AUFGABEN ZUR VORLESUNG ANALYSIS 1


 

 

Übungsblatt 1

 

Aufgabe 1: (Beispiele für Aussagen)

 

 

Aufgabe 2: (Zoglauers Satz mit drei Fehlern)

 

 

Aufgabe 3: (Distributivgesetze der Aussagenlogik)

 

 

Aufgabe 4: (de Morgansche Regeln der Aussagenlogik)

 

 

Aufgabe 5: (Mathematische Aussagen)

 

 

Aufgabe 6: (Rechenübung zu den Mengenoperationen)

 

 

Aufgabe 7: (Distributivgesetze der Mengenlehre)

 

 

Aufgabe 8: (de Morgansche Regeln der Mengenlehre)

 

 

Aufgabe 9: (Potenzmengen)

 

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 2

 

Aufgabe 10: (Abbildung von Teilmengen)

 

Aufgabe 11: (Injektive und surjektive Abbildungen)

 

Aufgabe 12: (Summe der ersten \( n \) natürlichen Zahlen)

 

Aufgabe 13: (Summe der ersten \( n \) Quadrate)

 

Aufgabe 14: (Summenformeln und vollständige Induktion)

 

Aufgabe 15: (Teilbarkeitssaussagen und vollständige Induktion)

Beweisen Sie vermittels volltsändiger Induktion:

(i) Es ist \( n^3-6n^2+14n \) für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 3 \) ohne Rest teilbar.
(ii) Es ist \( 5^n+7 \) für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 4 \) ohne Rest teilbar.
(iii) Es ist \( 7^n-2^n \) für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 5 \) ohne Rest teilbar.
(iv) Es ist \( 2n^3+3n^2+n \) für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 6 \) ohne Rest teilbar.
(v) Es ist \( 11^{n+2}+12^{2n+1} \) für alle \( n\in\mathbb N_0 \) durch \( 133 \) ohne Rest teilbar.

 

Lösung

 

Aufgabe 16: (Kommutativgesetz der Addition)

Beweisen Sie das Kommutativgesetz der Addition \[ m+n=n+m\quad\mbox{für alle}\ m,n\in\mathbb N_0\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 17: (Beispiel einer Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen)

 

Aufgabe 18: (Eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Mengen)

 


 

 

Übungsblatt 3

 

Lösung 19: (Satz von Cantor zur Mächtigkeit der Potenzmenge)

 

Lösung 20: (Das Dirichletsche Schubfachprinzip)

 

Lösung 21: (1. Schulolympiade 1961/62, Klassenstufe 5, DDR)

 

Lösung 22: (1. Schulolympiade 1961/62, Klassenstufe 6, DDR)

 

Lösung 23: (2. Schulolympiade 1962/63, Klassenstufe 7, DDR)

 

Lösung 24: (1. Schulolympiade 1961/62, Klassenstufe 8, DDR)

 

Lösung 25: (Äquivalenzklassen und Äquivalenzrelationen)

 

Lösung 26: (Aufstellen expliziter Summenausdrücke)

 

Lösung 27: (Wohldefiniertheit der Addition und Multiplikation in \( \mathbb Q \))

 

Lösung 28: (Galileis Paradoxon)

 

Lösung 29: (Bolzanos Paradoxon)

 


 

 

Übungsblatt 4

 

Aufgabe 30: (Vorerst letzte Aufgabe zur vollständigen Induktion)

 

Aufgabe 31: (Folgerungen aus den Körperaxiomen II)

Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie: Für alle \( x\in\mathbb K\setminus\{0\} \) besitzt die Gleichung \[ x\cdot z=y \] die eindeutige Lösung \( z=y\cdot x^{-1}\in\mathbb K. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 32: (Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen)

(i) \( x\lt y \) impliziert \( x+z\lt y+z \) für alle \( x,y,z\in\mathbb K\)
(ii) \( x\lt y \) impliziert \( x\cdot z\lt y\cdot z \) für alle \( x,y,z\in\mathbb K\) mit \( z\gt 0 \)

 

Lösung

 

Aufgabe 33: (Eine schwierige Betragsungleichung)

 

Aufgabe 34: (Summen und Produkte)

