MATERIALIEN ZUR ANALYSIS 1 SOMMERSEMESTER 2020


 

Auf Grundlage der von Prof. Dr. Friedrich Sauvigny gehaltenen Vorlesung Analysis 1 im Winter-semester 1992 an der Brandenburgischen Technischen Universität Cottbus

Inhalte der Analysis 1

 

Die hauptsächlichen Inhalte der Vorlesung zur Analysis 1 sind:

  • Einführung der reellen und komplexen Zahlen
  • Folgen und Reihen
  • Stetige Funktion
  • Differenzierbare Funktionen
  • Riemannintegrierbare Funktionen

Wir untersuchen ausschließlich reell- bzw. komplexwertige Funktionen in einer reellen oder komplexen Veränderlichen.

 

Wie sollte ich lernen?

 

Unser Manuskript besteht aus

  • mathematische Haupttexte, die in verschiedene Abschnitte unterteilt sind, z.B.

1.1. Mathematische Logik

1.1.1 Aussagen und Aussageformen

  . . . . . . . . . . . . .

  • den einzelnen Abschnitten zugeordneten Aufgaben, z.B.

1.1.5 Aufgaben

  . . . . . . . . . . . . .

  • den einzelnen Abschnitten zugeordneten Wiederholungsfragen

1.1.6 Wiederholungsfragen

   . . . . . . . . . . . . .

 

Erarbeiten Sie sich zunächst die Haupttext langsam und gründlich. Nach meiner Erfahrung geschieht das am besten durch sauberes Abschreiben und Durchdenken. Auf diese Weise erstellen Sie ein eigenes hand-schriftliches Manuskript im Umfang von etwa 120 Seiten.

 

Die Aufgaben dienen als Beispiele als auch zur Vertiefung der Haupttexte. Zu Aufgaben ohne Stern geben wir Musterlösungen dazu. Aufgaben mit Stern sollen Sie selbst handschriftlich lösen und uns in fotografier-ter oder eingescannter Form zukommen lassen. Wir besitzen in diesem Semester nicht die Ressourcen, um alle Ihre Lösungen zu korrigieren und Ihnen zu Ihren Lösungen Rückmeldungen zu geben. Wir werden daher notieren, welche Aufgaben Sie gelöst haben, und dann Lösungen nur stichprobenartig korrigieren.

 

Die Wiederholungsfragen dienen schließlich dazu, wichtige Begriffe der Haupttexte noch einmal in Erinnerung zu rufen.

 

Wir werden versuchen, Ihre Fragen oder Anmerkungen zum Manuskript und zu den Aufgaben  im virtuellen Lernzentrum wie auch in unseren Diskussionsforen zu beantworten.

 

Literatur

 

Unser Manuskript auf den folgenden Seiten genügt unserer Analysis 1-Vorlesung in jeder Hinsicht. Für ein weiterführendes Selbststudium jedoch hier eine Liste vorlesungsbegleitender Literatur. Diese Liste wird - auch durch Ihre Unterstützung - fortlaufend aktualisiert.

 

Über Ihren Uni-Account bietet Ihnen unsere Bibliothek folgende Online-Volltexte an:

In unserer Bibliothek finden Sie weiterhin folgende Literatur zur Analysis:

  • de Jong, Theo: Analysis in einer reellen Veränderlichen. Pearson, 2012
  • Delgado, R.V.; Manfrino, R.B.; Ortega, J.A.G.: Inequalities. Springer, 2009
  • Heuser, H.: Analysis 1. Teubner, 2009
  • Landau, E.: Grundlagen der Analysis. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1963
  • Pforr, E.A., Schirotzek, W.: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Veränderlichen. BSB B.G. Teubner, 1988
  • Sauvigny, F.: Analysis 1. Vorlesungs im Wintersemester 1994/95. BTU Cottbus
  • Schäfer, W., Georgi, K.: Vorbereitung auf das Hochschulstudium. BSB B.G. Teubner, 1989
  • Strubecker, K.: Einführung in die höhere Mathematik I. R. Oldenbourg, 1966
  • Strubecker, K.: Einführung in die höhere Mathematik II. R Oldenbourg, 1967

Schließlich allgemeinere Literatur zur Mathematik als Online-Volltexte über Ihren Uni-Account:

 


 

Vorlesungsinhalt

 

Teil I: Zahlen, Folgen und Reihen

 

