6. Stetige Funktionen


 

6.1 Der Begriff der stetigen Funktion

 

6.1.1 Grundbegriffe

 

Wir betrachten reellwertige (und später auch komplexwertige) Funktionen \[ f\colon D\longrightarrow W \] auf einem Definitionsbereich \( D\subseteq\mathbb R \) mit Bild in einem Wertebereich \( W\subseteq\mathbb R. \)

 

Die Funktion \( f(x) \) heißt beschränkt, falls mit einem \( C\in\mathbb R \) gilt \[ |f(x)|\le C\quad\mbox{für alle}\ x\in D. \]

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.1.2 Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit

 

Definition: Es heißt die Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) stetig im Punkt \( x_0\in D, \) falls zu jedem reellen \( \varepsilon\gt 0 \) eine Zahl \( \delta(\varepsilon,x_0)\gt 0 \) existiert mit \[ |f(x)-f(x_0)|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ x\in D\ \mbox{mit}\ |x-x_0|\lt\delta(\varepsilon,x_0). \] Die Funktion heißt stetig in \( D, \) wenn sie stetig in jedem Punkt \( x\in D \) ist.

 

Beispiel: Betrachte \( f(x)=ax+b \) auf \( \mathbb R \) mit \( a\in\mathbb R\setminus\{0\}, \) \( b\in\mathbb R. \) Zu \( \varepsilon\gt 0 \) wähle \( \delta(\varepsilon):=\frac{\varepsilon}{|a|}. \) Dann ist, falls \( |x-x_0|\lt\delta(\varepsilon), \) \[ \begin{array}{lll} |f(x)-f(x_0)|\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle |ax+b-(ax_0+b)| \,=\,|a\cdot(x-x_0)| \,=\,|a|\cdot|x-x_0| \\ & \lt & \negthickspace\displaystyle |a|\cdot\delta(\varepsilon) \,=\,|a|\cdot\frac{\varepsilon}{|a|} \,=\,\varepsilon, \end{array} \] d.h. \( f(x) \) ist in \( x_0\in\mathbb R \) stetig. Hierin ist \( x_0\in\mathbb R \) beliebig, und \( \delta(\varepsilon)\gt 0 \) hängt nicht vom Punkt \( x_0\in\mathbb R \) ab.

 

Dieses Beispiel führt uns unmittelbar zur

 

Definition: Es heißt die Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) gleichmäßig stetig auf \( D, \) falls zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( \delta(\varepsilon)\gt 0 \) existiert mit \[ |f(x)-f(y)|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ x,y\in D\ \mbox{mit}\ |x-y|\lt\delta(\varepsilon). \]

 

Die Zahl \( \delta(\varepsilon)\gt 0 \) hängt hier also nicht von einem Punkt \( x_0\in D \) ab, sondern kann gleichmäßig über den ganzen Definitionsbereich \( D \) gewählt werden.

 

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6.1.3 Häufungspunkte und isolierte Punkte

 

Für \( x\in\mathbb R \) und \( r\gt 0 \) setzen wir \[ B_r(x):=\{y\in\mathbb R\,:\,|x-y|\lt r\} \] als den offenen Ball um \( x \) vom Radius \( r\gt 0. \)

 

Definition: Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R \) eine Menge. Es heißt \( x\in\mathbb R \) ein

\( \circ \) Häufungspunkt von \( \Omega, \) falls zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( y\in\Omega\setminus\{x\} \) existiert mit \( y\in B_\varepsilon(x); \)
\( \circ \) isolierter Punkt von \( \Omega, \) wenn \( x\in\Omega, \) und \( x \) ist kein Häufungspunkt von \( \Omega. \)

 

Bemerkung: Achten Sie in dieser Definition insbesondere auf die Voraussetzung \( x\in\mathbb R, \) d.h. dieser Punkt muss nicht notwendig in \( \Omega \) liegen.

 

Ohne Beweis erwähnen wir den

 

Satz: Ein Punkt \( x\in\mathbb R \) ist genau dann Häufungspunkt einer Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R, \) wenn es eine Folge \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset\Omega\setminus\{x\} \) gibt mit der Eigenschaft \[ \lim_{k\to\infty}x_k=x. \]

 

Bemerkung: Jede stetige Funktion über einem isolierten Punkt ist dort auch stetig.

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.1.4 Folgenstetigkeit

 

Zur Veranschaulichung des nächsten Begriffs betrachten wir eine Funktion \( f\colon(a,b)\to\mathbb R \) auf einem nichtleeren Intervall \( (a,b)\subset\mathbb R. \) Wir bezeichnen \[ f(a_+):=\lim_{x\downarrow a}f(x)=\lim_{x\to a,\ x\gt a}f(x) \] als rechtsseitigen Grenzwert und \[ f(b_-):=\lim_{x\uparrow b}f(x)=\lim_{x\to b,\ x\lt b}f(x) \] als linksseitigen Grenzwert von \( f(x) \) in den Punkten \( a \) bzw. \( b. \) Dabei sind die Grenzwerte über alle möglichen Zahlenfolgen \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset(a,b)\) mit \( x_n\to a \) bzw. \( x_n\to b \) auszuwerten.

 

Beispiel: Für die Signumfunktion \[ \mbox{sgn}\,x :=\left\{ \begin{array}{cl} -1, & \mbox{falls}\ x\in(-\infty,0) \\ 0, & \mbox{falls}\ x=0 \\ 1, & \mbox{falls}\ x\in(0,\infty) \end{array} \right. \] gelten \[ \mbox{sgn}\,(0_-)=-1,\quad \mbox{sgn}\,(0_+)=+1,\quad \mbox{sgn}\,(0)=0. \]

 

Definition: Es sei \( x_0\in D \) ein Häufungspunkt von \( D\subseteq\mathbb R. \) Die Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) heißt in \( x_0\in D \) folgenstetig, wenn gilt \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]

 

Hierin ist der Grenzwert auszwerten über sämtliche Folgen \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset D \) mit \( x_n\to x_0. \)

 

Von besonderer Wichtigkeit für theoretische wie praktische Untersuchungen ist nun der folgende Satz, dessen Beweis wir als Übungsaufgabe belassen.

 

Satz: Es sei \( x_0\in D \) ein Häufungspunkt der Menge \( D\subseteq\mathbb R. \) Dann ist eine Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) stetig in \( x_0\in D \) genau dann, wenn sie in diesem Punkt folgenstetig ist.

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.1.5 Aufgaben

 

Aufgaben - Grundbegriffe

 

Aufgabe 6.1.1: (Definitionsbereich und Wertebereich)

Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche und die Wertebereiche der folgenden Funktionen. Fertigen Sie auch jeweils eine Skizze an.

