MATERIALIEN ZUR ANALYSIS 2


 

Teil I: Metrische Räume

9 Metrik und Topologie

9.1 Metrische Räume

9.1.1 Definition metrischer Räume

9.1.2 Beispiele metrischer Räume

9.1.3 Aufgaben

9.2 Normierte Räume

9.2.1 Definition normierter Räume

9.2.2 Metrische und normierte Räume

9.2.3 Beispiele normierter Räume

9.2.4 Äquivalente Normen

9.2.5 Aufgaben

9.3 Offene Mengen

9.3.1 Offene Umgebungen

9.3.2 Das Hausdorffsche Trennungsaxiom

9.3.3 Offene Mengen

9.3.4 Durchschnitt und Vereinigung offener Mengen

9.3.5 Innere Punkte und Inneres von Mengen

9.3.6 Aufgaben

9.4 Abgeschlossene Mengen

9.4.1 Definition abgeschlossener Mengen

9.4.2 Durchschnitt und Vereinigung abgeschlossener Mengen

9.4.3 Randpunkte und Rand

9.4.4 Eigenschaften des Randes

9.5 Topologische Räume

9.5.1 Definition topologischer Räume

9.5.2 Offene und abgeschlossene Mengen

10 Konvergenz in metrischen Räumen. Stetigkeit

10.1 Konvergente Folgen

10.1.1 Definition von Konvergenz

10.1.2 Charakterisierung abgeschlossener Mengen

10.1.3 Aufgaben

10.2 Vollständigkeit. Banachräume

10.2.1 Definition von Vollständigkeit

10.2.2 Der Cantorsche Durchschnittsatz

10.2.3 Aufgaben

10.3 Stetige Abbildungen

10.3.1 Definition von Stetigkeit

10.3.2 Ein topologisches Stetigkeitskriterium

10.3.3 Der Raum der stetigen Funktionen

10.3.4 Aufgaben

11 Kompaktheit

11.1 Einführung

11.1.1 Überdeckungskompaktheit

11.1.2 Beispiele

11.1.3 Aufgaben

11.2 Sätze über kompakte Mengen

11.2.1 Der Satz von Heine und Borel

11.2.2 Konvergente Folgen und Kompaktheit

11.2.3 Der Weierstraßsche Häufungsstellensatz

11.2.4 Der Fundamentalsatz von Weierstraß

11.2.5 Stetige und gleichmäßig stetige Abbildungen

11.2.6 Aufgaben

Teil II: Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

12 Kurven und Flächen

12.1 Kurven im Euklidischen Raum

12.1.1 Stetige Kurvenparametrisierungen

12.1.2 Reguläre Kurvenparametrisierungen

12.1.3 Tangentialvektoren

12.1.4 Umparametrisierungen

12.1.5 Bogenlängenparametrisierungen

12.1.6 Rektifizierbare Kurven

12.1.7 Aufgaben

12.2 Flächen im Euklidischen Raum

12.2.1 Stetige Flächenparametrisierungen

12.2.2 Partielle Differenzierbarkeit

12.2.3 Reguläre Flächenparametrisierungen

12.2.4 Darstellungsformen für Flächen

12.2.5 Tangentialvektoren

12.2.6 Aufgaben

13 Partielle und vollständige Differenzierbarkeit

13.1 Partielle Differenzierbarkeit

13.1.1 Die Kettenregel

13.1.2 Der Mittelwertsatz

13.1.3 Richtungsableitungen

13.1.4 Partielle Differenzierbarkeit und Stetigkeit

13.1.5 Funktionen mit verschwindendem Gradienten auf Gebieten

13.1.6 Aufgaben

13.2 Vollständige Differenzierbarkeit

13.2.1 Definition vollständige Differenzierbarkeit

13.2.2 Partielle und vollständige Differenzierbarkeit

13.2.3 Äquivalente Formulierungen

13.2.4 Aufgaben

Teil III: Gewöhnliche Differentialgleichungen