1. Grundlagen

1.1 Mathematische Logik

1.1.1 Aussagen und Aussageformen

1.1.2 Verknüpfungen von Aussagen

1.1.3 Aussagenlogische Beweisprinzipien

1.1.4 Quantoren

1.1.5 Aufgaben

1.1.6 Wiederholungsfragen

1.2 Mengenlehre

1.2.1 Charakterisierung von Mengen

1.2.2 Mengenrelationen und Mengenoperationen

1.2.3 Rechenregeln für Mengen

1.2.4 Abbildungen zwischen Mengen

1.2.5 Mächtigkeit von Mengen

1.2.6 Aufgaben

1.2.7 Wiederholungsfragen

2. Elementare Zahlenbereiche

2.1 Die natürlichen Zahlen

2.1.1 Peano-Dedekind-Axiomatik der natürlichen Zahlen

2.1.2 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen

2.1.3 Das Prinzip der vollständigen Induktion

2.1.4 Das Rechnen mit natürlichen Zahlen

2.1.5 Ordnungsstruktur der natürlichen Zahlen

2.1.6 Aufgaben

2.1.7 Wiederholungsfragen

2.2. Die ganzen Zahlen

2.2.1 Definition der ganzen Zahlen

2.2.2 Addition und Multiplikation ganzer Zahlen

2.2.3 Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen

2.2.4 Ordnungsstruktur der ganzen Zahlen

2.2.5 Aufgaben

2.2.6 Wiederholungsfragen

2.3 Die rationalen Zahlen

2.3.1 Definition der rationalen Zahlen

2.3.2 Addition und Multiplikation rationaler Zahlen

2.3.3 Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen

2.3.4 Ordnungsstruktur der rationalen Zahlen

2.3.5 Mächtigkeit von Mengen

2.3.6 Abzählbarkeit der rationalen Zahlen

2.3.7 Aufgaben

2.3.8 Wiederholungsfragen

2.4 Einführung in die Körpertheorie

2.4.1 Definition eines Körpers

2.4.2 Rechnen in Körpern

2.4.3 Angeordnete Körper

2.4.4. Das Archimedische Axiom

2.4.5 Der Absolutbetrag

2.4.6 Aufgaben

2.5.7 Wiederholungsfragen

3. Reelle Zahlen

3.1 Rationale und nichtrationale Zahlen

3.1.1 Existenz nichtrationaler Zahlen

3.1.2 Erster Schritt: Wahl einer approximierenden Zahlenfolge

3.1.3 Zweiter Schritt: Die geometrische Summenformel

3.1.4 Definition reeller Zahlen

3.1.5 Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen

3.1.6 Aufgaben

3.1.7 Wiederholungsfragen

3.2 Algebraische Struktur reeller Zahlen

3.2.1 Beschränktheit rationaler Cauchyfolgen

3.2.2 Addition und Multiplikation reeller Zahlen

3.2.3 Ordnungsstruktur reeller Zahlen

3.2.4 Die multiplikative Inverse einer reellen Zahl

3.2.5 Reelle Zahlenintervalle

3.2.6 Die reellen Zahlen als Körper

3.2.7 Aufgaben

3.2.8 Wiederholungsfragen

3.3 Weitere Eigenschaften reeller Zahlen

3.3.1 Lösung der p-ten Wurzelgleichung - Beginn

3.3.2 Der binomische Lehrsatz

3.3.3 Lösung der p-ten Wurzelgleichung - Abschluss

3.3.4 Dezimaldarstellung reeller Zahlen

3.3.5 Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

3.3.6 Aufgaben

3.3.7 Wiederholungsfragen

3.4 Reelle Zahlenfolgen

3.4.1 Konvergente und divergente Zahlenfolgen

3.4.2 Erste Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen

3.4.3 Dichtheit der rationalen Zahlen, Vollständigkeit der reellen Zahlen

3.4.4 Der Häufungsstellensatz von Weierstraß

3.4.5 Monotone Zahlenfolgen

3.4.6 Der erweiterte Zahlenraum

3.4.7 Infimum und Supremum

3.4.8 Limes inferior und limes superior

3.4.9 Aufgaben

3.4.10 Wiederholungsfragen

4. Komplexe Zahlen

4.1 Eigenschaften komplexer Zahlen

4.1.1 Definition komplexer Zahlen

4.1.2 Addition und Multiplikation komplexer Zahlen

4.1.3 Die komplexe Einheit

4.1.4 Die komplexen Zahlen sind nicht anordbar

4.1.5 Die komplexe Ebene

4.1.6 Aufgaben

4.1.7 Wiederholungsfragen

4.2 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

4.2.1 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Komplexen

4.2.2 Aufgaben

4.2.3 Wiederholungsfragen

5. Theorie der Reihen

5.1 Konvergente und divergente Reihen

5.1.1 Reihen und ihre Partialsummen

5.1.2 Das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen

