AUFGABEN ZUR VORLESUNG ANALYSIS 1


 

 

Übungsblatt 1

 

Aufgabe 1: (Beispiele für Aussagen)

Welche der folgenden Sätze sind Aussagen, welche sind keine Aussagen?

(i) Berlin ist die Hauptstadt der Bundesrepublik Deutschland.
(ii) Alle Studenten sind fleißig.
(iii) Reisen bildet.
(iv) Hat die Vorlesung bereits begonnen?

 

Lösung

 

Aufgabe 2: (Zoglauers Satz mit drei Fehlern)

Analysieren Sie den folgenden Satz. Welche drei Fehler sind gemeint?

Dieser Sats enthält drei Feler.

 

Lösung

 

Aufgabe 3: (Distributivgesetze der Aussagenlogik)

(i) \( a\wedge(b\vee c)\equiv(a\wedge b)\vee(a\wedge c) \)
(ii) \( a\vee(b\wedge c)\equiv(a\vee b)\wedge(a\vee c) \)

 

Lösung

 

Aufgabe 4: (de Morgansche Regeln der Aussagenlogik)

Beweisen Sie die folgenden aussagenlogischen Äquivalenzen:

(i) \( \neg(a\wedge b)\equiv\neg a\vee\neg b \)
(ii) \( \neg(a\vee b)\equiv\neg a\wedge\neg b \)

 

Lösung

 

Aufgabe 5: (Mathematische Aussagen)

Es bezeichne \( \mathbb Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\} \) die Menge der ganzen Zahlen. Schreiben Sie die folgenden Aussagen als logische Formeln. Welche Aussage ist wahr, welche ist falsch?

(i) Es existieren ein \( x\in\mathbb Z \) und ein \( y\in\mathbb Z \) mit \( x+y=0. \)
(ii) Für alle \( x\in\mathbb Z \) existiert ein \( y\in\mathbb Z \) mit \( x+y=0. \)
(iii) Es existiert ein \( x\in\mathbb Z, \) so dass für alle \( y\in\mathbb Z \) gilt \( x+y=0. \)
(iv) Für alle \( x\in\mathbb Z \) und für alle \( y\in\mathbb Z \) gilt \( x+y=0. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 6: (Rechenübung zu den Mengenoperationen)

Gegeben seien eine Grundmenge \( \Omega=\{0,1,2,3,4,5\} \) sowie die Teilmengen \[ A=\{1,2,3\}\,,\quad B=\{2,3,4\}\,. \] Ermitteln Sie \[ \Omega\setminus A,\quad \Omega\setminus B,\quad A\cup B,\quad A\cap B,\quad A\setminus B,\quad B\setminus A. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 7: (Distributivgesetze der Mengenlehre)

Es seien \( A, \) \( B \) und \( C \) drei beliebige Mengen. Beweisen Sie, dass dann gelten:

(i) \( A\cap(B\cup C)=(A\cap C)\cup(A\cap C) \)
(ii) \( A\cup(B\cap C)=(A\cup C)\cap(A\cup C) \)

 

Lösung

 

Aufgabe 8: (de Morgansche Regeln der Mengenlehre)

Es seien \( A \) und \( B \) zwei Mengen, und es sei \( X \) eine Obermenge mit \( A,B\subseteq X. \) Beweisen Sie:

(i) \( X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap(X\setminus B) \)
(ii) \( X\setminus(A\cap B)=(X\setminus A)\cup(X\setminus B) \)

 

Lösung

 

Aufgabe 9: (Potenzmengen)

Bestimmen Sie die Potenzmengen der folgenden Mengen \( M: \)

(i) \( M=\emptyset \) (ii) \( M=\{a\} \)
(iii) \( M=\{a,b\} \) (iv) \( M=\{a,b,c\} \)
(v) \( M={\mathcal P}(\emptyset) \) (vi) \( M={\mathcal P}(\{a\}) \)

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 2

 

Aufgabe 10: (Abbildung von Teilmengen)

Es sei \( f\colon A\to B \) eine Abbildung zwischen den Mengen \( A \) und \( B. \) Weiter seien \( M,N\subseteq A \) zwei Teilmengen von \( A \) mit \( M\subseteq N. \) Beweisen Sie \[ f(M)\subseteq f(N) \] mit \( f(M):=\{b\in B\,:\,\mbox{es gibt ein}\ a\in A\ \mbox{mit}\ f(a)=b\}, \) entsprechend \( f(N). \)

 

Lösung

 

Aufgabe 11: (Injektive und surjektive Abbildungen)

Finden Sie jeweils Beispiele von Mengen \( A, \) \( B \) sowie eine Abbildung \( f\colon A\to B, \) so dass gilt:

(i) \( f \) ist weder injektiv noch surjektiv.
(ii) \( f \) ist injektiv, aber nicht surjektiv.
(iii) \( f \) ist surjektiv, aber nicht injektiv.
(iv) \( f \) ist sowohl injektiv als auch surjektiv.

Geben Sie jeweils eine kurze Begründung.

 

Lösung

 

Aufgabe 12: (Summe der ersten \( n \) natürlichen Zahlen)

Beweisen Sie die explizite Darstellungsformel \[ \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}\,,\quad n\in\mathbb N, \] auf irgendeine anschauliche Art und Weise, insbesondere ohne vollständige Induktion.