(i) \( f(x)=x \) (ii) \( f(x)=x^2 \)
(iii) \( f(x)=x^3 \) (iv) \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \)
(v) \( \displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2} \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 6.1.2: (Nicht lösbare Funktionalgleichungen)

Zeigen Sie, dass es keine Funktionen \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) gibt, die eine der folgenden Bedingungen erfüllen:

(i) \( f(x)+g(y)=x\cdot y \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(ii) \( f(x)\cdot g(y)=x+y \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)

 

Lösung

 

Aufgaben - Stetigkeit und gleichmäße Stetigkeit

 

Aufgabe 6.1.3: (Beispiele stetiger Funktionen)

Beweisen Sie, dass die folgenden Funktionen stetig in den angegebenen Definitionsbereichen sind.

(i) \( f(x)=2x+5, \) \( x\in\mathbb R \)
(ii) \( f(x)=x^2, \) \( x\in\mathbb R \)
(iii) \( f(x)=\sqrt{x}, \) \( x\in[0,\infty) \)

Verwenden Sie dabei die \( \varepsilon \)-\( \delta \)-Definition der Stetigkeit aus Paragraph 6.1.2.

 

Lösung

 

Aufgabe 6.1.4: (Die Dirchletsche Sprungfunktion)

Betrachten Sie die folgende Dirichletsche Sprungfunktion \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} 1, & \quad x\in\mathbb Q\cap[0,1] \\ 0, & \quad x\in[0,1]\setminus\mathbb Q \end{array} \right.. \] Beweisen Sie, dass diese Funktion in keinem Punkt \( x\in[0,1] \) stetig ist.

 

Lösung

 

Aufgabe 6.1.5: (Stetig oder nicht stetig?)

Betrachten Sie die Funktion \[ f\colon\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} x, & \quad\mbox{falls}\ x\ \mbox{rational} \\ 0, & \quad\mbox{falls}\ x\ \mbox{irrational} \end{array} \right.. \] In welchen Punkten \( x\in\mathbb R \) ist diese Funktion stetig, in welchen ist sie nicht stetig?

 

Lösung

 

Aufgabe 6.1.6: (Abschätzung durch den Absolutbetrag)

Vorgelegt sei eine Funktion \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) mit der Eigenschaft \[ |f(x)|\le|x|\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass \( f(x) \) in \( x_0=0 \) stetig ist.

 

Lösung

 

Aufgabe 6.1.7: (Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit)

Untersuchen Sie die folgenden stetigen Funktionen auf gleichmäßige Stetigkeit in den angegebenen Definitionsbereichen.

(i) \( f(x)=x^2,\ x\in[-1,1] \)
(ii) \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x},\ x\in(0,1] \)

 

Lösung

 

Aufgabe 6.1.8: (Lipschitzstetige Funktionen sind gleichmäßig stetig)

Es sei \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) Lipschitzstetig, d.h. mit einer Zahl \( L\in[0,\infty) \) gilt \[ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R. \]

(i) Geben Sie ein Beispiel einer Lipschitzstetigen Funktion an.
(ii) Beweisen Sie, dass \( f(x) \) stetig und sogar gleichmäßig stetig ist.
(iii) Sind Summen und Produkte Lipschitzstetiger Funktionen ebenfalls Lipschitzstetig? Begründen Sie.

 

Lösung

 

Aufgaben - Häufungspunkte und isolierte Punkte

 

Aufgabe 6.1.9: (Bestimmen von Häufungspunkten und ioliserten Punkten I)

Bestimmen Sie sämtliche Häufungspunkte und isolierte Punkte der folgenden Mengen \( M\subset\mathbb R: \)

(i) \( M=[0,1]\cap\mathbb Q \)
(ii) \( M=\mathbb N \)

 

Lösung

 

Aufgabe 6.1.10: (Bestimmen von Häufungspunkten und ioliserten Punkten II)

Bestimmen Sie sämtliche Häufungspunkte und isolierte Punkte der folgenden Mengen:

(i) \( \displaystyle M=\left\{x\in\mathbb R\,:\,x=\frac{1}{k}\,,\ k=1,2,\ldots\right\} \)
(ii) \( \displaystyle M=\left\{x\in\mathbb R\,:\,x=(-1)^k\,,\ k=1,2,\ldots\right\} \)

 

Lösung

 

Aufgaben - Folgenstetigkeit

 

Aufgabe 6.1.11: (Stetigkeit und Folgenstetigkeit)

Beweisen Sie: Es sei \( x_0\in D \) ein Häufungspunkt der Menge \( D\subseteq\mathbb R. \) Dann ist eine Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) stetig in \( x_0\in D \) genau dann, wenn sie in diesem Punkt folgenstetig ist.

 

Lösung

 

Aufgabe 6.1.12: (Beispiele zur Folgenstetigkeit)

Enstscheiden Sie, ob folgende Funktionen stetig oder nicht stetig auf \( \mathbb R \) ist. Begründen Sie, und fertigen eine Skizze an.

(i) \( \displaystyle f(x) := \left\{ \begin{array}{cl} x^2\,, & x\in(-\infty,0) \\ 0, & x=0 \\ \sqrt{x}\,, & x\in(0,\infty) \end{array} \right. \)
(ii) \( \displaystyle f(x) := \left\{ \begin{array}{cl} -1, & x\in(-\infty,0) \\ 0, & x=0 \\ x+1\,, & x\in(0,\infty) \end{array} \right. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 6.1.13: (Ein weiteres Beispiel zur Folgenstetigkeit)

Betrachten Sie die Funktion \[ f\colon\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{x^4-5x^2+4}{x^2-x-2}\,, & \mbox{falls}\ x\in\mathbb R\setminus\{-1,2\} \\ \alpha, & \mbox{falls}\ x=-1 \\ \beta, & \mbox{falls}\ x=2 \end{array} \right.. \] Bestimmen Sie \( \alpha\in\mathbb R \) und \( \beta\in\mathbb R, \) so dass \( f(x) \) in \( \mathbb R \) stetig ist.

 

Lösung

 

Aufgabe 6.1.14: (Cauchysche Funktionalgleichung und Stetigkeit)

Es sei \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) eine in \( x_0=0 \) stetige Funktion mit der Eigenschaft \[ f(x+y)=f(x)+f(y)\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass \( f(x) \) in ganz \( \mathbb R \) stetig ist.

 

Lösung

 


 

 

6.1.6 Wiederholungsfragen

 

1. Wann heißt eine Funktion beschränkt?
2. Wann heißt eine Funktion in einem Punkt bzw. im gesamten Definitionsbereich stetig?
3. Wann heißt eine Funktion gleichmäßig stetig?
4. Was versteht man unter einem Häufungspunkt einer Menge?
5. Was versteht man unter einem isolierten Punkt einer Menge?
6. Wann heißt eine Funktion folgenstetig in einem Häufungspunkt?
7. Welchen wichtigen Zusammenhang gibt es zwischen Stetigkeit und Folgenstetigkeit?