 

Aufgabe 35: (Dedekinds Verallgemeinerung)

 

Aufgabe 36: (Quadratische Ergänzung und mehr in \( \mathbb R \))

 

Aufgabe 37: (Zwei weitere schwierige Abschätzungen in \( \mathbb R \))

 


 

 

Übungsblatt 5

 

Aufgabe 38: (Geometrische Reihen I)

 

Aufgabe 39: (Geometrische Reihen II)

 

Aufgabe 40: (Die Kochsche Schneeflocke)

 

Aufgabe 41: (Äquivalenzrelation der reellen Zahlen)

 

Aufgabe 42: (Zum Rechnen mit rationalen Cauchyfolgen)

Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \) zwei rationale Cauchyfolgen. Beweisen Sie, dass dann auch \[ \{x_n+y_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\mbox{und}\quad\{x_n\cdot y_n\}_{n=1,2,\ldots} \] rationale Cauchyfolgen darstellen.

 

Lösung

 

Aufgabe 43: (Inverse Elemente)

Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \) äquivalente, rationale Cauchyfolgen, die beide keine Nullfolgen sind und sogar erfüllen \[ x_n\not=0\quad\mbox{und}\quad y_n\not=0\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \]

(i) Beweisen Sie, dass dann auch

\[ \{x_n^{-1}\}_{n=1,2,\ldots}\quad\mbox{und}\quad\{y_n^{-1}\}_{n=1,2,\ldots} \]

  rationale Cauchyfolgen darstellen.
(ii) Beweisen Sie ferner, dass gilt

\[ \{x_n^{-1}\}_{n=1,2,\ldots}\sim_{\mathbb R}\{y_n^{-1}\}_{n=1,2,\ldots} \]

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 6

 

Aufgabe 44: (Ungleichungen elementarer Terme)

Zeigen Sie:

(i) Für alle \( n,k\in\mathbb N_0 \) gilt

\[ \binom{n}{k}\le\frac{n^k}{k!}\,. \]

(ii) Für alle natürlichen Zahlen \( n\ge 5 \) gilt

\[ n^2\lt 2^n\lt n!\lt n^n \,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 45: (Zum Cauchyschen Vollständigkeitskriterium)

Betrachten Sie die rekursiv gegebene Zahlenfolge \[ \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \quad\mbox{mit}\quad a_1:=1,\ a_{n+1}:=1+\frac{1}{1+a_n}\ \mbox{für alle}\ n\gt 1. \]

(i) Berechnen Sie die Glieder \( a_2, \) \( a_3, \) \( a_4 \) und \( a_5. \)
(ii) Beweisen Sie, dass \( 1\le a_n\le 2 \) für alle \( n\in\mathbb N. \)
(iii) Folgern Sie damit, dass ein \( q\in(0,1) \) existiert mit

\[ |a_{n+1}-a_n|\le q^{n-1}|a_2-a_1|\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots, \]

  und dass \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots} \) somit eine Cauchyfolge in \( \mathbb Q \) ist, die in \( \mathbb R \) konvergiert.
(iv) Wie lautet ihr Grenzwert?

 

Lösung

 

Aufgabe 46: (Häufungsstellen von Zahlenfolgen II)

Bestimmen Sie die Häufungsstellen der folgenden Zahlenfolgen.

(i) \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle a_n:=(-1)^{\frac{1}{2}n(n+1)} \)
(ii) \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle b_n:=(-1)^n\,\frac{n}{n+1} \)
(iii) \( \{c_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle c_n:=\frac{(-1)^nn^2}{(2n+3)^2} \)
(iv) \( \{d_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle d_n:=(-1)^{n+1}\,\frac{6n^2+17n}{5n^3+7} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 47: (Bestimmung von Grenzwerten II)

Entscheiden Sie, ob die folgenden Zahlenfolgen konvergieren oder divergieren, und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.

