Klausurvorbereitung

 

1. Grundlagen

 

1.1 Mathematische Logik

 

1. Wie sind die Junktoren \( \neg, \) \( \wedge, \) \( \vee, \) \( \to \) und \( \leftrightarrow \) definiert?
2. Wann heißen zwei Aussagen äquivalent?
3. Lösen Sie Aufgabe 1.1.3.
4. Lösen Sie Aufgabe 1.1.4.
5. Lösen Sie Aufgabe 1 von Hausaufgabenblatt 1.
6. Was versteht man unter einer Tautologie?
7. Formulieren Sie vermittels aussagenlogischer Formeln
  \( \circ\quad \) den Satz vom ausgeschlossenen Dritten,
  \( \circ\quad \) den Satz vom Widerspruch,
  \( \circ\quad \) den Satz von der Kontraposition,
  \( \circ\quad \) den Satz von der doppelten Verneinung.
8. Lösen Sie Aufgabe 1.1.8.

 

 

 

1.2 Mengenlehre

 

9. Definieren Sie die Mengenrelationen \( A=B, \) \( A\subseteq B \) und \( A\subset B. \)
10. Definieren Sie die Mengenoperationen \( A\cup B, \) \( A\cap B, \) \( A\setminus B \) und \( A\times B. \)
11. Lösen Sie Aufgabe 1.2.2.
12. Lösen Sie Aufgabe 1.2.3.
13. Wann heißt eine Abbildung \( f\colon A\to B \) zwischen zwei Mengen surjektiv, injektiv, bijektiv?
14. Lösen Sie Aufgabe 5 von Hausaufgabenblatt 1.
15. Lösen Sie Aufgabe 1.2.8.
16. Lösen Sie Aufgabe 1.2.9.

 

 

2. Elementare Zahlenbereiche

 

2.1 Die natürlichen Zahlen

 

17. Wie lautet Peanos Induktionsaxiom PA 5?
18. Wie lautet das Prinzip der vollständigen Induktion?
19. Leiten Sie das Prinzip der vollständigen Induktion aus PA 5 her.
20. Lösen Sie Aufgabe 2.1.4.
21. Lösen Sie Aufgabe 8 von Hausaufgabenblatt 2.
22. Lösen Sie Aufgabe 9 von Hausaufgabenblatt 2.

 

 

 

2.2 Die ganzen Zahlen

 

23. Was versteht man unter einer Äquivalenzrelation?
24. Wie ist die Äquivalenzrelation \( \sim_{\mathbb Z} \) der ganzen Zahlen definiert?
25. Wie wurden in der Vorlesung die ganzen Zahlen definiert?.
26. Lösen Sie Aufgabe 10 von Hausaufgabenblatt 2.
27. Lösen Sie Aufgabe 11 von Hausaufgabenblatt 2.

 

 

 

2.3 Die rationalen Zahlen

 

28. Wie ist die Äquivalenzrelation \( \sim_{\mathbb Q} \) der rationalen Zahlen definiert?
29. Wie wurden in der Vorlesung die rationalen Zahlen definiert?
30. Lösen Sie Aufgabe 2.3.5.
31. Lösen Sie Aufgabe 12 von Hausaufgabenblatt 3.
32. Was versteht man unter der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen?
33. Beweisen Sie mit Hilfe des Cantorschen Diagonalverfahrens, dass \( \mathbb Q \) abzählbar ist.
34. Lösen Sie Aufgabe 14 von Hausaufgabenblatt 3.
35. Wie ist die Fakultät einer natürlichen Zahl definiert?

 

 

3. Reelle Zahlen

 

3.1 Rationale und nichtrationale Zahlen

 

36. Beweisen Sie: Es gibt kein \( x\in\mathbb Q \) mit \( x^2=2. \)
37. Lösen Sie Aufgabe 18 von Hausaufgabenblatt 4.
38. Wie lautet die geometrische Summenformel?
39. Lösen Sie Aufgabe 19 von Hausaufgabenblatt 4.
40. Lösen Sie Aufgabe 3.1.7.
41. Was versteht man unter einer rationalen Cauchyfolge?
42. Lösen Sie Aufgabe 21(i)-(iii) von Hausaufgaben 4.
43. Wann heißt eine rationale Cauchyfolge eine Nullfolge?
44. Wie ist die Äquivalenzrelation \( \sim_{\mathbb R} \) der reellen Zahlen definiert?
45. Wie wurden in der Vorlesung die reellen Zahlen definiert?

