MATERIALIEN ZUR WEITERFÜHRENDEN ANALYSIS
FÜR DAS LEHRAMT IM WINTERSEMESTER 2020
Die Vorlesung besteht aus zwei Teilen:
Literatur
Lehrbücher und Monografien
Vorlesungen
Vorlesungsinhalt
Teil V: Maß- und Integrationstheorie
14.1 Das Maßproblem
14.1.1 Ein erstes Beispiel
14.1.2 Um was es geht
14.1.3 Aufgaben und Wiederholungsfragen
14.2 Der Jordaninhalt
14.2.1 Jordanmessbare Mengen
14.2.2 Eigenschaften des Jordaninhaltes
14.2.3 Subadditivität
14.2.4 Was soll ein Maß leisten?
14.2.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen
14.3 Das Lebesguemaß
14.3.1 Definition
14.3.2 Erste Eigenschaften
14.3.3 Jordaninhalt und äußeres Lebesguemaß
14.3.4 Subadditivität
14.3.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen
14.4 Lebesguemessbare Mengen
14.4.1 Definition Lebesguemessbarer Mengen
14.4.2 Alternative Definition der Lebesguemessbarkeit
14.4.3 Erste Beispiele Lebesguemessbarer Mengen
14.4.4 Jordanmessbarkeit und Lebesguemessbarkeit
14.4.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen
14.5 Sigma-Algebren
14.5.1 Der Begriff der Sigma-Algebra
14.5.2 Die Sigma-Algebra der Lebesguemessbaren Mengen
14.5.3 Lebesguemessbarkeit offener und abgeschlossener Mengen
14.5.4 Borelmengen
14.5.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen
14.6 Approximation Lebesguemessbarer Mengen
14.6.1 Der Approximationssatz
14.6.2 Aufgaben und Wiederholungsfragen
15 Lebesguemessbare Funktionen
15.1 Einführung Lebesguemessbarer Funktionen
15.1.1 Definition
15.1.2 Erste Beispiele Lebesguemessbarer Funktionen
15.1.3 Rechnen im erweiterten Zahlenraum
15.1.4 Eigenschaften Lebesguemessbarer Funktionen
15.1.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen
15.2 Approximation Lebesguemessbarer Funktionen
15.2.1 Einfache Funktionen
15.2.2 Ein Approximationssatz
15.2.3 Aufgaben und Wiederholungsfragen
16.1 Historische Einführung
16.1.1 Lebesgues Zugang durch Unterteilung der Ordinaten
16.1.2 Youngs Zugang nach Riemann-Darboux
16.1.3 Aufgaben
16.1.4 Wiederholungsfragen
16.2 Ein dritter Zugang zum Lebesgueintegral
16.2.1 Das Lebesgueintegral für einfache Funktionen
16.2.2 Das Lebesgueintegral für nichtnegative Funktionen
16.2.3 Das Lebesgueintegral für beliebige Funktionen
16.2.4 Aufgaben und Wiederholungsfragen
16.3 Eigenschaften des Lebesgueintegrals
16.3.1 Das Lebesgueintegral als Maß
16.3.2 Der Satz von der monotonen Konvergenz
16.3.4 Linearität des Lebesgueintegrals
16.3.5 Nichtnegativität, Normiertheit und Dreiecksungleichung
16.3.6 Aufgaben und Wiederholungsfragen
16.4 Die Tschebyschevsche Ungleichung und Folgerungen
16.4.1 Die Tschebyschevsche Ungleichung
16.4.2 Fast überall verschwindende Integranden
16.4.3 Endlichkeit fast überall Lebesgueintegrierbarer Funktionen
16.4.4 Absolutstetigkeit des Lebesguesmaßes
16.4.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen
17 Sätze über Lebesgueintegrierbare Funktionen
17.1 Konvergenzsätze
17.1.1 Fatous Lemma
17.1.2 Satz über majorisierte Konvergenz
17.1.3 Satz über beschränkte Konvergenz
17.1.4 Lebesgueintegral und Riemannintegral