(i) \( \displaystyle\left\{\frac{1}{n^k}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( k\in\mathbb N \) (ii) \( \displaystyle\left\{\frac{5n^4+n^3}{3n^4+n^2}\right\}_{n=1,2,\ldots} \)
(iii) \( \displaystyle\left\{\frac{n^7+n^6-3}{n(1+n^2-6n^6)}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) (iv) \( \displaystyle\left\{\frac{n^3+7n}{n^4+4n^2-1}\right\}_{n=1,2,\ldots} \)
(v) \( \displaystyle\Big\{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\,\Big\}_{n=1,2,\ldots} \) (vi) \( \displaystyle\left\{-n+\sqrt{1+n+n^2}\right\}_{n=1,2,\ldots} \)
(vii) \( \displaystyle\left\{a^{-n}n^k\right\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( k\in\mathbb N \) und \( a\gt 1 \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 48: (Vergleichseigenschaften von Zahlenfolgen)

Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) konvergente Zahlenfolgen mit \[ x=\lim_{n\to\infty}x_n\quad\mbox{und}\quad y=\lim_{n\to\infty}y_n\,. \] Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(i) Gilt

\[ x_n\le y_n\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N,\ \mbox{so ist}\quad x\le y. \]

  Die analoge Aussage mit „\( \lt \)“ anstelle von \( \le \) ist jedoch falsch.
(ii) Ist \( \{z_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) irgendeine Zahlenfolge mit den Eigenschaften

\[ x_n\le z_n\le y_n\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N,\quad\mbox{und gilt}\quad x=y, \]

  so konvergiert \( \{z_n\}_{n=1,2,\ldots} \) gegen \( x. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 49: (Beweisaufgaben zu Nullfolgen)

Beweisen Sie:

(i) Sind \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine Nullfolge und \( c\in\mathbb R, \) so ist auch

\[ \{c\cdot a_n\}_{n=1,2,\ldots} \]

  eine Nullfolge.
(ii) Gibt es eine Nullfolge \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit

\[ |a_n|\le|b_n|\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots, \]

  so ist auch \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine Nullfolge.

 

Lösung

Aufgabe 50: (Bestimmung von Grenzwerten III)

Untersuchen Sie die Folgen \[ \{q^n\}_{n=1,2,\ldots} \] mit fest gewähltem \( q\in\mathbb R\setminus\{0\} \) auf Konvergenz.

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 7

 

Aufgabe 51: (Bestimmen von Teilfolgen)

 

Aufgabe 52: (Monotone Zahlenfolgen I)

 

Aufgabe 53: (Monotone Zahlenfolgen II)

 

Aufgabe 54: (Infimum und Supremum von Mengen II)

Ermitteln Sie jeweils Infimum und Supremum der Mengen \( A \) und \( B. \) Entscheiden Sie, ob es sich sogar um ein Minimum bzw. ein Maximum handelt.

(i) \( A:=\big\{x\in\mathbb R\,:\,x^2\lt x+1\big\} \)
(ii) \( \displaystyle B:=\left\{\frac{2n+3}{3-4n}\,:\,n\in\mathbb N\right\} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 55: (Infimum und Supremum von Mengen II)

 

Aufgabe 56: (Addition und Multiplikation komplexer Zahlen)

 

Aufgabe 57: (Inverse komplexer Zahlen)

 

Aufgabe 58: (Bestimmen von Real- und Imaginärteil)

 

Lösung

 

Aufgabe 59: (Vereinfachen komplexer Zahlen I)

Die folgenden komplexen Zahlen sind in die Form \( x+iy \) zu bringen.

(i) \( \displaystyle z=i(2-3i)^2(1+i) \)
(ii) \( \displaystyle z=\frac{1}{i} \)
(iii) \( \displaystyle z=\frac{1+2i}{3-i} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 60: (Potenzen der komplexen Einheit I)

Ausgehend von \( i^2=-1, \) \( i^3=i^2\cdot i=(-1)\cdot i=-i \) usw. sind zu ermitteln \[ i^4\,,\quad i^5\,,\quad i^6\,,\quad i^7\,,\quad i^8\,. \] Welche Regelmäßigkeit erkennen Sie für die Potenzen \( i^n, \) \( n=1,2,3,\ldots? \)

 

Lösung

 

Aufgabe 61: (Potenzen komplexer Zahlen II)

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke.

