Theorie der Kurven - Kurven in Ebene und Raum


 

1.2 Norm und Metrik

 

1.2.1 Normierte Räume

 

Intervalle

 

Unter einem Intervall verstehen wir eine zusammenhängende Teilmenge der reellen Zahlen. Das beinhaltet einerseits die leere Menge \( \emptyset \) sowie die einelementigen Mengen \( \{x\} \) als triviale Beispiele. Sind ferner \( a,b\in\mathbb R \) zwei reelle Zahlen mit \( a\le b, \) so sind andererseits die folgenden beschränkten Teilmengen

\( \circ \) \( (a,b)=\{x\in\mathbb R\,:\,a\lt x\lt b\} \)
\( \circ \) \( (a,b]=\{x\in\mathbb R\,:\,a\lt x\le b\} \)
\( \circ \) \( [a,b)=\{x\in\mathbb R\,:\,a\le x\le b\} \)

wie auch die folgenden unbeschränkten Teilmengen

\( \circ \) \( (a,\infty)=\{x\in\mathbb R\,:\,a\lt x\} \)
\( \circ \) \( [a,\infty)=\{x\in\mathbb R\,:\,a\le x\} \)
\( \circ \) \( (-\infty,b)=\{x\in\mathbb R\,:\,x\lt b\} \)
\( \circ \) \( (-\infty,b]=\{x\in\mathbb R\,:\,x\le b\} \)
\( \circ \) \( (-\infty,\infty)=\mathbb R \)

Intervalle. Keine Intervalle sind beispielsweise disjunkte Vereinigungen der Form \[ (1,2)\cup[3,5)\quad\mbox{usw.} \]

 


 

 

Definition einer Norm

 

Es bezeichne \( V \) einen linearen Raum bzw. Vektorraum über den reellen Zahlen \( \mathbb R. \) Unter einer Norm \[ \|\cdot\|\colon V\longrightarrow[0,\infty) \] verstehen wir eine Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:

(N1) Für alle \( v\in V \) gilt \( \|v\|\ge 0 \) mit \( \|v\|=0 \) genau dann, wenn \( v=0. \)
(N2) Für alle \( \alpha\in\mathbb R \) und alle \( v\in V \) gilt

\[ \|\alpha v\|=|\alpha|\cdot\|v\| \]

  mit dem gewöhnlichen Betrag \( |\alpha| \) der Zahl \( \alpha\in\mathbb R. \)
(N3) Für alle \( v,w\in V \) gilt

\[ \|v+w\|\le\|v\|+\|w\|. \] Man bezeichnet (N1) auch als Definitheit und (N2) als Homogenität der Norm. (N3) gibt die zentrale Dreiecksungleichung wieder. Beachte aber, dass wir in (N1) eigentlich zu viel verlangen. Einmal nämlich haben wir die Nichtnegativität vorausgesetzt, und zum zweiten zieht \( v=0 \) sofort \( \|v\|=0 \) nach sich wegen (N2) nach Setzen von \( \alpha=0. \) Und daraufhin ergibt sich die Eigenschaft \( \|v\|\ge 0 \) für alle \( v\in V \) aus (N3) wie folgt \[ 0=\|v-v\|=\|v+(-v)\|\le\|v\|+\|-v\|=\|v\|+\|v\|=2\|v\|, \] also \( \|v\|\ge 0. \)

 


 

 

Beispiele von Normen

 

Der gewöhnliche Betrag \( |\cdot|\colon\mathbb R\to[0,\infty) \) ist das Standardbeispiel einer Norm. Im \( n \)-dimensionalen Zahlenraum \( \mathbb R^n \) sind die Euklidische Norm \[ \|x\|_2:=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}\,,\quad x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n\,, \] sowie wie die allgemeineren \( p \) -Normen \[ \|x\|_p:=\left(\,\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^\frac{1}{p},\quad p\in\mathbb N, \] die bekanntesten Beispiele für Normen. Im Fall \( p=1 \) spricht man auch von der Betragssummennorm. Unter der Maximumsnorm verstehen wir den Ausdruck \[ \|x\|_\infty:=\max\{|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_n|\}\,. \] Formal gliedert sich diese Norm wie folgt in die \( p \)-Normen ein: Für \( x\not=0 \) ist \[ \|x\|_p =\left(\,\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^\frac{1}{p} =\|x\|_\infty\left(\,\sum_{k=1}^n\left[\frac{|x_k|}{\|x\|_\infty}\right]^p\right)^\frac{1}{p}, \] wobei wir \[ 1\le\sum_{k=1}^n\left[\frac{|x_k|}{\|x\|_\infty}\right]^p\le n \] für \( 1\le p\lt\infty \) beachten. Es folgt \[ \lim_{p\to\infty}\|x\|_p =\|x\|_\infty\cdot\lim_{p\to\infty}\left(\,\sum_{k=1}^n\left[\frac{|x_k|}{\|x\|_\infty}\right]^p\right)^\frac{1}{p} =\|x\|_\infty\cdot 1 =\|x\|_\infty\,. \]