 


 

6.2 Der Raum der stetigen Funktionen

 

6.2.1 Algebraische Eigenschaften stetiger Funktionen

 

Einen Beweis des folgenden Satzes belassen wir als Übung.

 

Satz: Es seien \( f,g\colon D\to\mathbb R \) stetig in \( x_0\in D, \) und es sei \( \lambda\in\mathbb R. \) Dann sind in \( x_0 \) auch stetig:

(i) \( (f+g)(x):=f(x)+g(x) \)
(ii) \( (\lambda f)(x):=\lambda f(x) \)
(iii) \( (fg)(x):=f(x)g(x) \)
(iv) \( \displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}, \) falls \( g(x)\not=0 \) in \( D \)

 

Offenbar genügt es (hier wie auch im Folgenden), die behaupteten Eigenschaften nur für Häufungspunkte \( x_0\in D \) nachzuweisen. Stetigkeit in isolierten Punkten ergibt sich nach unserer Bemerkung aus Paragraph 6.1.3 von selbst.

 

Beispiel: Rationale Funktionen \[ f(x)=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_1x+b_0}\,, \] wobei \( a_k,b_k\in\mathbb R \) und \( b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_1x+b_0\not=0 \) in \( D, \) sind stetig.

 

Satz: Sei \( f\colon D\to E \) stetig im Punkt \( x_0\in D \) und \( g\colon E\to\mathbb R \) stetig im Punkt \( y_0:=f(x_0). \) Dann ist auch die Komposition \[ h(x):=g\circ f(x)=g(f(x)),\quad x\in D, \] stetig im Punkt \( x_0\in D. \)

 

Beweis: Seien \( x_0\in D \) ein Häufungspunkt von \( D \) und \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset D \) mit \( x_n\to x_0 \) für \( n\to\infty. \) Dann gilt, da \( f(x) \) stetig in \( x_0 \) ist, \[ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0). \] Setze nun \( y_n:=f(x_n)\in E. \) Es ist \( g(y) \) stetig in \( y_0:=f(x_0), \) also \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}h(x_n)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \lim_{n\to\infty}g(f(x_n)) \,=\,\lim_{n\to\infty}g(y_n) \,=\,g(y_0) \\ & = & \negthickspace\displaystyle g(f(x_0)) \,=\,h(x_0). \end{array} \] Also ist \( h(x) \) in \( x_0\in D \) stetig.\( \qquad\Box \)

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.2.2 Der Vektorraum der stetigen Funktionen

 

Wir setzen \[ C^0(D)=C^0(D,\mathbb R):=\{ f\colon D\to\mathbb R\,:\,f\ \mbox{ist stetig in}\ D\}\,. \] Der erste Satz aus Paragraph 6.2.1 zeigt, dass der Raum \( C^0(D) \) mit den Verknüpfungen \( f+g \) und \( \lambda f \) einen Vektorraum über \( \mathbb R \) bildet.

 

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6.2.3 Offene, abgeschlossene und kompakte Mengen

 

Wir schließen an unsere Betrachtungen über Häufungspunkte von Mengen an. Zunächst die

 

Definition: Ein Punkt \( x\in\Omega \) heißt ein innerer Punkt der Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R, \) wenn ein \( \varepsilon\gt 0 \) existiert mit \[ B_\varepsilon(x)=\{z\in\mathbb R\,:\,|z-x|\lt\varepsilon\}\subseteq\Omega. \]

 

Damit können wir zwei weitere topologische Begriffe über Mengen einführen:

 

Definition: Die Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R \) heißt

\( \circ \) offen, wenn jeder Punkt \( x\in\Omega \) innerer Punkt von \( \Omega \) ist;
\( \circ \) abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt von \( \Omega \) zu \( \Omega \) gehört.

 

Bemerkung: Es ist (gerade in Hinblick auf unsere Untersuchungen mehrdimensionaler Mengen in der Analysis 2) zu beweisen, dass der offene Ball \( B_\varepsilon(x) \) selbst offen ist.

 

Der folgende Kompaktheitsbegriff bezieht sich auf unsere Betrachtungen von Funktionen \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R. \) In allgemeineren Räumen werden wir später Kompaktheit allgemeiner definieren, und unser jetziger Begriff wird sich unterordnen.

 

Definition: Die Menge \( \Omega\subset\mathbb R \) heißt kompakt, wenn

\( \circ \) \( \Omega \) beschränkt ist, d.h. mit einem \( c\gt 0 \) gilt
 
\( |x|\le c\quad\mbox{für alle}\ x\in\Omega, \)
\( \circ \) und \( \Omega \) abgeschlossen ist.

 

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6.2.4 Stetigkeit der Umkehrfunktion

 

Für einen Beweis unseres nächsten Resultats verweisen wir auf O. Deisers Lehrbuch Mathematik für das Lehramt, Abschnitt 3.1, Seiten 145-147.

 

Satz: Es sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R, \) \( a,b\in\mathbb R \) mit \( a\lt b, \) stetig und streng monoton und besitze die Umkehrfunktion \( g\colon f([a,b])\to[a,b]. \) Dann ist auch \( g(y) \) stetig in allen Punkten \( y\in f([a,b]). \)

 

Bemerkung: Das Definitionsintervall kann auch offen oder halboffen sein, beschränkt oder unbeschränkt. Setzt er sich jedoch aus mehreren solcher Intervalle zusammen, so ist die Aussage des Satzes i.d.R. falsch. Betrachte beispielsweise die Funktion \[ f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x, & \mbox{falls}\ x\in[0,1] \\ x-1, & \mbox{falls}\ x\in(2,3] \end{array}\right., \] die stetig und streng monoton wachsend ist, deren Umkehrfunktion in \( y_0=1 \) jedoch nicht stetig ist. Dieses Beispiel und ausführliche Diskussionen finden Sie in dem oben genannten Lehrbuch O. Deisers, vergleichen Sie aber auch die Formulierung des Satzes in F. Sauvigny Analysis, Kapitel II, §1, Satz 6.

 

Beispiel: Für natürliche Zahlen \( k\ge 2 \) ist die \( k \)-te Potenzfunktion \[ f(x)=x^k\,,\quad x\in[0,a]\ \mbox{mit}\ a\gt 0, \] streng monoton wachsend und stetig, besitzt also eine Umkehrfunktion \[ g(y)=\sqrt[k]{y}\,,\quad y\in[0,a^k], \] die \( k \)-te Wurzelfunktion, die ebenfalls stetig ist.