 

Lösung

 

Aufgabe 13: (Summe der ersten \( n \) Quadrate)

Bestimmen Sie eine explizite Darstellungsformel für die Summe \[ \sum_{k=1}^nk^2\,,\quad n\in\mathbb N. \] Vorgehensweise: Berechnen Sie zunächst den Ausdruck \( (k+1)^3-k^3, \) und folgern Sie durch geschicktes Summieren \[ (n+1)^3-1=3\cdot(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)+3\cdot(1+2+3+\ldots+n)+n. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 14: (Summenformeln und vollständige Induktion)

Es sei \( n\in\mathbb N \) eine natürliche Zahl. Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion:

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=(1+2+3+\ldots+n)^2 \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=2-\frac{n+2}{2^n} \) (iv) \( \displaystyle\sum_{k=1}^n2^k=2^{n+1}-2 \)

 

Lösung

 

Aufgabe 15: (Teilbarkeitssaussagen und vollständige Induktion)

Beweisen Sie vermittels volltsändiger Induktion:

(i) Es ist \( n^3-6n^2+14n \) für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 3 \) ohne Rest teilbar.
(ii) Es ist \( 5^n+7 \) für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 4 \) ohne Rest teilbar.
(iii) Es ist \( 7^n-2^n \) für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 5 \) ohne Rest teilbar.
(iv) Es ist \( 2n^3+3n^2+n \) für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 6 \) ohne Rest teilbar.
(v) Es ist \( 11^{n+2}+12^{2n+1} \) für alle \( n\in\mathbb N_0 \) durch \( 133 \) ohne Rest teilbar.

 

Lösung

 

Aufgabe 16: (Kommutativgesetz der Addition)

Beweisen Sie das Kommutativgesetz der Addition \[ m+n=n+m\quad\mbox{für alle}\ m,n\in\mathbb N_0\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 17: (Beispiel einer Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen)

Auf der Menge \( \mathbb Z\times\mathbb Z \) sei vermittels \[ m\sim n\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad m^2=n^2 \] eine Relation definiert.

(i) Beweisen Sie, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation darstellt.
(ii) Beschreiben Sie die von \( \sim \) erzeugten Äquivalenzklassen.

 

Lösung

 

Aufgabe 18: (Eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Mengen)

Es sei \( X \) die Menge aller endlichen Teilmengen \( M \) einer unendlichen Obermenge \( N, \) und es bezeichne \( |M| \) die Anzahl der Elemente der Menge \( M\in X. \) Betrachten Sie auf \( X\times X \) die Relation \[ M_1\sim M_2\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad |M_1|=|M_2|\,. \] Beweisen Sie, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation darstellt.

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 3

 

Aufgabe 19: (Satz von Cantor zur Mächtigkeit der Potenzmenge)

Beweisen Sie: Es sei \( A \) eine beliebige, d.h. eine endliche oder unendliche Menge. Dann ist die Potenzmenge \( {\mathcal P}(A) \) mächtiger als \( A. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 20: (Das Dirichletsche Schubfachprinzip)

Beweisen Sie: Es sei \( n\ge 1 \) eine natürliche Zahl. Hat man \( n+1 \) Objekte in \( n \) Schubfächern verteilt, so gibt es mindestens ein Schubfach, in dem zwei oder mehr Objekte liegen.

 

Lösung

 

Aufgabe 21: (1. Schulolympiade 1961/62, Klassenstufe 5, DDR)

Ersetzen Sie die fehlenden Ziffern:

 
\( * \)
\( * \)
\( * \)
\( \cdot \)
\( * \)
\( 2 \)
 
\( * \)
\( 0 \)
\( 8 \)
     
\( * \)
\( 6 \)
\( * \)
       
\( * \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( * \)
   

 

Lösung

 

Aufgabe 22: (1. Schulolympiade 1961/62, Klassenstufe 6, DDR)

Kann die Summe von vier beliebigen, aber aufeinanderfolgenden, positiven, natürlichen Zahlen eine Primzahl sein? Begründen Sie Ihre Antwort.

 

Lösung

 

Aufgabe 23: (2. Schulolympiade 1962/63, Klassenstufe 7, DDR)

Die Summe von \( 9 \) aufeinander folgenden, positiven, natürlichen Zahlen beträgt \( 396. \) Wie lauten die Zahlen?

 

Lösung

 

Aufgabe 24: (1. Schulolympiade 1961/62, Klassenstufe 8, DDR)

Setzen Sie in ein magisches Quadrat mit \( 3\times 3=9 \) Feldern die Zahlen \( 3 \) bis \( 11 \) so ein, dass die Summe jeder Reihe, jeder Spalte und jeder Diagonale \( 21 \) beträgt. Beginnen Sie mit dem Mittelfeld. Begründen Sie Ihre Anordnung der Zahlen.

 

Lösung

 

Aufgabe 25: (Äquivalenzklassen und Äquivalenzrelationen)

Es sei \( \sim \) eine Äquivalenzrelation auf einer Menge \( M, \) und es bezeichne \[ K_a:=\{x\in M\,:\,x\sim a\} \] die zu \( a\in M \) gehörige Äquivalenzklasse. Beweisen Sie, dass für alle \( a,b\in M \) gilt \[ a\sim b\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad K_a=K_b\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 26: (Aufstellen expliziter Summenausdrücke)

Es sei \( n\in\mathbb N. \) Bestimmen Sie explizite Ausdrücke für die folgenden Summen \( S_n. \) Gegen welche Werte konvergieren die \( S_n \) im Grenzfall \( n\to\infty? \)

(i) \( \displaystyle S_n:=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{(n-1)\cdot n} \) für \( n\ge 2 \)
(ii) \( \displaystyle S_n:=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\ldots+\frac{1}{(n-2)\cdot(n-1)\cdot n} \) für \( n\ge 3 \)

 

Lösung

 

Aufgabe 27: (Wohldefiniertheit der Addition und Multiplikation in \( \mathbb Q \))

Für natürliche Zahlen \( k,\ell,m,n\in\mathbb N_0 \) wurden in der Vorlesung die Addition und Multiplikation zwischen rationalen Zahlen erklärt gemäß \[ \begin{array}{l} [(k,\ell)]_{\mathbb Q}+[(m,n)]_{\mathbb Q}:=[(kn+\ell m,\ell n)]_{\mathbb Q}\,, \\ [(k,\ell)]_{\mathbb Q}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Q}:=[(km,\ell n)]_{\mathbb Q}\,. \end{array} \] Beweisen Sie, dass diese Definitionen unabhängig von der Wahl der Repräsentanten der verwendeten Äquivalenzklassen sind.

