4. Komplexe Zahlen


 

Einleitung

 

In diesem Kapitel geben wir eine kurze Einführung in die Theorie der komplexen Zahlen. Im Laufe der Vorlesung werden wir diese Inhalte sukzessive erweitern.

 

Vorlesungseinheit erster Teil: Eigenschaften komplexer Zahlen

 

Wir definieren zunächst komplexe Zahlen als Paare reeller Zahlen, worauf wir dann in geeigneter Art und Weise eine Addition und Multiplikation einführen. Die komplexe Einheit lernen wir als ein spezielles Zahlenpaar kennen. Die arithmetischen Eigenschaften der komplexen Einheit liefern uns unmittelbar einen Beweis, dass die Menge der komplexen Zahlen, die eine Körper bildet, nicht anordbar ist. Wir schließen diesen ersten Abschnitt des vierten Kapitels ab mit der Einführung der konjugiert komplexen Zahl sowie des Betrages einer komplexen Zahl. Diese Operationen lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene besonders gut veranschaulichen.

 

Vorlesungseinheit zweiter Teil: Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

 

Der einzige Inhalt dieses Abschnitts ist die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Komplexen sowie ein Beweis. Diese Ungleichung spielt in der gesamten Mathematik eine besonders wichtige Rolle.

4.1 Eigenschaften komplexer Zahlen

 

4.1.1 Definition komplexer Zahlen

 

Aufbauend auf den reellen Zahlen mit ihren arithmetischen Eigenschaften und Rechenregeln wollen wir nun den Körper der komplexen Zahlen konstruieren. Dazu beginnen wir mit der

 

Definition: Eine komplexe Zahl \( z \) ist ein Paar \[ z=(x,y)\quad\mbox{mit}\quad x\in\mathbb R,\ y\in\mathbb R. \] Es heißen \( x\in\mathbb R \) ihr Realteil und \( y\in\mathbb R \) ihr Imaginärteil, in Zeichen \[ x=\mbox{Re}\,z \quad\mbox{bzw.}\quad y=\mbox{Im}\,z. \] Die Menge der komplexen Zahlen bezeichnen wir mit dem Symbol \[ \mathbb C:=\{z=(x,y)\,:\,x\in\mathbb R,\ y\in\mathbb R\}\,. \]

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

4.1.2 Addition und Multiplikation komplexer Zahlen

 

Definition: Die Addition und Multiplikation zweier komplexer Zahlen \( z_1=(x_1,y_1) \) und \( z_2=(x_2,y_2) \) sind wie folgt erklärt: \[ \begin{array}{ll} z_1+z_2:=(x_1+x_2,y_1+y_2), \\ z_1\cdot z_2:=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1). \end{array} \]

 

Die komplexe Zahl \( z=(x,0) \) identifizieren wir mit der reellen Zahl \( x\in\mathbb R. \)

 

Satz: Die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen ist assoziativ und kommutativ, und es gilt das Distributivgesetz. Ferner gelten die Kürzungsregeln für die Addition und die Multiplikation.

 

Wir bemerken:

\( \circ \) Es existiert genau ein \( 0_{\mathbb C}=(0,0)\in\mathbb C \) mit
 
\( z+0_{\mathbb C}=z\quad\mbox{für alle}\ z\in\mathbb C. \)
\( \circ \) Zu jedem \( z=(x,y)\in\mathbb C \) existiert genau ein \( -z=(-x,-y)\in\mathbb C \) mit
 
\( z+(-z)=0_{\mathbb C}\,. \)
\( \circ \) Es existiert genau ein \( 1_{\mathbb C}=(1,0)\in\mathbb C \) mit
 
\( z\cdot 1_{\mathbb C}=z\quad\mbox{für alle}\ z\in\mathbb C. \)
\( \circ \) Zu jedem \( z\in\mathbb C\setminus\{0_{\mathbb C}\} \) existiert genau ein \( z^{-1}\in\mathbb C \) mit
 
\( z\cdot z^{-1}=1_{\mathbb C}\,, \)
  nämlich
 
\( \displaystyle z^{-1}=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2}\right). \)

 

Satz: Mit der obigen Addition und Multiplikation bildet die Menge \( \mathbb C \) der komplexen Zahlen einen Körper.