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.2.5 Aufgaben

 

Aufgaben - Algebraische Eigenschaften stetiger Funktionen

 

Aufgabe 6.2.1: (Algebraische Eigenschaften stetiger Funktionen)

Es seien \( f,g\colon D\to\mathbb R \) stetig in \( x_0\in D, \) und es sei \( \lambda\in\mathbb R. \) Beweisen Sie, dass dann in \( x_0 \) stetig sind:

(i) \( \displaystyle h(x):=f(x)+g(x) \)
(ii) \( \displaystyle h(x):=\lambda f(x) \)
(iii) \( \displaystyle h(x):=f(x)g(x) \)
(iv) \( \displaystyle h(x):=\frac{f(x)}{g(x)}, \) falls \( g(x)\not=0 \) in \( D \)

 

Lösung

 

Aufgabe 6.2.2: (Regularisieren nichtstetiger Funktionen)

Geben Sie jeweils ein Beispiel von Funktionen \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R, \) die beide in \( x_0=0 \) nicht stetig sind, so dass aber gelten:

(i) einmal ist \( f(x)+g(x) \) stetig in ganz \( \mathbb R, \)
(ii) dann ist \( f(x)\cdot g(x) \) stetig in ganz \( \mathbb R. \)

 

Lösung

 

Aufgaben - Der Vektorraum der stetigen Funktionen

 

Aufgabe 6.2.3: (Die stetigen Funktionen bilden einen Vektorraum)

Beweisen Sie, dass der Raum \( C^0(D,\mathbb R) \) unter den Verknüpfungen \( f+g \) und \( \lambda f \) aus Paragraph 6.2.1 einen Vektorraum bildet.

 

Lösung

 

Aufgaben - Offene, abgeschlossene und kompakte Mengen

 

Aufgabe 6.2.4: (Offen, abgeschlossen oder kompakt I)

Sind die folgenden Mengen \( \Omega\subset\mathbb R \) offen, abgeschlossen oder kompakt - oder weder noch?:

(i) \( \Omega=[0,1] \) (ii) \( \Omega=(0,1] \) (iii) \( \Omega=(0,1) \)

 

Lösung

 

Aufgabe 6.2.5: (Offen, abgeschlossen oder kompakt II)

Sind die folgenden Mengen \( \Omega\subseteq\mathbb R \) offen, abgeschlossen oder kompakt - oder weder noch?:

(i) \( \Omega=\mathbb N \) (ii) \( \Omega=\mathbb Q \) (iii) \( \Omega=\mathbb R \)

 

Lösung

 

Aufgabe 6.2.6: (Offene Bälle sind offen)

Seien \( x\in\mathbb R \) und \( \varepsilon\gt 0. \) Beweisen Sie unter Verwendung der Definitionen aus Paragraph 6.2.3, dass die Menge \[ B_\varepsilon(x):=\{y\in\mathbb R\,:\,|x-y|\lt\varepsilon\}\subset\mathbb R \] offen ist.

 

Lösung

 

Aufgaben - Stetigkeit der Umkehrfunktion

 

Aufgabe 6.2.7: (Stetige Funktionen und ihre Umkehrung)

Wir betrachten die Funktion \[ f(x):=\frac{x}{1+x}\,,\quad x\in[0,1]. \]

(i) Skizzieren Sie die Funktion.
(ii) Zeigen Sie, dass \( f \) auf \( [0,1] \) streng monoton wachsend und injektiv ist.

Nach dem späteren Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß ist dann \( f\colon[0,1]\to\left[0,\frac{1}{2}\right] \) surjektiv und damit bijektiv. Es existiert also eine Umkehrfunktion \( g\colon\left[0,\frac{1}{2}\right]\to[0,1]. \)

(iii) Bestimmen Sie eine Darstellung \( g(x) \) dieser Umkehrfunktion, und begründen Sie deren Stetigkeit.

 

Lösung

 


 

 

6.2.6 Wiederholungsfragen

 

1. Begründen Sie in eigenen Worten, unter welchen Voraussetzungen rationale Funktionen stetig sind.
2. Wie ist der Funktionenraum \( C^0(D,\mathbb R) \) definiert?
3. Was versteht man unter einem inneren Punkt einer Menge?
4. Wann heißt eine Menge offen?
5. Wann heißt eine Menge abgeschlossen?
6. Wann heißt eine Menge kompakt?
7. Wie lautet unser Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion.

 


 

6.3 Sätze über stetige Funktionen

 

6.3.1 Der Fundamentalsatz von Weierstraß

 

Dabei handelt es sich um folgenden zentralen

 

Satz: Seien \( K\subset\mathbb R \) kompakt und \( f\colon K\to\mathbb R \) stetig. Dann existieren \( x_{min}\in K \) und \( x_{max}\in K \) mit \[ f(x_{min})\le f(x)\le f(x_{max})\quad\mbox{für alle}\ x\in K. \]

 

Wir geben an dieser nur eine Beweisskizze. Detaillierte Ausführungen zu den Behauptungen über Folgen in \( \overline{\mathbb R} \) und deren Häufungsstellen finden sich im Lehrbuch Analysis von F. Sauvigny.

 

Beweisskizze: Wir konstruieren den Punkt \( x_{min}\in K. \) Durch Übergang zu \( -f(x) \) erhalten wir auf diese Weise auch \( x_{max}. \)

1. Wir rechnen natürlich in \( \overline{\mathbb R}. \) Setze

\[ \mu:=\inf_{x\in K}f(x)\in\overline{\mathbb R}\,. \]

  Man kann zeigen, dass dann eine Folge \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset K \) existiert mit

\[ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=\mu. \]

2. Es existiert eine konvergente Teilfolge

\[ \{x_{n_k}\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \quad\mbox{mit}\quad \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\xi\in K. \]

  Es ist dabei \( \xi \) ein Häufungspunkt von \( K, \) und da \( K \) abgeschlossen ist, gilt \( \xi\in K. \) Da schließlich \( f(x) \) stetig ist, folgt

\[ f(\xi)=\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})=\mu=\inf_{x\in K}f(x). \] Damit schließen wir unsere Beweisskizze ab.\( \qquad\Box \)

 

Der Satz ist auf offenen, halboffenen oder unbeschränkten Bereichen falsch, wie folgende Beispiele sukzessive illustrieren: \[ f(x)=x^2\quad\mbox{auf}\ (-1,1),\quad g(x)=\frac{1}{x}\quad\mbox{auf}\ (0,1],\quad h(x)=x\quad\mbox{auf}\ \mathbb R. \]

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.3.2 Der Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß

 

Satz: Sei \( K=[a,b]\subset\mathbb R \) ein kompaktes Intervall mit \( a\lt b, \) und sei \( f\colon K\to\mathbb R \) stetig mit \[ f(a)\lt f(b). \] Dann existiert zu jedem \( \eta\in(f(a),f(b)) \) ein \( \xi\in(a,b) \) mit \[ f(\xi)=\eta. \]

 

Der folgende Beweis dieses Satzes verwendet verschiedenartige Stetigkeitsargumente und verdient dadurch unser besonderes Interesse.