 

Lösung

 

Aufgabe 28: (Galileis Paradoxon)

Einerseits gibt es weniger Quadratzahlen, d.h. Zahlen der Form \( n^2 \) mit \( n\in\mathbb N, \) als natürliche Zahlen, da alle Quadratzahlen natürlich sind, aber z.B. die Zahl \( 3 \) keine Quadratzahl ist. Andererseits, so argumentierte Galileo Galilei, gibt es „genauso viele“ Quadratzahlen wie natürliche Zahlen. Wie könnte er argumentiert haben? Gibt es einen Widerspruch?

 

Lösung

 

Aufgabe 29: (Bolzanos Paradoxon)

Bernard Bolzano behauptete, dass jedem Punkt des reellen Zahlenintervalls \( [0,5] \) genau ein Punkt des Intervalls \( [0,12] \) zugeordnet werden kann und umgekehrt. Besitzen diese Intervalle also „gleich viele“ Punkte? Wie würden Sie argumentieren? Gibt es einen Widerspruch?

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 4

 

Aufgabe 30: (Vorerst letzte Aufgabe zur vollständigen Induktion)

Beweisen Sie, dass für eine Abbildung \( f\colon\mathbb N\to\mathbb N \) mit der Eigenschaft \[ f(f(n))\lt f(n+1)\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N \] notwendig folgt \[ f(n)=n\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \] Hinweis: Zeigen Sie zunächst induktiv \( f(k)\ge n \) für alle \( k\ge n, \) dann \( f(n)\lt f(n+1) \) für alle \( n\in\mathbb N. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 31: (Folgerungen aus den Körperaxiomen II)

Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie: Für alle \( x\in\mathbb K\setminus\{0\} \) besitzt die Gleichung \[ x\cdot z=y \] die eindeutige Lösung \( z=y\cdot x^{-1}\in\mathbb K. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 32: (Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen)

(i) \( x\lt y \) impliziert \( x+z\lt y+z \) für alle \( x,y,z\in\mathbb K\)
(ii) \( x\lt y \) impliziert \( x\cdot z\lt y\cdot z \) für alle \( x,y,z\in\mathbb K\) mit \( z\gt 0 \)

 

Lösung

 

Aufgabe 33: (Eine schwierige Betragsungleichung)

Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie, dass für alle \( x,y,z\in\mathbb K \) gilt \[ |x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|z+x|+|x+y+z|\ge 0. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 34: (Summen und Produkte)

Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie: Ist \( n\ge 2 \) eine natürliche Zahl, und sind \( x_i\in\mathbb K \) mit \( |x_i|\lt 1 \) für alle \( i=1,\ldots,n, \) so gilt die Ungleichung \[ \sum_{i=1}^nx_i^2\ge n\prod_{i=1}^nx_i\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 35: (Dedekinds Verallgemeinerung)

Beweisen Sie: Ist \( k\in\mathbb N \) keine Quadratzahl, so ist \( \sqrt{k} \) nicht rational.

 

Lösung

 

Aufgabe 36: (Quadratische Ergänzung und mehr in \( \mathbb R \))

Beweisen Sie die Richtigkeit folgender Ungleichungen:

(i) \( 1+x\ge 2\sqrt{x} \) für alle \( x\ge 0 \)
(ii) \( \displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2 \) für alle \( x\gt 0 \)
(iii) \( x^2+y^2\ge 2xy \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(iv) \( 2(x^2+y^2)\ge(x+y)^2 \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(v) \( x^2+y^2\ge 2xy \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(vii) \( \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y} \) für alle \( x,y\gt 0 \)

 

Lösung

 

Aufgabe 37: (Zwei weitere schwierige Abschätzungen in \( \mathbb R \))

(i) \( \displaystyle\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge 8 \) für alle \( x,y\gt 1 \)
(ii) \( \displaystyle\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} \) für alle \( x,y,z\gt 0 \)

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 5

 

Aufgabe 38: (Geometrische Reihen I)

Verifizieren Sie anhand der folgenden Skizze die geometrische Summenformel \[ \sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\,,\quad q\in(0,1). \] Kostenlose Jimdo-Seite erstellen! Hinweis: Verwenden Sie die Ähnlichkeit \( \triangle(PQR)\approx\triangle(TSP). \)

 

Lösung

 

Aufgabe 39: (Geometrische Reihen II)

(i) Bestimmen Sie grafisch den Grenzwert

\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k}\,. \]

  Finden Sie dazu eine geeignete Unterteilung des Einheitsintervalls.
(ii) Wie Aufgabenteil (i), jetzt aber für den Grenzwert

\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{4^k} \]

  anhand folgender Skizze:

Kostenlose Jimdo-Seite erstellen!

 

Lösung

 

Aufgabe 40: (Die Kochsche Schneeflocke)

Betrachten Sie den folgenden iterativen Prozess:

1. Beginne mit einer geraden Strecke der Länge \( 1. \)
2. Ersetze das mittlere Drittel dieser Strecke durch ein gleichseitiges Dreieck (ohne Basis).
3. Wende diese Vorschrift auf die vier neuen Strecken der Länge \( \frac{1}{3} \) an usw.

Diese Vorschrift wird nun auf die drei Seiten der gemeinsamen Länge \( 1 \) eines gleichseitigen Dreiecks angewandt. Die Kochsche Schneeflocke ergibt sich dann als „Grenzfigur nach unendlich vielen Iterationen“. Kostenlose Jimdo-Seite erstellen! Berechnen Sie Umfang und eingeschlossenen Inhalt der Kochschen Schneeflocke.

 

Lösung

 

Aufgabe 41: (Äquivalenzrelation der reellen Zahlen)

Beweisen Sie, dass die aus der Vorlesung bekannte Relation \( \sim_{\mathbb R} \) eine Äquivalenzrelation darstellt.

 

Lösung

 

Aufgabe 42: (Zum Rechnen mit rationalen Cauchyfolgen)

Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \) zwei rationale Cauchyfolgen. Beweisen Sie, dass dann auch \[ \{x_n+y_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\mbox{und}\quad\{x_n\cdot y_n\}_{n=1,2,\ldots} \] rationale Cauchyfolgen darstellen.