5.1.3 Die geometrische Reihe

5.1.4 Die harmonische Reihe

5.1.5 Aufgaben

5.1.6 Wiederholungsfragen

5.2 Konvergenzkriterien für Reihen

5.2.1 Das Majorantenkriterium

5.2.2 Das Minorantenkriterium

5.2.3 Das Leibnizkriterium

5.2.4 Das Wurzelkriterium

5.2.5 Das Quotientenkriterium

5.2.6 Aufgaben

5.2.7 Wiederholungsfragen

5.3 Umordnung von Reihen

5.3.1 Absolute und bedingte Konvergenz

5.3.2 Der Begriff der Umordnung

5.3.3 Der erste Riemannsche Umordnungssatz

5.3.4 Der zweite Riemannsche Umordnungssatz

5.3.5 Aufgaben

5.4.6 Wiederholungsfragen

5.4 Doppelreihen

5.4.1 Der Begriff der Doppelreihe

5.4.2 Absolut konvergente Doppelreihen

5.4.3 Der Cauchysche Produktsatz

5.4.4 Aufgaben

5.4.5 Wiederholungsfragen

5.5 Potenzreihen

5.5.1 Definition und die komplexe Exponentialreihe

5.5.2 Der Satz von Cauchy-Hadamard

5.5.3 Konvergenzradius und Konvergenzbereich

5.5.4 Der Cauchysche Produktsatz für Reihen

5.5.5 Die Funktionalgleichung der komplexwertigen Exponentialreihe

5.5.6 Aufgaben

5.5.7 Wiederholungsfragen

 

Teil II: Funktionen in einer Veränderlichen

 

6. Stetige Funktionen

6.1 Der Begriff der stetigen Funktion

6.1.1 Grundbegriffe

6.1.2 Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit

6.1.3 Häufungspunkte und isolierte Punkte

6.1.4 Folgenstetigkeit

6.2 Der Raum der stetigen Funktionen

6.2.1 Algebraische Eigenschaften stetiger Funktionen

6.2.2 Der Vektorraum der stetigen Funktionen

6.2.3 Offene, abgeschlossene und kompakte Mengen

6.2.4 Stetigkeit der Umkehrfunktion

6.2.5 Aufgaben

6.2.6 Wiederholungsfragen

6.3 Sätze über stetige Funktionen

6.3.1 Der Fundamentalsatz von Weierstraß

6.3.2 Der Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß

6.3.3 Satz über die monotone Umkehrfunktion

6.3.4 Satz über die gleichmäßige Konvergenz

6.3.5 Aufgaben

6.3.6 Wiederholungsfragen

6.4 Funktionenfolgen

6.4.1 Konvergenzbegriffe

6.4.2 Cauchykriterium zur gleichmäßigen Konvergenz

6.4.3 Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit

6.4.4 Aufgaben

6.4.5 Wiederholungsfragen

6.5 Der Weierstraßsche Majorantentest

6.5.1 Funktionenreihen und gleichmäßige Konvergenz

6.5.2 Der Weierstraßsche Majorantentest

6.5.3 Aufgaben

6.5.4 Wiederholungsfragen

7. Differenzierbare Funktionen

7.1 Der Raum der differenzierbaren Funktionen

7.1.1 Definition

7.1.2 Lineare Approximation und Stetigkeit

7.1.3 Elementare Ableitungsregeln

7.1.4 Differentiation der Umkehrfunktion

7.1.5 Der Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen

7.1.6 Aufgaben

7.1.7 Wiederholungsfragen

7.2 Die allgemeine Potenzfunktion

7.2.1 Natürlicher Logarithmus und die allgemeine Potenzfunktion

7.2.2 Rechenregeln

7.2.3 Ableitung der Potenzfunktion

7.2.4 Aufgaben

7.2.5 Wiederholungsfragen

7.3 Sätze über differenzierbare Funktionen

7.3.1 Der Satz von Rolle

7.3.2 Ein notwendiges Kriterium für lokale Extrema

7.3.3 Mittelwertsätze

7.3.4 Ein hinreichendes Kriterium für strenge lokale Minima und Maxima

7.3.5 Aufgaben

7.3.6 Wiederholungsfragen

7.4 Die Taylorsche Formel

7.4.1 Differentiation von Potenzreihen

7.4.2 Die Taylorsche Formel

7.4.3 Aufgaben

7.4.4 Wiederholungsfragen

7.5 Trigonometrische Funktionen

7.5.1 Definition und Eulersche Relation

7.5.2 Potenzreihenentwicklungen

7.5.3 Additionstheoreme und Winkelverdopplungsformeln

7.5.4 Differentiation der trigonometrischen Funktionen

7.5.5 Einführung der Kreiszahl

7.5.6 Phasenverschiebung und Monotonie der reellen trigonometrischen Funktionen

7.5.7 Polardarstellung komplexer Zahlen

7.5.8 Die Periode der komplexwertigen Exponentialfunktion

7.5.9 Die Nullstellen der komplexen Kosinusfunktion

7.5.10 Aufgaben

7.5.11 Wiederholungsfragen