 

Beweis: Zur Konstruktion des Punktes \( \xi \) gehen wir in drei Schritten vor.

1. Sei \( \eta\in(f(a),f(b)) \) vorgegeben. Die Menge

\[ D:=\{x\in[a,b]\,:\,f(x)\lt\eta\} \]

  ist wegen \( a\in D \) nicht leer.
2. Setze nun

\[ \xi:=\sup_{x\in D}x. \]

  Es gelten \( a\le\xi\le b \) sowie natürlich auch

\[ x\le\xi\quad\mbox{für alle}\ x\in D. \]

  Es existiert also eine Folge \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset D \) mit

\[ \lim_{n\to\infty}x_n=\xi, \]

  und da \( f(x) \) stetig ist, folgt nach Definition von \( D \)

\[ f(\xi)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)\le\eta. \]

3. Wäre nun \( f(\xi)\lt\eta, \) so existiert ein \( \varepsilon\gt 0 \) mit

\[ f(x)\lt\eta\quad\mbox{für alle}\ x\in(\xi,\xi+\varepsilon), \]

  da \( f(x) \) nach Voraussetzung stetig ist. Das steht aber im Widerspruch dazu, dass \( \xi \) als das Supremum von \( D \) gewählt wurde. Also gilt notwendig \( f(\xi)=\eta. \)

Damit ist der Beweis abgeschlossen.\( \qquad\Box \)

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.3.3 Satz über die monotone Umkehrfunktion

 

Satz: Es seien \( K=[a,b]\subset\mathbb R \) kompakt mit \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty \) und \( f\colon K\to\mathbb R \) stetig und streng monoton wachsend mit \[ f(x)\lt f(\widetilde x)\quad\mbox{für alle}\ x,\widetilde x\in K\ \mbox{mit}\ x\lt\widetilde x. \] Dann besitzt die Gleichung \[ f(x)=y \] für jedes \( y\in[f(a),f(b)] \) eine eindeutig bestimmte Lösung \( x\in[a,b]. \)

 

Einen Beweis dieses Satzes unter Benutzung des Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß und Beachtung der strengen Monotonie belassen wir dem Leser als Übung.

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.3.4 Satz über die gleichmäßige Stetigkeit

 

Satz: Jede auf einem Kompaktum \( K\subset\mathbb R \) stetige Funktion \( f\colon K\to\mathbb R \) ist auf \( K \) gleichmäßig stetig.

 

Beweis: Wir gehen in drei Schritten vor. Aus Gründen der Einfachheit versehen wir im Folgenden die Zahlenfolgen mit Indizes \( n,k=1,2,\ldots \)

1. Angenommen, \( f \) ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. Dann finden wir ein \( \delta\gt 0, \) so dass zu jedem
  \( n\ge 1 \) Punkte \( x_n,\widetilde x_n\in K \) existieren mit

\[ |x_n-\widetilde x_n|\le\frac{1}{n}\,,\quad\mbox{aber}\quad|f(x_n)-f(\widetilde x_n)|\ge\delta. \tag{\(*\)}\]

  Es ist \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset K \) beschränkt, da \( K \) kompakt ist, d.h. es existiert eine Teilfolge \( \{x_{n_k}\}_{k=1,2,\ldots} \) von \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit

\[ x_{n_k}\longrightarrow x^*\in K\quad\mbox{für}\ k\to\infty\,. \]

2. Wegen der ersten Ungleichung in \( (*) \) haben wir

\[ |x_{n_k}-\widetilde x_{n_k}|\le\frac{1}{n_k}\,, \]

  weshalb mit der Dreiecksungleichung gilt

\[ |\widetilde x_{n_k}-x^*| =|\widetilde x_{n_k}-x_{n_k}+x_{n_k}-x^*| \le|\widetilde x_{n_k}-x_{n_k}|+|x_{n_k}-x^*| \lt\frac{1}{n_k}+\varepsilon \]

  zu \( k\in\mathbb N \) hinreichend groß zu gegebenem \( \varepsilon\gt 0. \) Es folgt

\[ \lim_{k\to\infty}\widetilde x_{n_k}=x^*\,. \]

3. Da \( f \) stetig ist, ist aber auch

\[ \lim_{k\to\infty}\big\{f(x_{n_k})-f(\widetilde x_{n_k})\big\} =\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})-\lim_{k\to\infty}f(\widetilde x_{n_k}) =f(x^*)-f(x^*) =0 \]

  im Widerspruch zur zweiten Ungleichung in \( (*). \) Also ist \( f \) auf \( K \) gleichmäßig stetig.

Damit ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.3.5 Aufgaben

 

Aufgaben - Der Fundamentalsatz von Weierstraß

 

Aufgabe 6.3.1: (Beispiele zum Fundamentalsatz von Weierstraß)

Bestimmen Sie sämtliche Punkte \( x_{min},x_{max}\in D \) und die zugehörigen Funktionswerte für die folgenden Funktionen:

(i) \( f(x)=x \) auf \( D=[-1,1] \) (ii) \( f(x)=x^2-2x+1 \) auf \( D=[0,1] \)
(iii) \( f(x)=\left\{\begin{array}{cl} -x^2\,, & x\in[-1,2) \\ 4x-12, & x\in[2,3]\end{array}\right. \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 6.3.2: (Gegenbeispiel zum Fundamentalsatz von Weierstraß)

Gesucht ist eine Funktion \( f\colon[0,1]\to\mathbb R, \) für welche keine Punkte \( x_{min}\in[0,1] \) und keine Punkte \( x_{max}\in[0,1] \) existieren mit \[ f(x_{min})\le f(x)\le f(x_{max})\quad\mbox{für alle}\ x\in[0,1]. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 6.3.3: (Folgerung aus dem Fundamentalsatz von Weierstraß)

Es seien \( [a,b]\subset\mathbb R \) kompakt und \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) stetig. Ferner gelten \[ f(x)\gt 0\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \] Zeigen Sie, dass dann ein \( \alpha\gt 0 \) existiert mit \[ f(x)\ge\alpha\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \]

 

Lösung

 

Aufgaben - Der Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß

 

Aufgabe 6.3.4: (Polynome und der Zwischenwertsatz)

Für ein \( n\in\mathbb N \) betrachten wir das stetige reellwertige Polynom \[ p(x):=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1x+a_0\,,\quad x\in\mathbb R, \] mit reellen Koeffizienten \( a_0,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb R. \)

(i) Sei \( n\in\mathbb N \) ungerade. Zeigen Sie, dass dann ein \( \xi\in\mathbb R \) existiert mit \( p(\xi)=0. \)
(ii) Gilt die Behauptung aus (i) auch für gerades \( n\in\mathbb N? \)

 

Lösung

 