 


 

 

Die Euklidische Norm

 

Die Euklidische Norm \( \|\cdot\|_2 \) spielt in der Geometrie eine ausgezeichnete Rolle, enthält sie doch den aus der klassischen Euklidischen Geometrie bekannten Längenbegriff. Wir wollen uns daher von ihren Normeigenschaften überzeugen. Zunächst lesen wir (N1) ab, während (N2) aus \[ \|\alpha x\|_2=\sqrt{\sum_{k=1}^n(\alpha x_k)^2}=|\alpha|\,\sqrt{\sum_{k=1}^nx_k^2}\,\ge 0 \] folgt. Zum Nachweis der Dreiecksungleichung beginnen wir mit \[ \|x+y\|_2^2 =\sum_{k=1}^n(x_k+y_k)^2 =\sum_{k=1}^nx_k^2+2\sum_{k=1}^nx_ky_k+\sum_{k=1}^ny_k^2 =\|x\|_2^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|_2^2 \] mit dem Euklidischen Skalarprodukt \( \langle x,y\rangle. \) Nun verwenden wir die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung und schätzen weiter ab \[ \begin{array}{lll} \|x+y\|_2^2\negthickspace & = & \negthickspace \|x\|_2^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|_2^2 \,\le\,\|x\|_2^2+2\|x\|_2\|y\|_2+\|y\|_2^2 \\ & = & \negthickspace (\|x\|_2+\|y\|_2)^2\,. \end{array} \] Radizieren liefert die gesuchte Dreiecksungleichung. Damit sind die Normeigenschaften (N1), (N2) und (N3) nachgewiesen.

 


 

 

Äquivalente Normen

 

Zwei Normen \( \|\cdot\|\colon V\to\mathbb R \) und \( \|\cdot\|_*\colon V\to\mathbb R \) auf einem reellen Vektorraum heißen äquivalent, falls mit reellen Zahlen \( \lambda,\mu\ge 0 \) gilt \[ \lambda\|v\|\le\|v\|_*\le\mu\|v\|\quad\mbox{für alle}\ v\in V. \] In \( n \)-dimensionalen Vektorräumen sind sämtliche Normen untereinander äquivalent, siehe beispielsweise Satz 1.1 aus H. Triebel: Höhere Analysis (1980).

 

Beispiel: Man verifiziert auf dem \( \mathbb R^n \) die Richtigkeit der Abschätzungen \[ \frac{1}{n}\,\|x\|_1\le\|x\|_\infty\le\|x\|_1\,,\quad \frac{1}{\sqrt{n}}\,\|x\|_2\le\|x\|_\infty\le\|x\|_2\,, \] denn es ist etwa \[ \begin{array}{l} \displaystyle \|x\|_1 =\sum_{k=1}^n|x_k| \le\sum_{k=1}^n\max\{|x_1|,\ldots,|x_n|\} =n\cdot\|x\|_\infty \end{array} \] zum Nachweis der ersten Behauptung und \[ \|x\|_2 \le\sqrt{\sum_{k=1}^n\max\{|x_1|,\ldots,|x_n|\}^2} =\sqrt{n}\cdot\|x\|_\infty \] für die zweite Behauptung. Ferner liefert die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, angewandt auf die Summanden \( x_k=1\cdot x_k, \) die Abschätzung \( \|x\|_1\le\sqrt{n}\,\|x\|_2, \) und durch Quadrieren erkennt man ebenfalls \( \|x\|_2\le\|x\|_1\,,\) zusammenfassend also \[ \frac{1}{\sqrt{n}}\,\|x\|_1\le\|x\|_2\le\|x\|_1\,. \]

 


 

 

Der Folgenraum \( \ell^p \)

 