 

 

 

3.2 Algebraische Struktur reeller Zahlen

 

46. Lösen Sie Aufgabe 22 von Hausaufgabenblatt 5.
47. Lösen Sie Aufgabe 23 von Hausaufgabenblatt 5.
48. Wiederholen Sie die Definition aus Paragraph 3.2.5 der Vorlesung.
49. Lösen Sie Aufgabe 3.2.7.
50. Lösen Sie Aufgabe 3.2.8(i)-(iii).
51. Lösen Sie Aufgabe 24(i)-(iii) von Hausaufgabenblatt 5.

 

 

 

3.3 Weitere Eigenschaften reeller Zahlen

 

52. Lösen Sie Aufgabe 3.3.2.
53. Wie lautet der binomische Lehrsatz?
54. Lösen Sie Aufgabe 26 von Hausaufgabenblatt 5 (Achtung bei (ii): \( n\ge 1! \)).
55. Was versteht man unter der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen?
56. Geben Sie eine grobe Beweisidee von der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen.
57. Lösen Sie Aufgabe 27 von Hausaufgabenblatt 5.

 

 

 

3.4 Reelle Zahlenfolgen

 

58. Was versteht man unter einer reellen Cauchyfolge?
59. Wann heißt eine reelle Zahlenfolge eine Nullfolge?
60. Wann heißt eine reelle Zahlenfolge konvergent, wann divergent?
61. Zeigen Sie, dass eine konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist.
62. Lösen Sie Aufgabe 3.4.2.
63. Lösen Sie Aufgabe 28 von Hausaufgabenblatt 6.
64. Lösen Sie Aufgabe 3.4.6(i)-(ii).
65. Was versteht man unter der Dichtheit der rationalen Zahlen?
66. Was versteht man unter der Vollständigkeit der reellen Zahlen?
67. Was versteht man unter einer Häufungsstelle einer reellen Zahlenfolge?
68. Formulieren Sie den Weierstraßschen Häufungsstellensatz.
69. Lösen Sie Aufgabe 3.4.10.
70. Wann heißt eine reelle Zahlenfolge monoton wachsend bzw. monoton fallend?
71. Wie lautet der Satz über monotone Zahlenfolgen aus Paragraph 3.4.5?
72. Erläutern Sie in eigenen Worten die Begriffe Infimum und Supremum von Mengen.
73. Lösen Sie Aufgabe 31 von Hausaufgabenblatt 6.
74. Erläutern Sie in eigenen Worten die Begriffe limes inferior und limes superior.
75. Lösen Sie Aufgabe 32 von Hausaufgabenblatt 6.

 

 

4. Komplexe Zahlen

 

4.1 Eigenschaften komplexer Zahlen

 

76. Was versteht man unter einer komplexen Zahl?
77. Was versteht man unter der komplexen Einheit?
78. Was versteht man unter der kartesischen Darstellung einer komplexen Zahl?
79. Lösen Sie Aufgabe 4.1.3.
80. Lösen Sie Aufgabe 33 von Hausaufgabenblatt 7.
81. Lösen Sie Aufgabe 28 von Hausaufgabenblatt 6.
  siehe Punkt 63; Aufgabe 28 von Hausaufgabenblatt 6 bleibt klausurrelevant
82. Wie ist der Betrag einer komplexen Zahl definiert?
83. Wie ist die komplex konjugierte Zahl einer komplexen Zahl definiert?
84. Lösen Sie Aufgabe 4.1.7.
85. Lösen Sie Aufgabe 34 von Hausaufgabenblatt 7.
86. Lösen Sie Aufgabe 4.1.10.