(i) \( \displaystyle z_1=2+5i+8i^2+9i^3+6i^7 \)
(ii) \( \displaystyle z_2=i^{10}+i^{14}-i^{18}+(-i)^{23} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 62: (Potenzen komplexer Zahlen III)

Ausgehend von \[ \frac{1}{i}=\frac{i^4}{i}=i^3=-i \quad\mbox{und daher}\quad i^{-n}=(i^{-1})^n=\left(\frac{1}{i}\right)^n=(-i)^n=(-1)^ni^n \] für \( n=1,2,3,\ldots \) sind die folgenden Ausdrücke zu vereinfachen:

(i) \( \displaystyle z_1=3i^{-5}+6i^{12}-i^{17} \)
(ii) \( \displaystyle z_2=17i^{-11}+5i^{-6}+1+4i^6 \)

 

Lösung

 

Aufgabe 63: (Betrag und komplexe Konjugation)

Beweisen Sie, dass für alle komplexen Zahlen \( z, \) \( z_1 \) und \( z_2 \) gelten:

(i) \( |z|\ge 0, \) wobei \( |z|=0 \) genau dann, wenn \( z=0 \)
(ii) \( z\cdot\overline{z}=|z|^2 \)
(iii) \( \overline{z_1+z_2}=\overline z_1+\overline z_2 \)
(iv) \( |z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2| \)

Verwenden Sie dabei die Darstellung \( z=x+iy. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 64: (Elementargeometrisches in der komplexen Ebene)

Bestimmen Sie \( z\in\mathbb C \) so, dass die komplexen Zahlen \( 1, \) \( 2+i \) und \( z \) in der komplexen Zahlenebene ein gleichseitiges Dreieck bilden.

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 8

 

Aufgabe 65: (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Reellen)

(i) Formulieren und beweisen Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung in \( \mathbb R^2. \)
(ii) Formulieren und beweisen Sie durch vollständige Induktion die Cauchy-Schwarz-Ungleichung in \( \mathbb R^n. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 66: (Der \( 1 \)-Trick)

Es seien \( a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R. \) Beweisen Sie die Ungleichung \[ a_1+a_2+\ldots+a_n\le\sqrt{n}\cdot\left(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2\right)^\frac{1}{2}\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 67: (Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

Es seien \( \{w_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) und \( \{z_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) gegeben mit \[ \sum_{k=1}^\infty|w_k|^2\lt\infty\,,\quad \sum_{k=1}^\infty|z_k|^2\lt\infty\,. \] Beweisen Sie, dass dann die komplexwertige Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty w_k\overline z_k \) absolut konvergiert, d.h. \[ \sum_{k=1}^\infty|w_k||\overline z_k|\lt\infty\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 68: (Anwendung des Cauchyschen Konvergenzkriteriums)

Beweisen Sie unter Anwendung des Cauchyschen Konvergenzkriteriums, dass die harmonische Reihe \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots \] divergiert.

 

Lösung

 

Aufgabe 69: (Die geometrische Reihe in \( \mathbb C \))

Beweisen Sie: Für alle \( z\in B:=\{z\in\mathbb C\,:\,|z|\lt 1\} \) konvergiert die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty z^k, \) und es gilt \[ \sum_{k=0}^\infty z^k=\frac{1}{1-z}\,. \] Für alle \( z\in\mathbb C \) mit \( |z|\ge 1 \) divergiert hingegen die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty z^k. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 70: (Reellwertige geometrische Reihen)

Betrachten Sie die folgenden geometrischen Reihen:

(i) \( \displaystyle 2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\ldots \)
(ii) \( \displaystyle\frac{7}{3}+\frac{7}{30}+\frac{7}{300}+\frac{7}{3000}+\ldots \)
(iii) \( \displaystyle\frac{3}{2}+\frac{3}{8}+\frac{3}{32}+\frac{3}{128}+\ldots \)
(iv) \( \displaystyle\frac{5}{3}+\frac{5}{24}+\frac{5}{192}+\frac{5}{1536}+\ldots \)

Um welche geometrischen Reihen handelt es sich genau? Berechnen Sie ihre Werte.