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

4.1.3 Die komplexe Einheit

 

Definition: Als komplexe Einheit bezeichnen wir die komplexe Zahl \[ i:=(0,1). \]

 

Man rechnet nach \[ i^2=(0,1)\cdot(0,1)=(-1,0)=-1. \] Wir schreiben daher auch \[ i=\sqrt{-1}\,. \] Unter der kartesischen Darstellung einer komplexen Zahl \( z=(x,y) \) verstehen wir die Darstellung \[ z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)\cdot(y,0)=x+iy. \]

 

Beispiel: Für die quadratische Gleichung \[ x(10-x)=40 \] gab G. Cardano im Jahr 1545 die beiden komplexwertigen Lösungen an \[ 5+\sqrt{-15}=5+\sqrt{15}\,i,\quad 5-\sqrt{-15}=5-\sqrt{15}\,i. \]

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

4.1.4 Die komplexen Zahlen sind nicht anordbar

 

Angenommen, es gibt, wie in der Definition zu Paragraph 2.4.3, eine zweistellige Relation \( \gt \) auf \( \mathbb C, \) so dass für alle \( z\in\mathbb C \) genau eine der drei Anordnungsaxiome erfüllt ist \[ z=0,\quad z\gt 0 \quad\mbox{oder}\quad -z\gt 0. \] Am Beispiel \( z=i \) argumentieren wir nun mit dem zweiten Satz aus Paragraph 2.4.3. Zunächst mache man sich \( 0\gt -1 \) und \( i\not=0 \) klar.

\( \circ \) Angenommen, es ist \( i\gt 0. \) Nach dem Satz folgt dann

\[ i^2\gt 0\quad\mbox{bzw.}\quad -1\gt 0 \]

  im Widerspruch zu \( 0\gt -1. \)
\( \circ \) Angenommen, es ist \( -i\gt 0. \) Nach dem Satz folgt dann

\[ (-i)^2\gt 0\quad\mbox{bzw.}\quad -1\gt 0 \]

  und damit erneut ein Widerspruch zu \( 0\gt -1. \)

 

Das beweist den

 

Satz: Der Körper \( \mathbb C \) der komplexen Zahlen ist nicht angeordnet im Sinne der Definition aus Paragraph 2.4.3.

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

4.1.5 Die komplexe Ebene

 

Eine komplexe Zahl \( z=(x,y)=x+iy \) kann als Punkt in der zweidimensionalen Zahlenebene abgetragen werden in ein Koordinatensystem mit dem Realteil \( x\in\mathbb R \) auf der horizontalen Abzissenachse und dem Imaginärteil \( y\in\mathbb R \) auf der vertikalen Ordinatenachse. Diese Ebene bezeichnet man dann auch als Gaußschen Zahlenebene.

 

Definition: Es sei \( z=x+iy \) eine komplexe Zahl. Dann heißen \[ \overline z:=x-iy \] die zu \( z \) konjugiert komplexe Zahl und \[ |z|:=\sqrt{x^2+y^2} \] der Betrag von \( z. \)

 

Satz: Es seien \( z,z_1,z_2\in\mathbb C. \) Dann gelten

(i) \( |z|\ge 0 \) und \( |z|=0 \) genau dann, wenn \( z=0 \)
(ii) \( \overline{\overline z}=z \)
(iii) \( |z|=|\overline z| \)
(iv) \( z\cdot\overline z=|z|^2 \)
(v) \( \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2} \)
(vi) \( \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} \)
(vii) \( |z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2| \)

 

Wir fügen die folgenden Bemerkungen hinzu:

\( \circ \) Cauchyfolgen usw. werden mit obigem Betrag \( |\cdot| \) erklärt.
\( \circ \) \( \mathbb C \) ist vollständig, d.h. es gilt das Cauchysche Vollständigkeitskriterium.
\( \circ \) Es gilt der Weierstraßsche Häufungsstellensatz.

