiert. Und zweitens wiederholen wir den Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß: Seien \( K=[a,b]\subset\mathbb R \) ein kompaktes Intervall mit \( a\lt b, \) und sei \( f\colon K\to\mathbb R \) eine stetige Funktion mit der Eigenschaft \[ f(a)\lt f(b). \] Dann existiert zu jedem \( \eta\in(f(a),f(b)) \) ein \( \xi\in(a,b) \) mit der Eigenschaft \[ f(\xi)=\eta. \]

 


 

 

1.3.2 Differenzierbare Abbildungen

 

Definition differenzierbarer Funktionen

 

Eine Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) auf einem offenen Intervall \( D\subseteq\mathbb R \) heißt im Punkt \( x_0\in D \) differenzierbar, falls der folgende Grenzwert existiert \[ \lim_{x\to x_0,\ x\not=x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=:f'(x_0). \] Der Grenzwert ist dabei für alle Folgen \[ \{x_k\}_{k=1,2,\ldots}\subset D\setminus\{x_0\}\quad\mbox{mit}\quad x_k\longrightarrow x_0\ \mbox{für}\ k\to\infty \] auszuwerten. Die Funktion heißt differenzierbar in \( D, \) falls sie in jedem Punkt \( x\in D \) differenzierbar ist. Handelt es sich bei \( D\subset\mathbb R \) aber beispielsweise um ein halboffenes Intervall \( D=(a,b], \) so heißt \( f(x) \) im Randpunkt \( b\in D \) differenzierbar, falls der linksseitige Grenzwert existiert \[ \lim_{x\to b,\ x\lt b}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}=:f'(b). \] Entsprechend ist die Differenzierbarkeit einer Funktion auf anderen nicht offenen Mengen zu verstehen.

 


 

 

Entwicklung differenzierbarer Funktionen

 

Es sind folgende Aussagen äquivalent.

(i) \( f(x) \) ist in \( x_0\in D \) differenzierbar mit der Ableitung \( f'(x_0). \)
(ii) Es gibt eine in \( x_0\in D \) stetige Funktion \( \varphi\colon D\to\mathbb R \) mit \( \varphi(x_0)=0 \) und

\[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\varphi(x)(x-x_0),\quad x\in D. \] Ist nämlich \( f(x) \) in \( x_0\in D \) differenzierbar, so setzen wir \[ \begin{array}{l} \displaystyle \varphi(x):=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0),\quad x\not=x_0\,, \varphi(x_0):=0. \end{array} \] Dann ist \[ \lim_{x\to x_0,\ x\not=x_0}\varphi(x)=0, \] d.h. \( \varphi(x) \) ist in \( x=x_0 \) stetig, und die Darstellung (ii) folgt nach Umstellen. Umgekehrt folgt aus (ii) nach Umstellen \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)+\varphi(x),\quad x\in D\setminus\{x_0\}\,, \] und Grenzübergang \( x\to x_0 \) liefert wegen \( \varphi(x_0)=0 \) \[ \lim_{x\to x_0,\ x\not=x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =f'(x_0)+\varphi(x_0) =f'(x_0). \] Also ist \( f(x) \) in \( x=x_0 \) differenzierbar mit Ableitung \( f'(x_0).\qquad\Box \)

 


 

 

Stetigkeit differenzierbarer Funktionen

 

Ist die Funktion \( f(x) \) in \( x_0\in D \) differenzierbar, so ist sie in diesem Punkt auch stetig. Das folgt unmittelbar aus voriger Entwicklungsformel differenzierbarer Funktionen, nach der wir nämlich schließen \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)\negthickspace & = & \displaystyle\negthickspace f(x_0)+\lim_{x\to x_0}f'(x_0)(x-x_0)f(x)+\lim_{x\to x_0}\varphi(x)(x-x_0) \\ & = & \displaystyle\negthickspace f(x_0)+0+0 \,=\,f(x_0). \end{array} \] Die Umkehrung dieser Aussage ist natürlich falsch, was bereits die Betragsfunktion \[ f(x)=|x|,\quad x\in\mathbb R, \] zeigt, die zwar in \( \mathbb R \) stetig, in \( x_0=0 \) aber nicht differenzierbar ist, denn es gilt \[ f'(x) =\left\{ \begin{array}{cl} -1, & x\lt 0 \\ +1, & x\gt 0 \end{array} \right.. \]

 


 

 

Stetig differenzierbare Funktionen

 

Wir setzen \[ C^1(D)=C^1(D,\mathbb R):=\{f\colon D\to\mathbb R\,:\,f(x)\ \mbox{und}\ f'(x)\ \mbox{sind stetig in}\ D\} \] bzw. allgemein \[ C^k(D)=C^k(D,\mathbb R):=\{f\colon D\to\mathbb R\,:\,f(x)\ \mbox{ist}\ k\mbox{-mal stetig differenzierbar in}\ D\}, \] d.h. \( f(x) \) sowie die Ableitungen \( f'(x),\ldots,f^{(k)}(x) \) sind stetig in \( D. \) Mit den üblichen Verknüpfungen \( f+g \) und \( \lambda f, \) \( \lambda\in\mathbb R, \) bildet \( C^k(D) \) einen Vektorraum, und zusammen mit der Norm \[ \|f\|_k:= \sum_{i=0}^k\sup_{x\in D}|f^{(i)}(x)| \] wird \( (C^k(D),\|\cdot\|_k) \) zu einem Banachraum bzw. vollständigen Raum, siehe z.B. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Abschnitt 1.5 (2006). Schließlich definieren wir mit \[ C^\infty(D)=C^\infty(D,\mathbb R):=\bigcap_{k=0}^\infty C^k(D,\mathbb R) \] den Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen \( f\colon D\to\mathbb R. \)

 


 

 

Sätze differenzierbare Funktionen

 

Es sei \( D=[a,b] \) ein kompaktes Intervall mit Grenzen \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty. \) Wir wollen zwei zentrale Sätze über differenzierbare Funktionen wiederholen und beginnen mit dem bekannten Satz von Rolle: Die Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) sei stetig auf \( [a,b]\subset\mathbb R \) und differenzierbar in \( (a,b)\subset\mathbb R. \) Ferner gelte \[ f(a)=f(b)=0. \] Dann existiert ein \( \xi\in(a,b) \) mit \[ f'(\xi)=0. \] Für einen Beweis dieses Satzes verweisen wir auf das Lehrbuch F. Sauvigny: Analysis (2014). Zweitens geben wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an in folgender allgemeinen Form: Die stetigen Funktionen \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) seien in \( (a,b)\subset\mathbb R \) differenzierbar. Weiter seien vorausgesetzt \[ g'(x)\not=0\quad\mbox{in}\ (a,b)\quad\mbox{sowie}\quad g(a)\not=g(b). \] Dann existiert ein \( x_0\in(a,b) \) mit \[ \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\,. \] Dieser Satz folgt nach Anwendung des Rolleschen Satzes auf die Funktion \[ h(x):=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\,\big\{g(x)-g(a)\big\}\,. \] Im Fall \( g(x)=x \) erhalten wir die klassische Form dieses Mittelwertsatzes der Differentialrechnung \[ f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,. \]

 


 

 

1.3.3 Lipschitzstetige Abbildungen

 

1.3.4 Hölderstetige Abbildungen