 

Lösung

 

Aufgabe 43: (Inverse Elemente)

Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \) äquivalente, rationale Cauchyfolgen, die beide keine Nullfolgen sind und sogar erfüllen \[ x_n\not=0\quad\mbox{und}\quad y_n\not=0\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \]

(i) Beweisen Sie, dass dann auch

\[ \{x_n^{-1}\}_{n=1,2,\ldots}\quad\mbox{und}\quad\{y_n^{-1}\}_{n=1,2,\ldots} \]

  rationale Cauchyfolgen darstellen.
(ii) Beweisen Sie ferner, dass gilt

\[ \{x_n^{-1}\}_{n=1,2,\ldots}\sim_{\mathbb R}\{y_n^{-1}\}_{n=1,2,\ldots} \]

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 6

 

Aufgabe 44: (Ungleichungen elementarer Terme)

Zeigen Sie:

(i) Für alle \( n,k\in\mathbb N_0 \) gilt

\[ \binom{n}{k}\le\frac{n^k}{k!}\,. \]

(ii) Für alle natürlichen Zahlen \( n\ge 5 \) gilt

\[ n^2\lt 2^n\lt n!\lt n^n \,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 45: (Zum Cauchyschen Vollständigkeitskriterium)

Betrachten Sie die rekursiv gegebene Zahlenfolge \[ \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \quad\mbox{mit}\quad a_1:=1,\ a_{n+1}:=1+\frac{1}{1+a_n}\ \mbox{für alle}\ n\gt 1. \]

(i) Berechnen Sie die Glieder \( a_2, \) \( a_3, \) \( a_4 \) und \( a_5. \)
(ii) Beweisen Sie, dass \( 1\le a_n\le 2 \) für alle \( n\in\mathbb N. \)
(iii) Folgern Sie damit, dass ein \( q\in(0,1) \) existiert mit

\[ |a_{n+1}-a_n|\le q^{n-1}|a_2-a_1|\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots, \]

  und dass \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots} \) somit eine Cauchyfolge in \( \mathbb Q \) ist, die in \( \mathbb R \) konvergiert.
(iv) Wie lautet ihr Grenzwert?

 

Lösung

 

Aufgabe 46: (Häufungsstellen von Zahlenfolgen II)

Bestimmen Sie die Häufungsstellen der folgenden Zahlenfolgen.

(i) \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle a_n:=(-1)^{\frac{1}{2}n(n+1)} \)
(ii) \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle b_n:=(-1)^n\,\frac{n}{n+1} \)
(iii) \( \{c_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle c_n:=\frac{(-1)^nn^2}{(2n+3)^2} \)
(iv) \( \{d_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle d_n:=(-1)^{n+1}\,\frac{6n^2+17n}{5n^3+7} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 47: (Bestimmung von Grenzwerten II)

Entscheiden Sie, ob die folgenden Zahlenfolgen konvergieren oder divergieren, und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.

(i) \( \displaystyle\left\{\frac{1}{n^k}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( k\in\mathbb N \) (ii) \( \displaystyle\left\{\frac{5n^4+n^3}{3n^4+n^2}\right\}_{n=1,2,\ldots} \)
(iii) \( \displaystyle\left\{\frac{n^7+n^6-3}{n(1+n^2-6n^6)}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) (iv) \( \displaystyle\left\{\frac{n^3+7n}{n^4+4n^2-1}\right\}_{n=1,2,\ldots} \)
(v) \( \displaystyle\Big\{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\,\Big\}_{n=1,2,\ldots} \) (vi) \( \displaystyle\left\{-n+\sqrt{1+n+n^2}\right\}_{n=1,2,\ldots} \)
(vii) \( \displaystyle\left\{a^{-n}n^k\right\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( k\in\mathbb N \) und \( a\gt 1 \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 48: (Vergleichseigenschaften von Zahlenfolgen)

Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) konvergente Zahlenfolgen mit \[ x=\lim_{n\to\infty}x_n\quad\mbox{und}\quad y=\lim_{n\to\infty}y_n\,. \] Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(i) Gilt

\[ x_n\le y_n\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N,\ \mbox{so ist}\quad x\le y. \]

  Die analoge Aussage mit „\( \lt \)“ anstelle von \( \le \) ist jedoch falsch.
(ii) Ist \( \{z_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) irgendeine Zahlenfolge mit den Eigenschaften

\[ x_n\le z_n\le y_n\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N,\quad\mbox{und gilt}\quad x=y, \]

  so konvergiert \( \{z_n\}_{n=1,2,\ldots} \) gegen \( x. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 49: (Beweisaufgaben zu Nullfolgen)

Beweisen Sie:

(i) Sind \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine Nullfolge und \( c\in\mathbb R, \) so ist auch

\[ \{c\cdot a_n\}_{n=1,2,\ldots} \]

  eine Nullfolge.
(ii) Gibt es eine Nullfolge \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit

\[ |a_n|\le|b_n|\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots, \]

  so ist auch \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine Nullfolge.

 

Lösung

Aufgabe 50: (Bestimmung von Grenzwerten III)

Untersuchen Sie die Folgen \[ \{q^n\}_{n=1,2,\ldots} \] mit fest gewähltem \( q\in\mathbb R\setminus\{0\} \) auf Konvergenz.

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 7

 

Aufgabe 51: (Bestimmen von Teilfolgen)

Betrachte Sie die Zahlenfolge \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R\quad\mbox{mit}\quad x_n:=\frac{3n}{(-2)^n}\,. \]

(i) Beweisen Sie, dass \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine Nullfolge ist.
(ii) Bestimmen Sie eine streng monoton fallende und eine streng monoton wachsende Teilfolge.