 

 

 

4.2 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

 

87. Wie lautet die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Komplexen?

 

 

5. Theorie der Reihen

 

5.1 Konvergente und divergente Reihen

 

88. Wann heißt eine Reihe beschränkt, wann konvergent und wann divergent?
89. Wie lautet das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen?
90. Lösen Sie Aufgabe 5.1.2
91. Wie lautet die geometrische Reihe?
92. Wie lautet die harmonische Reihe?
93. Warum divergiert die harmonische Reihe? Studieren Sie Paragraph 5.1.4 der Vorlesung.

 

 

 

5.2 Konvergenzkriterien für Reihen

 

94. Wie lautet das Majorantenkriterium?
95. Lösen Sie Aufgabe 35 von Hausaufgabenblatt 7.
96. Wie lautet das Minorantenkriterium?
97. Lösen Sie Aufgabe 36 von Hausaufgabenblatt 7.
98. Wie lautet das Leibnizkriterium?
99. Lösen Sie Aufgabe 5.2.6.
100. Wie lauten das Wurzel- und das Quotientenkriterium?
101. Lösen Sie Aufgabe 38 von Hausaufgabenblatt 7.

 

 

 

5.3 Umordnung von Reihen

 

102. Was versteht man unter einer absolut konvergenten Reihe?
103. Geben Sie ein Beispiel einer absolut konvergenten Reihe.
104. Was versteht man unter einer bedingt konvergenten Reihe?
105. Geben Sie eine Beispiel einer bedingt, aber nicht absolut konvergenten Reihe.
106. Wie lautet der erste Riemannsche Umordnungssatz?
107. Wie lautet der zweite Riemannsche Umordnungssatz?

 

 

 

5.4 Doppelreihen

 

108. Was versteht man unter einer Doppelreihe?
109. Wann heißt eine Doppelreihe absolut konvergent?
110. Wie lautet der Cauchysche Produktsatz für Doppelreihen?
111. Lösen Sie Aufgabe 40 von Hausaufgabenblatt 8.

 

 

 

5.5 Potenzreihe

 

112. Was versteht man unter einer Potenzreihe?
113. Wie lautet die komplexwertige Exponentialreihe?
114. Wie lautet der Satz von Cauchy-Hadamard?
115. Lösen Sie Aufgabe 5.5.2.
116. Was versteht man unter Konvergenzradius, Konvergenzgebiet und Konvergenzbereich?
117. Lösen Sie Aufgabe 42 von Hausaufgabenblatt 8.
118. Wie lautet die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialreihe?
119. Lösen Sie Aufgabe 43 von Hausaufgabenblatt 8.

 

 

6. Stetige Funktionen

 

6.1 Der Begriff der stetigen Funktion

 

120. Wann heißt eine Funktion in einem Punkt \( x_0\in D \) stetig?
121. Wann heißt eine Funktion auf \( D \) stetig, wann gleichmäßig stetig?
122. Lösen Sie Aufgabe 44 von Hausaufgabenblatt 9.
123. Lösen Sie Aufgabe 6.1.7.
124. Lösen Sie Aufgabe 45 von Hausaufgabenblatt 9.
125. Wie lautet das Folgenkriterium zur Stetigkeit?
126. Formulieren Sie einen Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Folgenstetigkeit.
127. Lösen Sie Aufgabe 47 von Hausaufgabenblatt 9.

 

 

 

6.2 Der Raum der stetigen Funktionen

 

128. Was bedeutet \( C^0(D,\mathbb R?) \)
129. Wann heißt ein Punkt \( x\in\Omega \) ein innerer Punkt von \( \Omega? \)
130. Wann heißt eine Menge offen, wann abgeschlossen?
131. Wann heißt ein Menge kompakt?
132. Wie lautet der Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion?
133. Studieren Sie das Beispiel aus der Bemerkung in Paragraph 6.2.4.
134. Lösen Sie Aufgabe 48 von Hausaufgabenblatt 9.

 

 

 

6.3 Sätze über stetige Funktionen

 

135. Wie lautet der Fundamentalsatz von Weierstraß?
136. Lösen Sie Aufgabe 6.3.1.
137. Lösen Sie Aufgabe 6.3.2
138. Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß?
139. Löse Sie Aufgabe 49 von Hausaufgabenblatt 10.
140. Lösen Sie Aufgabe 6.3.6.
141. Wie lautet der Satz über die monotone Umkehrfunktion?
142. Lösen Sie Aufgabe 6.3.7.
143. Wie lautet der Satz über die gleichmäßige Stetigkeit?
144. Lösen Sie Aufgabe 6.3.8.