17.1.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen
17.2 Die Sätze von Fubini und Cavalieri
17.2.1 Doppelintegrierbare Funktionen
17.2.2 Das Prinzip des Cavalieri
17.2.3 Der Satz von Fubini
17.2.4 Anwendung: Fläche unterhalb von Graphen
17.2.5 Anwendung: Inhalt von Normalbereichen
17.2.6 Aufgaben und Wiederholungsfragen
17.3 Die Transformationsformel
17.4.1 Die Flächenformel
17.4.2 Anwendung: Die Länge einer Kurve
17.4.3 Anwendung: Zweidimensionale Graphen im R3
17.4.4 Die Transformationsformel
17.4.5 Beispiel: Inhalt der Kreisscheibe
17.4 Lebesgueräume
17.4.1 Definition
17.4.2 Lebesgue-Halbnormen
17.4.3 Der Satz von Fischer und Riesz
17.4.4 Aufgaben und Wiederholungsfragen
18.1 Das Hausdorffmaß
18.1.1 Definition des Hausdorffmaßes
18.1.2 Erste Beispiele
18.1.3 Verhalten unter Skalierung
18.1.4 Verhalten unter Hölder- und Lipschitzabbildungen
18.1.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen
18.2 Die Hausdorffdimension
18.2.1 Definition der Hausdorffdimension
18.2.2 Erste Eigenschaften der Hausdorffdimension
18.2.3 Invarianzeigenschaft der Hausdorffdimension
18.2.4 Aufgaben und Wiederholungsfragen
18.3 Fraktale Mengen
18.3.1 Der Cantorstaub
18.3.2 Fraktale Dimension
18.3.3 Die Cantorsche Mittel-Drittel-Menge
18.3.4 Die Ähnlichkeitsdimension
18.3.5 Die Kochsche Schneeflocke
18.3.6 Weierstraß' nirgends differenzierbare Funktion
18.3.7 Boxdimension und Pegelhöchststände des Rheins
18.3.8 Hilberts flächenfüllende Kurve
18.3.9 Aufgaben und Wiederholungsfragen
Teil VI: Potentialtheorie und Integralsätze
19.1 Klassische Differentialoperatoren
19.1.1 Vektorfelder
19.1.2 Die Divergenz und die Jacobimatrix
19.1.3 Die Rotation
19.1.4 Potentiale und Gradientenfelder
19.1.5 Laplaceoperator und harmonische Funktionen
19.1.6 Aufgaben und Wiederholungsfragen
19.2 Potentiale und Gebietszusammenhang
19.2.1 Zusammenhang und Wegzusammenhang
19.2.2 Sternförmige Gebiete
19.2.3 Existenz von Gradientenfeldern
19.2.4 Aufgaben und Wiederholungsfragen
19.3 Kurvenintegrale
19.3.1 Reguläre Kurven und ihre Parametrisierungen
19.3.2 Definition des Kurvenintegrals
19.3.3 Zusammengesetzte Kurven
19.3.4 Kurvenintegrale über Gradientenfelder
19.3.5 Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen
19.3.6 Pfaffscher Formen
19.3.7 Aufgaben und Wiederholungsfragen
19.4 Flächenintegrale
19.4.1 Flächen und ihre Parametrisierungen
19.4.2 Tangentialraum und Normalenraum
19.4.3 Erste Fundamentalform und Flächeninhalt
19.4.4 Polygonapproximation für Länge und Inhalt
19.4.5 Differential-2-Formen und Flächenintegrale
19.4.6 Das Flächenintegral als Flussintegral
19.4.7 Aufgaben und Wiederholungsfragen
20.1 Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene
20.1.1 Normalbereiche
20.1.2 Vorbereitungen zum Integralsatz
20.1.3 Parametrisierung des Randes
20.1.4 Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene
20.1.5 Der Gaußsche Divergenzsatz
20.1.6 Aufgaben und Wiederholungsfragen
20.2 Der klassische Satz von Stokes
20.2.1 Der klassische Satz von Stokes
20.2.2 Ein Beispiel