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

4.1.6 Aufgaben

 

Aufgaben - Definition komplexer Zahlen

 

Aufgabe 4.1.1: (Real- und Imaginärteil komplexer Zahlen)

Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen:

(i) \(z=(3,-1) \)
(ii) \(z=(0,27) \)
(iii) \(z=(17,1) \)

 

Lösung

 

Aufgaben - Addition und Multiplikation komplexer Zahlen

 

Aufgabe 4.1.2: (Summe und Produkt komplexer Zahlen)

Berechnen Sie die Summe \( z_1+z_2 \) und das Produkt \( z_1\cdot z_2 \) der folgenden komplexen Zahlen:

(i) \( z_1=(1,2), \) \( z_2=(0,-12) \)
(ii) \( z_1=(1,2), \) \( z_2=(2,-5) \)
(iii) \( z_1=(3,7), \) \( z_2=(18,0) \)

 

Lösung

 

Aufgaben - Die komplexe Einheit

 

Aufgabe 4.1.3: (Vereinfachen komplexer Zahlen)

Die folgenden komplexen Zahlen sind in die kartesische Form \( x+iy \) zu bringen:

(i) \( z=(1+i)(1-i) \) (ii) \( z=i(2-3i)^2(1+i) \)
(ii) \( \displaystyle z=\frac{1}{i} \) (ii) \( \displaystyle z=\frac{1+2i}{3-i} \)

Ermitteln Sie insbesondere jeweils \( x \) und \( y. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 4.1.4\(^*\): (Potenzen komplexer Zahlen)

(i) Ausgehend von \( i^2=-1, \) \( i^3=i^2\cdot i=(-1)\cdot i=-i \) usw. sind zu ermitteln

\[ i^4\,,\quad i^5\,,\quad i^6\,,\quad i^7\,,\quad i^8\,. \]

  Welche Regelmäßigkeit erkennen Sie für die Potenzen \( i^n, \) \( n=1,2,3,\ldots? \)
(ii) Vereinfachen Sie nun die folgenden Ausdrücke.
  \( \circ\quad z_1=2+5i+8i^2+9i^3+6i^7 \)
  \( \circ\quad z_2=i^{10}+i^{14}-i^{17}+(-i)^{23} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 4.1.5: (Quadratische Gleichungen mit komplexwertigen Lösungen)

Durch Anwenden der bekannten Lösungsformel für quadratische Gleichungen bestimme man die beiden komplexwertigen Lösungen folgender Gleichungen.

(i) \( z(10-z)=40 \)
(ii) \( z^2-5z+17=0 \)

 

Lösung

 

Aufgaben - Die komplexen Zahlen sind nicht anordbar

 

Aufgabe 4.1.6: (Es gibt keine Anordnung in \( \mathbb C \))

Wiederholen Sie die Argumentation zum Beweis des Satze dieses Paragraphen mit einem eigenen Beispiel.

 

Lösung

 

Aufgaben - Die komplexe Ebene

 

Aufgabe 4.1.7: (Komplexe Konjugation und Betrag - Praxis)

Bestimmen Sie jeweils die konjugiert komplexen Zahlen sowie die Beträge:

(i) \( z=\sqrt{3}+i \) (ii) \( z=7 \)
(iii) \( z=\sqrt{2}-7i \) (iv) \( z=(1+i)(2-i) \)
(v) \( \displaystyle z=\frac{1}{1+i} \) (vi) \( \displaystyle z=\frac{3-i}{1+2i} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 4.1.8: (Komplexe Konjugation und Betrag - Theorie)

Beweisen Sie, dass für alle komplexen Zahlen \( z, \) \( z_1 \) und \( z_2 \) gelten:

(i) \( |z|\ge 0 \) und \( |z|=0 \) genau dann, wenn \( z=0 \)
(ii) \( \overline{\overline z}=z \)
(iii) \( |z|=|\overline z| \)
(iv) \( z\cdot\overline z=|z|^2 \)
(v) \( \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2} \)
(vi) \( \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} \)
(vii) \( |z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2| \)

Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die Darstellung \( z=x+iy. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 4.1.9\(^*\): (Dreiecksungleichung und Parallelogrammgleichung)

Es seien \( w,z\in\mathbb C \) zwei komplexe Zahlen. Beweisen Sie die Gütigkeit der folgenden Dreiecksungleichung sowie der Parallelogrammgleichung:

(i) \( |w+z|\le|w|+|z| \)
(ii) \( |w-z|^2+|w+z|^2=2(|w|^2+|z|^2) \)

 

Lösung

 

Aufgabe 4.1.10: (Polynomielle Gleichungen mit reellen Koeffizienten)

Es sei \( z\in\mathbb C \) eine Lösung der Gleichung \[ z^n+p_{n-1}z^{n-1}+p_{n-2}z^{n-2}+\ldots+p_1z+p_0=0 \] mit reellen Koeffizienten \( p_0,p_1,\ldots,p_{n-1}\in\mathbb R. \) Beweisen Sie, dass dann auch \( \overline z \) eine Lösung dieser polynomiellen Gleichung ist.