Beispiele unendlich dimensionaler Vektorräume sind die im Jahre 1910 von F. Riesz eingeführten \( \ell_p \)-Folgenräume, siehe etwa F. Riesz und B. Sc.-Nagy: Vorlesungen über Funtionalanalysis (2000) für detaillierte Untersuchungen. Für Exponenten \( 1\le p\lt\infty \) sind diese Räume nun definiert als \[ \ell_p:=\left\{x\,:\,\sum_{k=1}^\infty|x_k|^p\lt\infty\right\}, \quad\mbox{aber auch}\quad \ell_\infty:=\left\{x\,:\,\sup_{k=1,2,\ldots}|x_k|\lt\infty\right\} \] für reellwertige Zahlenfolgen \( x=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}\subset\mathbb R. \) Ausgestattet mit den Normen \[ \|x\|_{\ell_p}:=\left(\,\sum_{k=1}^\infty|x_k|^p\right)^\frac{1}{p} \quad\mbox{bzw.}\quad \|x\|_{\ell_\infty}:=\sup_{k=1,2,\ldots}|x_k| \] werden diese Räume zu vollständigen bzw. Banachräumen, d.h. zu normierten Vektorräumen, in denen jede Cauchyfolge ein, und dann auch nur ein Grenzelement besitzt. Übrigens ist jeder endlich dimensionale Vektorraum ein Banachraum. Wir bemerken schließlich, dass die verschiedenen \( \ell_p \)-Normen auf den reellwertigen Folgen \( x=\{x_k\}_{k=1,2,\ldots} \) nicht äquivalent sind. Als Gegenbeispiel betrachten wir die Folge \( x \) mit den Gliedern \( x_k=\frac{1}{k}, \) von der wir wissen \[ \|x\|_1=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=\infty\,,\quad \|x\|_2^2=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\,. \] also \( x\not\in\ell_1, \) aber \( x\in\ell_2. \) Hingegen sieht man \( \|x\|_{\ell_2}\le\|x\|_{\ell_1} \) ein und damit \( \ell_1\subset\ell_2. \)

 


 

 

1.2.2 Metrische Räume

 

Definition einer Metrik

 

Es sei \( X \) eine nichtleere Menge. Eine Funktion \[ d\colon X\times X\longrightarrow[0,\infty) \] heißt eine Metrik auf \( X, \) wenn für alle \( x,y,z\in X \) gelten:

(M1) \( d(x,y)\ge 0 \)
(M2) \( d(x,y)=0 \) genau dann, wenn \( x=y \)
(M3) \( d(x,y)=d(y,x) \)
(M4) \( d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) \)

Das Paar \( (X,d) \) heißt dann ein metrischer Raum. Wir bezeichnen (M1) als Nichtnegativität, (M2) als Definitheit und (M3) als Symmetrie der Metrik. Die Eigenschaft (M4) beinhaltet die Dreiecksungleichung. Tatsächlich lässt sich (M1) der Reihe nach aus (M2), (M4) und (M3) wie folgt ableiten: \[ 0=d(x,y)\le d(x,y)+d(y,x)=d(x,y)+d(x,y)=2d(x,y), \] also \( d(x,y)\ge 0. \) Wir wollen auch bemerken, dass es nicht notwendig ist, \( X\not=\emptyset \) zu fordern. Vielmehr darf \( X \) eine beliebige Menge sein.

 


 

 

Beispiele metrischer Räume

 

Das Standardbeispiel eines metrischen Raumes ist der \( \mathbb R, \) ausgestattet mit der Betragsmetrik \[ d(x,y):=|x-y|,\quad x,y\in\mathbb R, \] mit der gewöhnlichen Betragsfunktion \( |\cdot|\colon\mathbb R\to[0,\infty). \) Wir schreiben \( (\mathbb R,|\cdot|). \) Ist nächstens \( X \) nichtleer, sonst aber beliebig, so stellt \[ d(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} 0, & \mbox{falls}\ x=y \\ 1, & \mbox{falls}\ x\not=y \end{array} \right. \] eine Metrik auf \( X \) dar, die sogenannte diskrete Metrik. Diese Metrik ist eine Quelle vieler Beispiele und auch Gegenbeispiele in der Analysis. Weitere wichtige Beispiele für Metriken auf dem \( \mathbb R^n \) sind die Betragssummenmetrik \[ \varrho(x,y):=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+\ldots+|x_n-y_n|,\quad x,y\in\mathbb R^n\,, \] und die Maximumsmetrik \[ \sigma(x,y):=\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|,\ldots,|x_n-y_n|\}\,,\quad x,y\in\mathbb R^n\,. \] Eine Metrik auf dem unendlich dimensionalen Raum \( X=C^0([a,b],\mathbb R) \) der stetigen Funktionen \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) auf kompakten Mengen \( [a,b]\subset\mathbb R, \) wobei wir ohne Einschränkung \( a\lt b \) annehmen, liefert \[ d(f,g):=\int\limits_a^b|f(x)-g(x)|\,dx. \] Die Eigenschaften (M1) bis (M4) folgen aus den bekannten Eigenschaften des Riemannschen Integrals.