Aufgabe 6.3.5: (Nichtlineare Gleichungen und der Zwischenwertsatz)

Zeigen Sie, dass ein \( \xi\in\mathbb R \) existiert mit \[ x^{179}+\frac{163}{1+x^2+x^4}=119. \]

Lösung

 

Aufgabe 6.3.6: (Fixpunkte stetiger Funktionen)

Seien \( a\lt b \) reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass jede stetige Funktion \( f\colon[a,b]\to[a,b] \) einen Fixpunkt besitzt, d.h. es existiert ein \( \xi\in[a,b] \) mit der Eigenschaft \[ f(\xi)=\xi. \]

Lösung

 

Aufgaben - Satz über monotone Funktionen

 

Aufgabe 6.3.7: (Auflösen einer nichtlinearen Gleichung)

In Aufgabe 6.5.3 diskutieren wir die reelle Exponentialfunktion \[ e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} \] und zeigen, dass \( e^x \) stetig in \( \mathbb R \) ist, dass stets \( e^x\gt 0 \) gilt mit \( e^0=1, \) und dass \( e^x \) streng monoton wachsend in \( \mathbb R \) ist. Beweisen Sie unter Kenntnis dieser Eigenschaften, dass \[ e^x+2x+1=0 \] genau eine Lösung \( \xi\in[-1,0] \) besitzt.

 

Lösung

 

Aufgaben - Satz über die gleichmäßige Stetigkeit

 

Aufgabe 6.3.8: (Stetige Abbildungen auf nicht kompakten Mengen)

Geben Sie jeweils ein Beispiel einer Funktion \( f\colon I\to\mathbb R \) auf

(i) einem beschränkten und offenen Intervall \( I\subset\mathbb R \)
(ii) unbeschränkten und abgeschlossenen Intervall \( I\subseteq\mathbb R \)

so dass \( f \) zwar stetig, aber nicht gleichmäßig stetig auf \( I \) ist.

 

Lösung

 

Aufgabe 6.3.9: (Gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitzstetigkeit)

Es sei \( K\subset\mathbb R \) kompakt. Geben Sie jeweils ein Beispiel einer Funktion \( f\colon K\to\mathbb R, \) so dass gelten

(i) \( f \) ist gleichmäßig stetig und Lipschitzstetig auf \( K, \)
(ii) \( f \) ist gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitzstetig auf \( K. \)

 

Lösung

 


 

 

6.3.6 Wiederholungsfragen

 

1. Wie lautet der Fundamentalsatz von Weierstraß?
2. Wie lautet der Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß?
3. Wie lautet der Satz über die monotone Umkehrfunktion?
4. Wie lautet der Satz über die gleichmäßige Stetigkeit?

 


 

6.4 Funktionenfolgen

 

6.4.1 Konvergenzbegriffe

 

Wir betrachten nun Funktionenfolgen \[ f_k\colon D\longrightarrow\mathbb R,\quad k=0,1,2,\ldots \] auf einem gemeinsamen Definitionsbereich \( D\subseteq\mathbb R. \)

 

Zwei Konvergenzbegriffe stellen sich als zentral für die Untersuchung von Funktionenfolgen heraus:

 

Definition: Die Funktionenfolge \( \{f_k\}_{k=0,1,2,\ldots}, \) worin \( f_k\colon D\to\mathbb R \) für alle \( k=0,1,2,\ldots, \) heißt

\( \circ \) punktweise konvergent gegen die Funktion \( f\colon D\to\mathbb R, \)

wenn zu jedem \( x\in D \) und jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(x,\varepsilon)\in\mathbb N \) existiert mit \[ |f_k(x)-f(x)|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ k\ge N(x,\varepsilon). \]

 

Diese Definition können wir auch so formulieren: \[ \lim_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in D. \]

 

Definition: Die Funktionenfolge \( \{f_k\}_{k=0,1,2,\ldots}, \) worin \( f_k\colon D\to\mathbb R \) für alle \( k=0,1,2,\ldots, \) heißt

\( \circ \) gleichmäßig konvergent gegen die Funktion \( f\colon D\to\mathbb R, \)

wenn zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) existiert mit \[ |f_k(x)-f(x)|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ x\in D\ \mbox{und alle}\ k\ge N(\varepsilon). \]

 

Diese Definition können wir auch so formulieren: \[ \lim_{k\to\infty}\,\sup_{x\in D}|f_k(x)-f(x)|=0. \]

 

Beispiel: Die stetigen Funktionen \( f_k(x)=x^k, \) wobei \( x\in[0,1] \) und \( k=1,2,\ldots, \) konvergieren punktweise gegen die nicht stetige Grenzfunktion \[ f(x) =\left\{ \begin{array}{cl} 0, & x\in[0,1) \\ 1, & x=1 \end{array} \right., \] aber nicht gleichmäßig, denn wir ermitteln \[ \sup_{x\in[0,1]}|f_k(x)-f(x)| =\sup_{x\in[0,1]} \left\{ \begin{array}{cl} |x^k-0|=x^k\,, & x\in[0,1) \\ |1-1|=0, & x=1 \end{array} \right. =1\not=0 \] für alle \( k=1,2,\ldots \) Daher ist \[ \lim_{k\to\infty}\,\sup_{x\in[0,1]}|f_k(x)-f(x)|\not=0. \]

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.4.2 Cauchykriterium zur gleichmäßigen Konvergenz

 

Satz: Die Funktionenfolge \( \{f_k\}_{k=0,1,2,\ldots}, \) worin \( f_k\colon D\to\mathbb R \) für alle \( k=0,1,2,\ldots, \) konvergiert gleichmäßig auf \( D\subseteq\mathbb R \) gegen die Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) genau dann, wenn es zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) gibt mit \[ |f_k(x)-f_\ell(x)|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ x\in D\ \mbox{und alle}\ k,\ell\ge N(\varepsilon). \]

 

Wir geben lediglich eine

 

Beweisidee:

1. Konvergiert \( \{f_k\}_{k=0,1,2,\ldots} \) gleichmäßig, so schätze wie folgt ab

\[ \begin{array}{lll} |f_k(x)-f_\ell(x)|\negthickspace & = & \negthickspace |f_k(x)-f(x)+f(x)-f_\ell(x)| \\ & \le & \negthickspace |f_k(x)-f(x)|+|f_\ell(x)-f(x)| \,\lt\,\varepsilon \end{array} \]

  für alle \( x\in D \) und alle \( k,\ell\ge N(\varepsilon) \) zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0. \)
2. Nun gelte umgekehrt

\[ |f_k(x)-f_\ell(x)|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ x\in D\ \mbox{und alle}\ k,\ell\ge N(\varepsilon) \tag{\(*\)} \]

  zu \( \varepsilon\gt 0 \) vorgegeben. Fixiere hierin ein \( x\in D, \) so erhalten wir - da \( \mathbb R \) vollständig ist - eine in \( \mathbb R \) konvergente Zahlenfolge, d.h. es existiert der punktweise Grenzwert

\[ f(x):=\lim_{k\to\infty}f_k(x),\quad x\in D. \]