 

Lösung

 

Aufgabe 52: (Monotone Zahlenfolgen I)

Betrachten Sie die Zahlenfolge \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \quad\mbox{mit}\quad x_n:=\frac{3n-1}{n^2}\,. \]

(i) Bestimmen Sie, ob die Folge monoton fallend oder monoton wachsend ist.
(ii) Bestimmen Sie ein \( C\in\mathbb R \) mit \( |x_n|\le C \) für alle \( n=1,2,\ldots \)
(iii) Begründen Sie mit einem Satz aus der Vorlesung, dass die Folge konvergiert. Wie lautet ihr Grenzwert?

 

Lösung

 

Aufgabe 53: (Monotone Zahlenfolgen II)

Betrachten Sie die Zahlenfolge \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \quad\mbox{mit}\quad x_n:=-1+\left(\frac{1}{7}\right)^n\,. \]

(i) Bestimmen Sie, ob die Folge monoton fallend oder monoton wachsend ist.
(ii) Bestimmen Sie ein \( C\in\mathbb R \) mit \( |x_n|\le C \) für alle \( n=1,2,\ldots \)
(iii) Begründen Sie mit einem Satz aus der Vorlesung, dass die Folge konvergiert. Wie lautet ihr Grenzwert?

 

Lösung

 

Aufgabe 54: (Infimum und Supremum von Mengen II)

Ermitteln Sie jeweils Infimum und Supremum der Mengen \( A \) und \( B. \) Entscheiden Sie, ob es sich sogar um ein Minimum bzw. ein Maximum handelt.

(i) \( A:=\big\{x\in\mathbb R\,:\,x^2\lt x+1\big\} \)
(ii) \( \displaystyle B:=\left\{\frac{2n+3}{3-4n}\,:\,n\in\mathbb N\right\} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 55: (Infimum und Supremum von Mengen II)

Geben Sie (ohne Beweis)

(i) eine abzählbare Menge \( C\subset\mathbb R \)
(ii) eine überabzählbare Menge \( C\subset\mathbb R \)

an, jeweils mit den vier Eigenschaften \[ 0\in C,\quad 1\not\in C,\quad \inf C=0,\quad \sup C=1. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 56: (Addition und Multiplikation komplexer Zahlen)

Beweisen Sie, dass für alle komplexen Zahlen \( z_1, \) \( z_2 \) und \( z_3 \) gelten:

(i) \( (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3) \)
(ii) \( z_1+z_2=z_2+z_1 \)
(iii) \( (z_1\cdot z_2)\cdot z_3=z_1\cdot(z_2\cdot z_3) \)
(iv) \( z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1 \)
(v) \( (z_1+z_2)\cdot z_3=z_1\cdot z_3+z_2\cdot z_3 \)

Verwenden Sie dazu die Definition komplexer Zahlen als Zahlenpaare \( z=(x,y) \) mit \( x,y\in \mathbb R \) und die zugehörigen arithmetischen Operationen der Addition und Multiplikation.

 

Lösung

 

Aufgabe 57: (Inverse komplexer Zahlen)

Es seien \( z=(x,y)\in\mathbb C\setminus\{0_{\mathbb C}\} \) und \[ z^{-1}:=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2}\right). \]

(i) Verfizieren Sie \( z\cdot z^{-1}=z^{-1}\cdot z=1_{\mathbb C}\,. \)
(ii) Berechnen Sie die multiplikativen Inversen von \( z_1=(1,0), \) \( z_2=(0,1), \) und \( z_3=(1,7). \)

 

Lösung

 

Aufgabe 58: (Bestimmen von Real- und Imaginärteil)

Finden Sie alle reellen Zahlen \( x, \) \( y \) mit \[ -x+4iy+3ix-2y=-6i+4. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 59: (Vereinfachen komplexer Zahlen I)

Die folgenden komplexen Zahlen sind in die Form \( x+iy \) zu bringen.

(i) \( \displaystyle z=i(2-3i)^2(1+i) \)
(ii) \( \displaystyle z=\frac{1}{i} \)
(iii) \( \displaystyle z=\frac{1+2i}{3-i} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 60: (Potenzen der komplexen Einheit I)

Ausgehend von \( i^2=-1, \) \( i^3=i^2\cdot i=(-1)\cdot i=-i \) usw. sind zu ermitteln \[ i^4\,,\quad i^5\,,\quad i^6\,,\quad i^7\,,\quad i^8\,. \] Welche Regelmäßigkeit erkennen Sie für die Potenzen \( i^n, \) \( n=1,2,3,\ldots? \)

 

Lösung

 

Aufgabe 61: (Potenzen komplexer Zahlen II)

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke.

(i) \( \displaystyle z_1=2+5i+8i^2+9i^3+6i^7 \)
(ii) \( \displaystyle z_2=i^{10}+i^{14}-i^{18}+(-i)^{23} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 62: (Potenzen komplexer Zahlen III)

Ausgehend von \[ \frac{1}{i}=\frac{i^4}{i}=i^3=-i \quad\mbox{und daher}\quad i^{-n}=(i^{-1})^n=\left(\frac{1}{i}\right)^n=(-i)^n=(-1)^ni^n \] für \( n=1,2,3,\ldots \) sind die folgenden Ausdrücke zu vereinfachen:

(i) \( \displaystyle z_1=3i^{-5}+6i^{12}-i^{17} \)
(ii) \( \displaystyle z_2=17i^{-11}+5i^{-6}+1+4i^6 \)

 

Lösung

 

Aufgabe 63: (Betrag und komplexe Konjugation)

Beweisen Sie, dass für alle komplexen Zahlen \( z, \) \( z_1 \) und \( z_2 \) gelten:

(i) \( |z|\ge 0, \) wobei \( |z|=0 \) genau dann, wenn \( z=0 \)
(ii) \( z\cdot\overline{z}=|z|^2 \)
(iii) \( \overline{z_1+z_2}=\overline z_1+\overline z_2 \)
(iv) \( |z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2| \)

Verwenden Sie dabei die Darstellung \( z=x+iy. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 64: (Elementargeometrisches in der komplexen Ebene)

Bestimmen Sie \( z\in\mathbb C \) so, dass die komplexen Zahlen \( 1, \) \( 2+i \) und \( z \) in der komplexen Zahlenebene ein gleichseitiges Dreieck bilden.