 

 

 

6.4 Funktionenfolgen

 

145. Wann heißt eine Funktionenfolge punktweise konvergent gegen eine Funktion?
146. Wann heißt eine Funktionenfolge gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion?
147. Studieren Sie das Beispiel in Paragraph 6.4.1.
148. Lösen Sie Hausaufgabe 51 von Hausaufgabenblatt 10.
149. Löse Sie Aufgabe 52 von Hausaufgabenblatt 10.
150. Was können Sie über die Stetigkeit der Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge aussagen?
151. Lösen Sie Aufgabe 6.4.6.

 

 

 

6.5 Der Weierstraßsche Majorantentest

 

152. Wann heißt eine Funktionenreihe gleichmäßig konvergent?
153. Formulieren Sie den Weierstraßschen Majorantentest.
154. Erkennen Sie einen Zusammenhang mit dem Konvergenzsatz aus Paragraph 6.4.3?
155. Wiederholen Sie die inhaltlichen Punkte aus Hausaufgabe 53 zum Erlernen wichtiger Eigenschaften der Exponentialfunktion und des natürlichen Logarithmus - die Musterlösung selbst ist unzureichend und muss nicht wiederholt werden.

 

 

 

7.1 Der Raum der differenzierbaren Funktion

 

156. Wann heißt eine Funktion in einem Punkt \( x_0\in D \) bzw. in \( D \) differenzierbar?
157. Lösen Sie Aufgabe 7.1.1.
158. Lösen Sie Aufgabe 7.1.2.
159. Lösen Sie Aufgabe 54 von Hausaufgabenblatt 11.
160. Lösen Sie Aufgabe 7.1.7.
160. Wie differenziert man die Umkehrfunktion?
161. Lösen Sie Aufgabe 7.1.11.
162. Lösen Sie Aufgabe 7.1.12.
163. Lösen Sie Aufgabe 7.1.13.
164. Was bedeutet \( C^k(D,\mathbb R)? \)

 

 

 

7.2 Die allgemeine Potenzfunktion

 

165. Wie ist die allgemeine Potenzfunktion definiert?
166. Lösen Sie Aufgabe 7.1.2. 7.2.2.
167. Lösen Sie Aufgabe 7.2.3.
168. Wie differenziert man die reelle Exponentialfunktion?
169. Lösen Sie Aufgabe 7.2.12.

 

 

 

7.3 Sätze über differenzierbare Funktionen

 

170. Wie lautet der Satz von Rolle?
171. Lösen Sie Aufgabe 7.3.2.
172. Wie lauten der allgemeine und der klassische Mittelwertsatz der Differentialrechnung?
173. Was versteht man unter lokalen und globalen Extrema einer Funktion?
174. Formulieren Sie das notwendige Kriterium für lokale Extrema aus Paragraph 7.3.2.
175. Formulieren Sie das hinreichende Kriterium für lokale Extrema aus Paragraph 7.3.4.
176. Lösen Sie Aufgabe 59 von Hausaufgabenblatt 11.

 

 

 

7.4 Die Taylorsche Formel

 

177. Wie lautet die Taylorsche Formel mit Lagrangeschem Restglied?
178. Lösen Sie Aufgabe 7.4.8.
179. Lösen Sie Aufgabe 7.4.9.
180. Lösen Sie Aufgabe 7.4.13.
181. Lösen Sie Aufgabe 7.4.14.

 

 

 

7.5 Trigonometrische Funktionen

 

182. Wie sind die trigonometrischen Funktionen definiert?
183. Was versteht man unter der Eulerschen Relation?
184. Lösen Sie Aufgabe 7.5.2.
185. Lösen Sie Aufgabe 7.5.6.
186. Lösen Sie Aufgabe 7.5.7.
187. Lösen Sie Aufgabe 7.5.8.
188. Wie differenziert man die reellen trigonometrischen Funktionen?
189. Über welche Eigenschaft wurde die Kreiszahl \( \pi \) eingeführt?
190. Lösen Sie Aufgabe 7.5.13.