  Fixiere in \( (*) \) nun \( k\in\mathbb N \) und betrachte den Grenzübergang \( \ell\to\infty. \)

Damit schließen wir unsere Beweisidee ab.\( \qquad\Box \)

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.4.3 Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit

 

Die Frage nach der Stetigkeit der Grenzfunktion einer konvergenten Funktionenfolge beantwortet nun der

 

Satz: Es sei \( \{f_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset C^0(D,\mathbb R) \) eine Folge stetiger Funktionen, die auf \( D\subseteq\mathbb R \) gleichmäßig gegen eine Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) konvergiert. Dann ist diese Grenzfunktion \( f(x) \) stetig in \( D. \)

 

Beweis: Zu \( \varepsilon\gt 0 \) existiert wegen der gleichmäßigen Konvergenz ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit \[ |f_k(x)-f(x)|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ x\in D\ \mbox{und alle}\ k\ge N(\varepsilon). \] Da \( f_N(x) \) mit \( N=N(\varepsilon) \) stetig ist, gibt es zu diesem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( \delta=\delta(x_0,\varepsilon,N)\gt 0 \) mit \[ |f_N(x)-f_N(x_0)|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ x,x_0\in D\ \mbox{mit}\ |x-x_0|\lt\delta, \] wobei wir \( x_0\in D \) beliebig wählen. Es folgt \[ \begin{array}{lll} |f(x)-f(x_0)|\negthickspace & = & \negthickspace |f(x)-f_N(x)+f_N(x)-f_N(x_0)+f_N(x_0)-f(x_0)| \\ & \le & \negthickspace |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f(x_0)| \\ & \lt & \negthickspace \varepsilon+\varepsilon+\varepsilon \,=\,3\varepsilon, \end{array} \] falls \( |x-x_0|\lt\delta. \) Also ist \( f(x) \) in \( x_0\in D \) stetig. Da \( x_0 \) beliebig gewählt wurde, ist \( f(x) \) in ganz \( D \) stetig. Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.4.4 Aufgaben

 

Aufgaben - Konvergenzbegriffe

 

Aufgabe 6.4.1: (Beispiele punktweiser konvergente Funktionenfolgen)

Bestimmen Sie den punktweisen Limes der folgenden Funktionenfolgen \( \{f_k\}_{k=1,2,\ldots} \) mit \( f_k\colon[0,1]\to\mathbb R \) für alle \( k=1,2,\ldots \) Skizzieren Sie auch jeweils die Funktionen \( f_k \) für \( k=1,2,3,4. \)

(i) \( \displaystyle f_k(x)=x+\frac{1}{k} \) (ii) \( \displaystyle f_k(x)=\frac{x}{k} \)
(iii) \( \displaystyle f_k(x)=x^k \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 6.4.2: (Beispiele gleichmäßig konvergenter Funktionenfolgen)

Bestimmen Sie den punktweisen Limes der folgenden Funktionenfolgen \( \{f_k\}_{k=1,2,\ldots} \) Beweisen Sie, dass jeweils gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Skizzieren Sie auch jeweils die Funktionen \( f_k \) für \( k=1,2,3,4. \)

(i) \( \displaystyle f_k(x)=\frac{1}{k}\,,\quad 0\le x\le 1 \) (ii) \( \displaystyle f_k(x)=\frac{x+1}{k}\,,\quad 0\le x\le 1 \)
(iii) \( \displaystyle f_k(x)=x^k,\quad 0\le x\le\frac{1}{2} \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 6.4.3: (Punktweise und gleichmäßige Konvergenz I)

Bestimmen Sie den punktweisen Limes der folgenden Funktionenreihen \( \{f_k\}_{k=1,2,\ldots} \) Liegt gleichmäßige Konvergenz vor? Skizzieren Sie auch jeweils die Funktionen \( f_k \) für \( k=1,2,3,4. \)

(i) \( \displaystyle f_k(x)=x^k-x^{2k}\,,\quad 0\le x\le 1 \) (ii) \( \displaystyle f_k(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{k^2}}\,,\quad 0\le x\le 1 \)

 

Lösung

 

Aufgabe 6.4.4: (Punktweise und gleichmäßige Konvergenz II)

Wir betrachten die Funktionenfolge \( \{f_k\}_{k=1,2,\ldots} \) vermöge \[ f_k(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} kx, & \quad\displaystyle x\in\left[0,\frac{1}{k}\right] \\ 2-kx, & \quad\displaystyle x\in\left(\frac{1}{k},\frac{2}{k}\right] \\ 0, & \quad\displaystyle x\in\left(\frac{2}{k},1\right] \end{array} \right.. \]

(i) Skizzieren Sie \( f_k(x) \) für \( k=1,2,3,4. \)
(ii) Bestimmen Sie den punktweisen Grenzwert \( f(x) \) dieser Funktionenfolge.
(iii) Liegt gleichmäßige Konvergenz vor? Begründen Sie.

 

Lösung

 

Aufgaben - Cauchykriterium zur gleichmäßigen Konvergenz

 

Aufgabe 6.4.5: (Beispiele zum Cauchykriterium zur gleichmäßigen Konvergenz)

Verifizieren Sie den Satz aus Paragraph 6.4.2 anhand folgender Funktionenfolgen.

(i) \( \{f_k\}_{k=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle f_k(x)=\frac{x+1}{k} \) auf \( D=[0,1] \)
(ii) \( \{f_k\}_{k=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle f_k(x)=x^k \) auf \( D=[0,1] \)

 

Lösung

 

Aufgaben - Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit

 

Aufgabe 6.4.6: (Beispiele zur gleichmäßigen Konvergenz und Stetigkeit)

Verifizieren Sie den Satz aus Paragraph 6.4.3 anhand folgender Funktionenfolgen.

(i) \( \{f_k\}_{k=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle f_k(x)=\frac{x+1}{k} \) auf \( D=[0,1] \)
(ii) \( \{f_k\}_{k=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle f_k(x)=x^k \) auf \( D=[0,1] \)

 

Lösung

 


 

 

6.4.5 Wiederholungsfragen

 

1. Was versteht man unter einer Funktionenfolgen?
2. Wann heißt eine Funktionenfolge punktweise konvergent gegen eine Grenzfunktion \( f(x)? \)
3. Wann heißt eine Funktionenfolge gleichmäßig konvergent gegen eine Grenzfunktion \( f(x)? \)
4. Studieren Sie das Beispiel aus Paragraph 6.4.1.
5. Wie lautet das Cauchykriterium zur gleichmäßigen Konvergenz?
6. Stellen Sie einen Zusammenhang her zwischen gleichmäßiger Konvergenz und Stetigkeit der
  Grenzfunktion.