 

Lösung

 

Aufgabe 4.1.11: (Komplexe Zahlen auf dem Einheitskreis)

Seien \( w,z\in S^1:=\{z\in\mathbb C\,:\,|z|=1\}. \) Beweisen Sie, dass dann auch \[ \overline z,\quad \frac{1}{z}\,,\quad wz,\quad \frac{w}{z} \] auf \( S^1 \) liegen, und dass insbesondere gilt \( \displaystyle\frac{1}{z}=\overline z. \)

 

Lösung

 

 


 

 

4.1.7 Wiederholungsfragen

 

1. Wie haben wir in der Vorlesung komplexe Zahlen definiert?
2. Was versteht man unter dem Realteil und dem Imaginärteil einer komplexen Zahl?
3. Wie werden komplexe Zahlen addiert?
4. Wie werden komplexe Zahlen multipliziert?
5. Wie berechnet sich die multiplikative Inverse einer komplexen Zahl?
6. Was versteht man unter der komplexen Einheit?
7. Begründen Sie, warum die komplexen Zahlen nicht anordbar sind.
8. Wie werden komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene abgetragen?
9. Was versteht man unter der konjugiert komplexen Zahl?
10. Welche Rechenregeln für konjugiert komplexe Zahlen kennen Sie?

 


 

4.2 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

 

4.2.1 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Komplexen

 

Zu den wichtigsten Ungleichungen der Mathematik gehört die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, die wir hier im Komplexen vorstellen möchten.

 

Satz: Seien \( u_1,\ldots,u_n\in\mathbb C \) und \( v_1,\ldots,v_n\in\mathbb C. \) Dann gilt \[ \left|\,\sum_{i=1}^nu_i\overline{v_i}\right|^2\le\left(\sum_{i=1}^n|u_i|^2\right)\left(\sum_{i=1}^n|v_i|^2\right). \]

 

Beweis: Wir schätzen nämlich wie folgt ab \[ \begin{array}{lll} 0\negthickspace & \le & \negthickspace\displaystyle \sum_{i,j=1}^n|u_iv_j-u_jv_i|^2 \,=\,\sum_{i,j=1}^n(u_iv_j-u_jv_i)\overline{(u_iv_j-u_jv_i)} \\ & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{i,j=1}^n(u_iv_j-u_jv_i)(\overline{u_i}\,\overline{v_j}-\overline{u_j}\,\overline{v_i}) \\ & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{i,j=1}^n(u_i\overline{u_i}v_j\overline{v_j}+u_j\overline{u_j}v_i\overline{v_i}-u_i\overline{u_j}v_j\overline{v_i}-u_j\overline{u_i}v_i\overline{v_j}) \\ & = & \negthickspace\displaystyle 2\sum_{i,j=1}^nu_i\overline{u_i}v_j\overline{v_j}-2\sum_{i,j=1}^nu_i\overline{u_j}v_j\overline{v_i} \\ & = & \negthickspace\displaystyle 2\sum_{i,j=1}^n|u_i|^2|v_j|^2-2\sum_{i,j=1}^nu_i\overline{u_j}v_j\overline{v_i} \\ & = & \negthickspace\displaystyle 2\left(\sum_{i=1}^n|u_i|^2\right)\left(\sum_{i=1}^n|v_i|^2\right)-2\left(\sum_{i=1}^nu_i\overline{v_i}\right)\left(\sum_{i=1}^n\overline{u_i}v_i\right) \\ & = & \negthickspace\displaystyle 2\left(\sum_{i=1}^n|u_i|^2\right)\left(\sum_{i=1}^n|v_i|^2\right)-2\left(\sum_{i=1}^nu_i\overline{v_i}\right)\overline{\left(\sum_{i=1}^nu_i\overline{v_i}\right)} \\ & = & \negthickspace\displaystyle 2\left(\sum_{i=1}^n|u_i|^2\right)\left(\sum_{i=1}^n|v_i|^2\right)-2\,\left|\,\sum_{i=1}^nu_i\overline{v_i}\right|^2\,. \end{array} \] Umstellen liefert die Behauptung.\( \qquad\Box \)