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 8

 

Aufgabe 65: (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Reellen)

(i) Formulieren und beweisen Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung in \( \mathbb R^2. \)
(ii) Formulieren und beweisen Sie durch vollständige Induktion die Cauchy-Schwarz-Ungleichung in \( \mathbb R^n. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 66: (Der \( 1 \)-Trick)

Es seien \( a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R. \) Beweisen Sie die Ungleichung \[ a_1+a_2+\ldots+a_n\le\sqrt{n}\cdot\left(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2\right)^\frac{1}{2}\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 67: (Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

Es seien \( \{w_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) und \( \{z_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) gegeben mit \[ \sum_{k=1}^\infty|w_k|^2\lt\infty\,,\quad \sum_{k=1}^\infty|z_k|^2\lt\infty\,. \] Beweisen Sie, dass dann die komplexwertige Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty w_k\overline z_k \) absolut konvergiert, d.h. \[ \sum_{k=1}^\infty|w_k||\overline z_k|\lt\infty\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 68: (Anwendung des Cauchyschen Konvergenzkriteriums)

Beweisen Sie unter Anwendung des Cauchyschen Konvergenzkriteriums, dass die harmonische Reihe \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots \] divergiert.

 

Lösung

 

Aufgabe 69: (Die geometrische Reihe in \( \mathbb C \))

Beweisen Sie: Für alle \( z\in B:=\{z\in\mathbb C\,:\,|z|\lt 1\} \) konvergiert die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty z^k, \) und es gilt \[ \sum_{k=0}^\infty z^k=\frac{1}{1-z}\,. \] Für alle \( z\in\mathbb C \) mit \( |z|\ge 1 \) divergiert hingegen die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty z^k. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 70: (Reellwertige geometrische Reihen)

Betrachten Sie die folgenden geometrischen Reihen:

(i) \( \displaystyle 2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\ldots \)
(ii) \( \displaystyle\frac{7}{3}+\frac{7}{30}+\frac{7}{300}+\frac{7}{3000}+\ldots \)
(iii) \( \displaystyle\frac{3}{2}+\frac{3}{8}+\frac{3}{32}+\frac{3}{128}+\ldots \)
(iv) \( \displaystyle\frac{5}{3}+\frac{5}{24}+\frac{5}{192}+\frac{5}{1536}+\ldots \)

Um welche geometrischen Reihen handelt es sich genau? Berechnen Sie ihre Werte.

 

Lösung

 

Aufgabe 71: (Anwendung des Majorantenkriteriums)

Beweisen Sie mit Hilfe des Majorantenkriteriums, dass folgende Reihen konvergieren.

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+1} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{2k-1}{2k^3+k^2+2k+1} \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3k^4+k^3+7k^2-k-1} \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 72: (Beweis des Minorantenkriteriums)

Beweisen Sie das Minorantenkriterium: Die Folgen \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R, \) \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) genügen \[ 0\le b_n\le a_n\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \] Divergiert nun die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty b_k, \) so divergiert auch \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 73: (Anwendung des Minorantenkriteriums)

Verifizieren Sie mit Hilfe des Minorantenkriteriums, dass die folgenden Reihen divergieren.

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3k-1} \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3k}{k+2} \) (iv) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k+1}{k(k+1)} \)
(v) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{n^2+2n}{5n^2+3n+7} \) (vi) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \)
(vii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\left(-k+\sqrt{k^2+1}\right) \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 74: (Teleskopreihen I)

Unter einer Teleskopreihe versteht man eine Reihe der Form \[ \sum_{k=1}^\infty(a_k-a_{k+1})=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4)+\ldots \]

(i) Bestimmen Sie den Wert der Reihe

\[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)}\,, \]

  indem Sie zunächst eine explizite Formel für die Partialsummen finden (Partialbruchzerlegung) und dann den Grenzwert bilden.
(ii) Folgern Sie, dass die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} \) konvergiert.

 

Lösung

 

Aufgabe 75: (Teleskopreihen II)

Untersuchen Sie, ob folgende Reihen konvergieren. Geben Sie gegebenenfalls ihre Werte an.

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{4k^2-1} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+3k+2} \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\Big\{(k+1)^{k+1}-k^k\Big\} \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 76: (Leibnizkriterium und die Reihe von Catalan)

Bereits E.C. Catalan wies anhand des folgenden Beispiels \[ \frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{4}-1}-\frac{1}{\sqrt{4}+1}\pm\ldots \] darauf hin, dass für das Leibnizsche Konvergenzkriterium für Reihen die Monotonievoraussetzung wesentlich ist. Diskutieren Sie Catalans Beispiel.

 

Lösung

 

Aufgabe 77: (Anwendung des Wurzelkriteriums)

Untersuchen Sie mittels des Wurzelkriteriums die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{2^k}{3^{2k}} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\left(1-\frac{1}{k}\right)^{k^2} \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(5k^2+2)^n}{(7k)^{2k}} \) (iv) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3^k+5^{k+3}}{7\cdot 13^k} \)
(v) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3k^k}{5^kk!} \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 78: (Anwendung des Quotientenkriteriums)

Untersuchen Sie mittels des Quotientenkriteriums die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(2k+1)!}{(3k)!} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^k} \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k^4}{7^k} \) (iv) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{\sqrt{1+\frac{1}{k}}}{k} \)
(v) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{2^k}{(k+1)!} \) (vi) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3^k(k+1)!(k+2)!}{(2k)!} \)
(vii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k!}{8^k} \) (viii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{5^{3k}}{(k^2+2)!} \)
(ix) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{\binom{k}{2}}{k^2} \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 79: (Geometrische Reihe als Majorante)

Beweisen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren. Benutzen Sie in Aufgabenteil (i) die geometrische Reihe als Majorante.

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+1} \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k+1}{k^3+2k^2+k+1} \)    

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 9

 

Aufgabe 80 (Variationen der alternierenden harmonischen Reihe)

Die alternierende harmonische Reihe \[ S:=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots \] konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium gegen \( \ln 2 \) ( \( \ln \) natürlicher Logarithmus).