 


 

6.5 Der Weierstraßsche Majorantentest

 

6.5.1 Funktionenreihen und gleichmäßige Konvergenz

 

Wir betrachten nun Funktionenreihen \[ \sum_{k=0}^\infty f_k(x)=f_0(x)+f_1(x)+f_2(x)+\ldots,\quad f_k\colon D\to\mathbb R\ \mbox{für alle}\ k=0,1,2,\ldots \]

 

Definition: Die Funktionenreihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty f_k(x), \) \( f_k\colon D\to\mathbb R \) für alle \( k=0,1,2,\ldots, \) heißt gleichmäßig konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen \[ \{S_n(x)\}_{n=0,1,2,\ldots}\quad\mbox{mit}\quad S_n(x):=\sum_{k=0}^n f_k(x),\quad x\in D, \] auf \( D\subseteq\mathbb R \) gleichmäßig konvergiert.

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.5.2 Der Weierstraßsche Majorantentest

 

Satz: Die Funktionen \( f_k\colon D\to\mathbb R \) auf \( D\subseteq\mathbb R, \) wobei \( k=0,1,2,\ldots, \) genügen der Bedingung \[ |f_k(x)|\le M_k\quad\mbox{für alle}\ x\in D\ \mbox{und alle}\ k=0,1,2,\ldots \] mit reellen Zahlen \( M_k\in\mathbb R, \) \( k=0,1,2,\ldots, \) so dass erfüllt ist \[ \sum_{k=0}^\infty M_k\lt\infty\,. \] Dann konvergiert die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty f_k(x) \) gleichmäßig auf \( D. \)

 

Beispiel: Die reelle Exponentialreihe \[ e^x:=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\,,\quad x\in\mathbb R, \] konvergiert gleichmäßig auf jeder beschränkten Teilmenge von \( \mathbb R \) - können Sie das verifizieren?

 

Beweis des Satzes: Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert zunächst ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit \[ \sum_{k=p+1}^qM_k\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ q\gt p\ge N(\varepsilon). \] Wir schließen \[ |S_q(x)-S_p(x)| =\left|\,\sum_{k=p+1}^q f_k(x)\right| \le\sum_{k=p+1}^q|f_k(x)| \le\sum_{k=p+1}^qM_k \lt\varepsilon \] für alle \( q\gt p\ge N(\varepsilon) \) und alle \( x\in D. \) Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

6.5.3 Aufgaben

 

Aufgaben - Funktionenreihen und gleichmäßige Konvergenz

 

Aufgabe 6.5.1: (Funktionenreihen und gleichmäßige Konvergenz I)

Wir betrachten die Funktionenreihe \[ F(x):=1+x+x^2+x^3+\ldots\,,\quad|x|\lt 1. \]

(i) Verifizieren Sie, dass für die Partialsummen \( S_n(x) \) gilt

\[ S_n(x)=\sum_{k=0}^nx^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\,,\quad|x|\lt 1. \]

  Skizzieren Sie \( S_n(x) \) für \( n=0,1,2,3,4. \)
(ii) Zeigen Sie

\[ F(x)=\frac{1}{1-x}\,,\quad|x|\lt 1. \]

  Zeichnen Sie auch \( F(x) \) in Ihre Skizze aus (i) ein.
(iii) Konvergiert die Funktionenreihe auf jedem Intervall

\[ [a,b]\subset\mathbb R \quad\mbox{mit}\quad -1\lt a\lt b\lt 1 \]

  gleichmäßig? Begründen Sie.

 

Lösung

 

Aufgabe 6.5.2: (Funktionenreihen und gleichmäßige Konvergenz II)

Wir betrachten die Funktionenreihe \[ F(x):=x+x(1-x^2)+x(1-x^2)^2+x(1-x^2)^3+\ldots\,,\quad|x|\lt\sqrt{2}\,. \]

(i) Verifizieren Sie, dass für die Partialsummen \( S_n(x) \) gilt

\[ S_n(x)=\sum_{k=0}^nx(1-x^2)^k=\frac{1-(1-x^2)^{n+1}}{x}\,,\quad x\not=0. \]

  Skizzieren Sie \( S_n(x) \) für \( n=0,1,2,3,4. \)
(ii) Zeigen Sie

\[ F(x) =\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{1}{x}\,, & \quad\mbox{falls}\ |x|\lt\sqrt{2}\,,\ x\not=0 \\ 0, & \quad\mbox{falls}\ x=0 \end{array} \right.. \]

  Zeichnen Sie auch \( F(x) \) in Ihre Skizze von (i) ein.
(iii) Konvergiert die Funktionenreihe auf einem Intervall

\[ [a,b]\subset\mathbb R \quad\mbox{mit}\quad -\sqrt{2}\lt a\lt 0\lt b\lt\sqrt{2} \]

  gleichmäßig? Begründen Sie.
(iv) Konvergiert die Funktionenreihe auf jedem Intervall

\[ [a,b]\subset\mathbb R \quad\mbox{mit}\quad -\sqrt{2}\lt a\lt b\lt 0\ \mbox{bzw.}\ 0\lt a\lt b\lt\sqrt{2} \]

  gleichmäßig? Begründen Sie.

 

Lösung

 

Aufgaben - Der Weierstraßsche Majorantentest

 

Aufgabe 6.5.3: (Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus)

Wir betrachten die reelle Exponentialfunktion \[ f\colon\mathbb R\longrightarrow(0,\infty) \quad\mbox{vermöge}\quad x\mapsto e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\,. \]

(i) Zeigen Sie \( \displaystyle e^x=\frac{1}{e^{-x}} \) sowie \( e^x\gt 0 \) für alle \( x\in\mathbb R. \)
(ii) Zeigen Sie, dass \( f(x) \) in \( \mathbb R \) stetig ist.
(iii) Zeigen Sie, dass \( f(x) \) in \( \mathbb R \) streng monoton wächst und surjektiv ist.
(iv) Folgern Sie die Existenz einer stetigen und streng monoton wachsenden Umkehrfunktion

\[ f^{-1}\colon(0,\infty)\longrightarrow\mathbb R, \]

  den sogenannten natürlichen Logarithmus \( \ln x. \)
(v) Beweisen Sie die Rechenregeln

\[ \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y,\quad \ln(x^{-1})=-\ln x \quad\mbox{für alle}\ x,y\in(0,\infty). \]

 

Lösung

 


 

 

6.4.5 Wiederholungsfragen

 

1. Was versteht man unter einer Funktionenreihe?
2. Wann heißt eine Funktionenreihe gleichmäßig konvergent?
3. Formulieren Sie den Weierstraßschen Majorantentest.