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

4.2.2 Aufgaben

 

Aufgaben - Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Komplexen

 

Aufgabe 4.2.1: (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im \( \mathbb R^2 \) )

Formulieren Sie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für den Fall \( n=2 \) und \( u_1,u_2,v_1,v_2\in\mathbb R. \) Beweisen Sie diese Ungleichung auf direktem Wege noch einmal.

 

Lösung

 

Aufgabe 4.2.2 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im \( \mathbb R^n \) )

Formulieren Sie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für den Fall \( u_k,v_k\in\mathbb R \) für \( k=1,2,\ldots,n. \) Beweisen Sie diese Ungleichung vermittels vollständiger Induktion.

 

Lösung

 

Aufgabe 4.2.3 (Die Ungleichung von Engel)

(i) Es seien \( a,b\in\mathbb R \) und \( x,y\gt 0. \) Beweisen Sie

\[ \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{(a+b)^2}{x+y}\,. \]

(ii) Folgern Sie: Für \( a,b,c\in\mathbb R \) und \( x,y,z\gt 0 \) gilt

\[ \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}\,. \]

(iii) Folgern Sie: Für \( a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R \) und \( x_1,\ldots,x_n\gt 0 \) gilt

\[ \frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a_2^2}{x_2}+\ldots+\frac{a_n^2}{x_n}\ge\frac{(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2}{x_1+x_2+\ldots+x_n}\,. \] (siehe R.V. Delgado, R.B. Manfrino und J.A.G. Ortega: Inequalities. Seite 34f.)

 

Lösung

 

Aufgabe 4.2.4 (Ungleichung von Engel und Cauchy-Schwarz-Ungleichung)

Es seien \( a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R \) und \( b_1,\ldots,b_n\gt 0. \) Ausgehend von \[ a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2=\frac{(a_1b_1)^2}{b_1^2}+\frac{(a_2b_2)^2}{b_2^2}+\ldots+\frac{(a_nb_n)^2}{b_n^2} \] ist mit Hilfe der Ungleichung von Engels die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für diesen speziellen Fall herzuleiten.

 

(siehe R.V. Delgado, R.B. Manfrino und J.A.G. Ortega: Inequalities. Seite 35)

 

Lösung

 

Aufgabe 4.2.5 (Anwendungen der Ungleichung von Engel)

Es seien \( a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\gt 0. \) Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen:

(i) \( \displaystyle\frac{a_1}{b_1}+\ldots+\frac{a_n}{b_n}\ge\frac{(a_1+\ldots+a_n)^2}{a_1b_1+\ldots+a_nb_n} \)
(ii) \( \displaystyle\frac{a_1}{b_1^2}+\ldots+\frac{a_n}{b_n^2}\ge\frac{1}{b_1+\ldots+b_n}\left(\frac{a_1}{b_1}+\ldots+\frac{a_n}{b_n}\right)^2 \)

 

(siehe R.V. Delgado, R.B. Manfrino und J.A.G. Ortega: Inequalities. Example 1.6.2)

 

Lösung

 

Aufgabe 4.2.6 (Aus der Asian Pacific Mathematical Olympiad 1991)

Es seien \( n\in\mathbb N \) und \( a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\gt 0 \) reelle Zahlen mit der Eigenschaft \[ a_1+a_2+\ldots+a_n=b_1+b_2+\ldots+b_n\,. \] Beweisen Sie \[ \frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\frac{a_n^2}{a_n+b_n}\ge\frac{1}{2}\,(a_1+a_2+\ldots+a_n). \] (siehe R.V. Delgado, R.B. Manfrino und J.A.G. Ortega: Inequalities. Example 1.6.3)

 

Lösung

 


 

 

4.2.3 Wiederholungsfragen

 

1. Wie lautet die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Komplexen?
2. Wie lautet die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Reellen?