(i) Zeigen Sie zunächst durch Summieren geeigneter Anfangsglieder der Reihe

\[ \frac{1}{2}\lt S\lt\frac{5}{6}\,. \]

(ii) Betrachten Sie nun die Umordnung

\[ S=\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}\right)+\ldots \]

  Zeigen Sie, dass der Wert dieser Umordnung echt größer ist als \( \frac{5}{6}. \)

Wir kommen zurück zur Definition von \( S: \) Gliedweise Division durch \( 2 \) ergibt \[ \frac{S}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\ldots, \] womit folgt \[ \begin{array}{lll} \displaystyle S+\frac{S}{2}\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\ldots\right) \\ & = & \negthickspace\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\ldots \\ & = & \negthickspace\displaystyle 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\ldots \end{array} \] Das stimmt aber mit der Umordnung aus (ii) überein.

(iii) Folgern Sie

\[ S=S+\frac{S}{2}=\frac{3S}{2}\quad\mbox{bzw.}\quad S=0. \] Was geht hier schief?

 

Lösung

 

Aufgabe 81: (Cauchyprodukt reeller Potenzreihen)

Gegeben seien die Potenzreihen \[ P_1(x):=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k^k} \quad\mbox{und}\quad P_2(x):=\sum_{k=1}^\infty\frac{k(-1)^k}{2^k}\,x^k \quad\mbox{für}\ x\in\mathbb R. \]

(i) Für welche \( x\in\mathbb R \) konvergieren \( P_1 \) und \( P_2? \) Liegt absolute Konvergenz vor?
(ii) Bestimmen Sie das Cauchyprodukt \( P_1P_2. \) Geben Sie die ersten fünf Koeffizienten dieses Produktes an.
(iii) Geben Sie ein Intervall \( (a,b) \) an, so dass für alle \( x\in(a,b) \) das Cauchyprodukt absolut konvergiert.

 

Lösung

 

Aufgabe 82: (Bestimmung von Konvergenzradien II)

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden komplexen Potenzreihen.

(i) \( z+4z^2+27z^3+256z^4+3125z^5+\ldots \)
(ii) \( \displaystyle 1+\frac{2}{1}\,z+\frac{4}{2}\,z^2+\frac{8}{6}\,z^3+\frac{16}{24}\,z^4+\frac{32}{120}\,z^5+\ldots \)

 

Lösung

 

Aufgabe 83: (Bestimmung reeller Konvergenzbereiche)

Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R, \) für die die folgenden reellen Potenzreihen konvergieren.

\( \displaystyle \mbox{(i)}\ \ \sum_{k=0}^\infty x^k \qquad \mbox{(ii)}\ \ \sum_{k=0}^\infty x^{2k} \qquad \mbox{(iii)}\ \ \sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k} \qquad \mbox{(iv)}\ \ \sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k^2} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 84: (Reihen mit Konvergenzradius gleich Null)

Finden Sie eine komplexe Potenzreihe, welche den Konvergenzradius \( R=0 \) besitzt, d.h. die nur in \( z=0 \) konvergiert.

 

Lösung

 

Aufgabe 85: (Beispiele stetiger Funktionen)

Beweisen Sie, dass die folgenden Funktionen stetig in den angegebenen Definitionsbereichen sind.

(i) \( f(x)=2x+5, \) \( x\in\mathbb R \)
(ii) \( f(x)=x^2, \) \( x\in\mathbb R \)
(iii) \( f(x)=\sqrt{x}, \) \( x\in[0,\infty) \)

 

Lösung

 

Aufgabe 86: (Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit)

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit in den angegebenen Definitionsbereichen.

(i) \( f(x)=\sqrt{x}, \) \( x\in[0,1] \)
(ii) \( f(x)=x^2, \) \( x\in[-1,1] \)
(iii) \( f(x)=x^2, \) \( x\in\mathbb R \)
(iv) \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x}, \) \( x\in(0,1] \)

 

Lösung

 

Aufgabe 87: (Beispiel zur Stetigkeit)

Betrachten Sie die Funktion \[ f\colon\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{x^4-5x^2+4}{x^2-1}\,, & \mbox{falls}\ x\in\mathbb R\setminus\{-1,+1\} \\ \alpha, & \mbox{falls}\ x=-1 \\ \beta, & \mbox{falls}\ x=1 \end{array} \right.. \] Bestimmen Sie \( \alpha\in\mathbb R \) und \( \beta\in\mathbb R, \) so dass \( f(x) \) in \( \mathbb R \) stetig ist.

 

Lösung

 

Aufgabe 88: (Lipschitzstetige Funktionen sind gleichmäßig stetig)

Es sei \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) Lipschitzstetig, d.h. mit einer Zahl \( L\in[0,\infty) \) gilt \[ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass \( f(x) \) in \( \mathbb R \) gleichmäßig stetig ist.

 

Lösung

 

Aufgabe 89: (Abschätzung durch den Absolutbetrag)

Vorgelegt sei eine Funktion \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) mit der Eigenschaft \[ |f(x)|\le|x|\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass \( f(x) \) in \( x_0=0 \) stetig ist.