 

Lösung

 

Aufgabe 71: (Anwendung des Majorantenkriteriums)

Beweisen Sie mit Hilfe des Majorantenkriteriums, dass folgende Reihen konvergieren.

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+1} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{2k-1}{2k^3+k^2+2k+1} \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3k^4+k^3+7k^2-k-1} \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 72: (Beweis des Minorantenkriteriums)

Beweisen Sie das Minorantenkriterium: Die Folgen \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R, \) \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) genügen \[ 0\le b_n\le a_n\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \] Divergiert nun die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty b_k, \) so divergiert auch \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 73: (Anwendung des Minorantenkriteriums)

Verifizieren Sie mit Hilfe des Minorantenkriteriums, dass die folgenden Reihen divergieren.

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3k-1} \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3k}{k+2} \) (iv) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k+1}{k(k+1)} \)
(v) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{n^2+2n}{5n^2+3n+7} \) (vi) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \)
(vii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\left(-k+\sqrt{k^2+1}\right) \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 74: (Teleskopreihen I)

Unter einer Teleskopreihe versteht man eine Reihe der Form \[ \sum_{k=1}^\infty(a_k-a_{k+1})=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4)+\ldots \]

(i) Bestimmen Sie den Wert der Reihe

\[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)}\,, \]

  indem Sie zunächst eine explizite Formel für die Partialsummen finden (Partialbruchzerlegung) und dann den Grenzwert bilden.
(ii) Folgern Sie, dass die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} \) konvergiert.

 

Lösung

 

Aufgabe 75: (Teleskopreihen II)

Untersuchen Sie, ob folgende Reihen konvergieren. Geben Sie gegebenenfalls ihre Werte an.

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{4k^2-1} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+3k+2} \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\Big\{(k+1)^{k+1}-k^k\Big\} \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 76: (Leibnizkriterium und die Reihe von Catalan)

Bereits E.C. Catalan wies anhand des folgenden Beispiels \[ \frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{4}-1}-\frac{1}{\sqrt{4}+1}\pm\ldots \] darauf hin, dass für das Leibnizsche Konvergenzkriterium für Reihen die Monotonievoraussetzung wesentlich ist. Diskutieren Sie Catalans Beispiel.

 

Lösung

 

Aufgabe 77: (Anwendung des Wurzelkriteriums)

Untersuchen Sie mittels des Wurzelkriteriums die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{2^k}{3^{2k}} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\left(1-\frac{1}{k}\right)^{k^2} \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(5k^2+2)^n}{(7k)^{2k}} \) (iv) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3^k+5^{k+3}}{7\cdot 13^k} \)
(v) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3k^k}{5^kk!} \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 78: (Anwendung des Quotientenkriteriums)

Untersuchen Sie mittels des Quotientenkriteriums die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(2k+1)!}{(3k)!} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^k} \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k^4}{7^k} \) (iv) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{\sqrt{1+\frac{1}{k}}}{k} \)
(v) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{2^k}{(k+1)!} \) (vi) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3^k(k+1)!(k+2)!}{(2k)!} \)
(vii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k!}{8^k} \) (viii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{5^{3k}}{(k^2+2)!} \)
(ix) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{\binom{k}{2}}{k^2} \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 79: (Geometrische Reihe als Majorante)

Beweisen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren. Benutzen Sie in Aufgabenteil (i) die geometrische Reihe als Majorante.

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+1} \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k+1}{k^3+2k^2+k+1} \)    

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 9

 

Aufgabe 80 (Variationen der alternierenden harmonischen Reihe)

Die alternierende harmonische Reihe \[ S:=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots \] konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium gegen \( \ln 2 \) ( \( \ln \) natürlicher Logarithmus).

(i) Zeigen Sie zunächst durch Summieren geeigneter Anfangsglieder der Reihe

\[ \frac{1}{2}\lt S\lt\frac{5}{6}\,. \]

(ii) Betrachten Sie nun die Umordnung

\[ S=\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}\right)+\ldots \]

  Zeigen Sie, dass der Wert dieser Umordnung echt größer ist als \( \frac{5}{6}. \)

Wir kommen zurück zur Definition von \( S: \) Gliedweise Division durch \( 2 \) ergibt \[ \frac{S}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\ldots, \] womit folgt \[ \begin{array}{lll} \displaystyle S+\frac{S}{2}\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\ldots\right) \\ & = & \negthickspace\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\ldots \\ & = & \negthickspace\displaystyle 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\ldots \end{array} \] Das stimmt aber mit der Umordnung aus (ii) überein.