 


 

 

Die Euklidische Metrik

 

Obige \( p \)-Normen \( \|\cdot\|_p \) führen, wie wir im nächsten Paragraphen zeigen, auf folgenden \( p \)-Metriken \[ d_p(x,y):=\left(\,\sum_{k=1}^n|x_k-y_k|^p\right)^\frac{1}{p}\,,\quad 1\le p\lt\infty\,, \] von denen die Betragssummenmetrik \[ d_1(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+\ldots+|x_n-y_n| \] und die Euklidische Metrik in Form des Pythagoreischen Lehrsatzes \[ d_2(x,y)=\left(\,\sum_{k=1}^n|x_k-y_k|^2\right)^\frac{1}{2} \] wichtige Spezialfälle sind. Um einzusehen, dass es sich bei \( (\mathbb R^n,d_p) \) tatsächlich um einen metrischen Raum handelt, wollen wir uns nur auf einen Nachweis der Dreiecksungleichung konzentrieren. Dazu zieht man gewöhnlich die Minkowskische Ungleichung heran, \[ \left(\,\sum_{k=1}^n|\xi_k+\eta_k|^p\right)^\frac{1}{p} \le\left(\,\sum_{k=1}^n|\xi_k|^p\right)^\frac{1}{p}+\left(\,\sum_{k=1}^n|\eta_k|^p\right)^\frac{1}{p}\,, \] siehe H. Triebel: Höhere Analysis (1980), Lemma 2.2, und ersetzt \( \xi_k \) durch \( x_k-y_k \) und \( \eta_k \) durch \( y_k-z_k, \) \[ \left(\,\sum_{k=1}^n|x_k-z_k|^p\right)^\frac{1}{p} \le\left(\,\sum_{k=1}^n|x_k-y_k|^p\right)^\frac{1}{p}+\left(\,\sum_{k=1}^n|y_k-z_k|^p\right)^\frac{1}{p} \] bzw. in obiger Notation \[ d_p(x,z)\le d_p(x,y)+d_p(y,z)\quad\mbox{für alle}\ 1\le p\lt\infty\,. \] Einen Nachweis der verbleibenden Eigenschaften (M1), (M2) und (M3) belassen wir als Übung.

 


 

 

Von Normen erzeugte Metriken

 

Es sei \( (V,\|\cdot\|) \) ein normierter Raum. Wir wollen zeigen, dass dann \[ d(x,y):=\|x-y\|,\quad x,y\in V, \] eine Metrik auf \( V \) dar, d.h. \( (V,d) \) ist ein metrischer Raum. Zunächst ist nämlich \( d(x,y)\ge 0 \) für alle \( x,y\in V, \) d.h. (M1). Weiter ist \( \|x-y\|=0 \) genau dann, wenn \( x=y \) nach (N1), also gilt (M2). Nach (N2) ist ferner \[ d(x,y)=\|x-y\|=\|-(y-x)\|=|-1|\cdot\|y-x\|=d(y,x), \] d.h. es gilt auch (M3). Und schließlich ermitteln wir mit (N3) \[ d(x,z) =\|x-z\| =\|(x-y)+(y-z)\| \le\|x-y\|+\|y-z\| =d(x,y)+d(y,z) \] und damit (M4). Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

 

Normierte Räume sind also gleichzeitig metrisch. Die Umkehrung dieser Aussage ist jedoch im Allgemeinen falsch. Ein Gegenbeispiel stellt die aus diskrete Metrik \( d(x,y) \) über \( \mathbb R \) dar. Nehmen wir dazu an, \( d(x,y) \) wird doch von einer solchen Norm \( \|\cdot\| \) erzeugt. Sei \( x\not=0 \) beliebig gewählt. Dann ist \[ 1=d(x,0)=\|x-0\|=\|x\|, \] was uns aber mit (N2) zu folgendem Widerspruch führt \[ 1=d(2x,0)=\|2x\|=2\|x\|=2d(x,0)=2\cdot 1. \]