 

Lösung

 

Aufgabe 90: (Gleichheit stetiger Funktionen)

Es seien \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft \[ f(x)=g(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb Q. \] Beweisen Sie, dass dann gilt \[ f(x)=g(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 91: (Verknüpfung stetiger Funktionen)

Es seien \( f,g\colon D\to\mathbb R \) in \( x_0\in D \) stetig, und es sei \( \lambda\in\mathbb R. \) Beweisen Sie, dass dann ebenfalls in \( x_0\in D \) stetig sind:

(i) \( (f+g)(x):=f(x)+g(x) \)
(ii) \( (\lambda f)(x):=\lambda f(x) \)
(iii) \( (fg)(x):=f(x)g(x) \)
(iv) \( \left(\frac{f}{g}\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}, \) wobei \( g\not=0 \) in \( D \)

 

Lösung

 

Aufgabe 92: (Stetigkeit von Verkettungen)

Sei \( f\colon D\to E\subseteq\mathbb R \) stetig in \( x_0\in D, \) und sei \( g\colon E\to\mathbb R \) stetig in \( y_0:=f(x_0). \) Zeigen Sie, dass dann auch die Verkettung \[ h(x):=g\circ f(x)=g(f(x)),\quad x\in D, \] stetig in \( x_0\in D. \)

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 10

 

Aufgabe 93 (Nicht lösbare Funktionalgleichungen)

Zeigen Sie, dass es keine Funktionen \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) gibt, die eine der folgenden Bedingungen erfüllen:

(i) \( f(x)+g(y)=x\cdot y \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(ii) \( f(x)\cdot g(y)=x+y \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)

 

Lösung

 

Aufgabe 94: (Eigenschaften differenzierbarer Funktionen)

Seien \( \lambda,\mu\in\mathbb R \) und \( f,g\colon D\to\mathbb R \) in \( x_0\in D\subseteq\mathbb R \) differenzierbar. Beweisen Sie, dass dann ebenfalls in \( x_0\in D \) differenzierbar sind:

(i) Die Linearkombination \( h(x):=\lambda f(x)+\mu g(x) \) mit der Ableitung

\[ h'(x_0)=\lambda f'(x_0)+\mu g'(x_0). \]

(i) Das Produkt \( h(x):=f(x)g(x) \) mit der Ableitung

\[ h'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0). \]

(i) Falls \( g(x)\not=0 \) in \( D, \) auch der Quotient \( h(x):=\frac{f(x)}{g(x)} \) mit der Ableitung

\[ h'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g(x_0)^2}\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 95: (Beweis der Kettenregel)

Beweisen Sie: Sind \( f\colon D\to E \) in \( x_0\in D\subseteq\mathbb R \) und \( g\colon E\to\mathbb R \) in \( y_0:=f(x_0)\in E\subseteq\mathbb R \) differenzierbar, so ist auch \[ h=g\circ f\quad\mbox{vermöge}\quad h(x):=g\circ f(x)=g(f(x)),\quad x\in D, \] in \( x_0\in D \) differenzierbar.

 

Lösung

 

Aufgabe 96: (Technik des Differenzierens)

Differenzieren Sie die folgenden Funktionen unter Verwendung der bekannten Rechenregeln (Summenregel, Produktregel usw.):

\( \circ \) \( f(x)=x^5-5x^4+6x-2 \)
\( \circ \) \( f(x)=2x^3-5x-3\sin x+\sin\frac{\pi}{8} \)
\( \circ \) \( \displaystyle f(x)=\frac{x^3-2x-4}{x^2-1} \)
\( \circ \) \( \displaystyle f(x)=\tan x:=\frac{\sin x}{\cos x} \)
\( \circ \) \( f(x)=(2x^3-3x+4\sin x)^7 \)
\( \circ \) \( f(x)=x^3\sin x \)
\( \circ \) \( f(x)=(x^4+4x)\cos x \)
\( \circ \) \( \displaystyle f(x)=\frac{x^2-\sin(x^2+1)}{2+\cos x} \)
\( \circ \) \( \displaystyle f(x)=\cot x:=\frac{\cos x}{\sin x} \)
\( \circ \) \( f(x)=(3x^2+1)\sin^2(x^3+3x^2-8) \)

 

Lösung

 

Aufgabe 97: (Ableitung des natürlichen Logarithmus und logarithmische Ableitung)

(i) Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion

\[ \frac{d}{dx}\,\ln x=\frac{1}{x}\,,\quad x\in(0,\infty). \]

(ii) Beweisen Sie, dass für differenzierbare Funktionen \( f\colon(0,\infty)\to\mathbb R \) gilt

\[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\,. \]

(iii) Berechnen Sie unter Verwendung der Regel aus (ii) die Ableitung von
  \( \circ\quad f(x)=(1+x)(1+e^{x^2}) \)
  \( \circ\quad g(x)=(\sin x)^{\cos x}\cdot(\cos x)^{\sin x} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 98: (Regularisierung stetiger Funktionen)

Seien zwei Funktionen \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) gegeben mit \[ f(x)=x\cdot g(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in \mathbb R, \] und sei \( g(x) \) stetig im Punkt \( x_0=0. \)

(i) Zeigen Sie, dass \( f(x) \) in \( x_0=0 \) differenzierbar ist. Bestimmen Sie \( f'(0). \)

Es sei nun \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) differenzierbar in \( x_0=0, \) und es gelte \( f(0)=0. \)

(ii) Zeigen Sie, dass ein \( g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) existiert mit

\[ \begin{array}{l} g(x)\ \mbox{ist stetig in}\ x_0=0\quad\mbox{und} \\ f(x)=x\cdot g(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \end{array} \]

 

Lösung

 

Aufgabe 99: (Definitheit, Stetigkeit und Differenzierbarkeit )

Die Funktionen \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) genügen in einer Umgebung von \( x_0=0 \) den Beziehungen \[ f(x)g(x)=x\quad\mbox{sowie}\quad f(0)=g(0)=0. \]

(i) Beweisen Sie, dass \( f(x) \) und \( g(x) \) im Nullpunkt nicht beide differenzierbar sind.
(ii) Sind \( f(x) \) und \( g(x) \) in \( x_0=0 \) stetig, so sind weder \( f(x) \) noch \( g(x) \) in \( x_0=0 \) differenzierbar.

 

Lösung

 

Aufgabe 100: (Zum Satz von Rolle)

Betrachten Sie die zusammengesetzte Funktion \[ f(x):=\left\{ \begin{array}{cl} x & \mbox{für}\ 0\le x\lt 1 \\ 0 & \mbox{für}\ x=1 \end{array}\right. \quad\mbox{mit}\quad f(0)=f(1)=0. \] Ist der Satz von Rolle anwendbar? Begründen Sie.

 

Lösung