(iii) Folgern Sie

\[ S=S+\frac{S}{2}=\frac{3S}{2}\quad\mbox{bzw.}\quad S=0. \] Was geht hier schief?

 

Lösung

 

Aufgabe 81: (Cauchyprodukt reeller Potenzreihen)

Gegeben seien die Potenzreihen \[ P_1(x):=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k^k} \quad\mbox{und}\quad P_2(x):=\sum_{k=1}^\infty\frac{k(-1)^k}{2^k}\,x^k \quad\mbox{für}\ x\in\mathbb R. \]

(i) Für welche \( x\in\mathbb R \) konvergieren \( P_1 \) und \( P_2? \) Liegt absolute Konvergenz vor?
(ii) Bestimmen Sie das Cauchyprodukt \( P_1P_2. \) Geben Sie die ersten fünf Koeffizienten dieses Produktes an.
(iii) Geben Sie ein Intervall \( (a,b) \) an, so dass für alle \( x\in(a,b) \) das Cauchyprodukt absolut konvergiert.

 

Lösung

 

Aufgabe 82: (Bestimmung von Konvergenzradien II)

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden komplexen Potenzreihen.

(i) \( z+4z^2+27z^3+256z^4+3125z^5+\ldots \)
(ii) \( \displaystyle 1+\frac{2}{1}\,z+\frac{4}{2}\,z^2+\frac{8}{6}\,z^3+\frac{16}{24}\,z^4+\frac{32}{120}\,z^5+\ldots \)

 

Lösung

 

Aufgabe 83: (Bestimmung reeller Konvergenzbereiche)

Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R, \) für die die folgenden reellen Potenzreihen konvergieren.

\( \displaystyle \mbox{(i)}\ \ \sum_{k=0}^\infty x^k \qquad \mbox{(ii)}\ \ \sum_{k=0}^\infty x^{2k} \qquad \mbox{(iii)}\ \ \sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k} \qquad \mbox{(iv)}\ \ \sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k^2} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 84: (Reihen mit Konvergenzradius gleich Null)

Finden Sie eine komplexe Potenzreihe, welche den Konvergenzradius \( R=0 \) besitzt, d.h. die nur in \( z=0 \) konvergiert.

 

Lösung

 

Aufgabe 85: (Beispiele stetiger Funktionen)

Beweisen Sie, dass die folgenden Funktionen stetig in den angegebenen Definitionsbereichen sind.

(i) \( f(x)=2x+5, \) \( x\in\mathbb R \)
(ii) \( f(x)=x^2, \) \( x\in\mathbb R \)
(iii) \( f(x)=\sqrt{x}, \) \( x\in[0,\infty) \)

 

Lösung

 

Aufgabe 86: (Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit)

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit in den angegebenen Definitionsbereichen.

(i) \( f(x)=\sqrt{x}, \) \( x\in[0,1] \)
(ii) \( f(x)=x^2, \) \( x\in[-1,1] \)
(iii) \( f(x)=x^2, \) \( x\in\mathbb R \)
(iv) \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x}, \) \( x\in(0,1] \)

 

Lösung

 

Aufgabe 87: (Beispiel zur Stetigkeit)

Betrachten Sie die Funktion \[ f\colon\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{x^4-5x^2+4}{x^2-1}\,, & \mbox{falls}\ x\in\mathbb R\setminus\{-1,+1\} \\ \alpha, & \mbox{falls}\ x=-1 \\ \beta, & \mbox{falls}\ x=1 \end{array} \right.. \] Bestimmen Sie \( \alpha\in\mathbb R \) und \( \beta\in\mathbb R, \) so dass \( f(x) \) in \( \mathbb R \) stetig ist.

 

Lösung

 

Aufgabe 88: (Lipschitzstetige Funktionen sind gleichmäßig stetig)

Es sei \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) Lipschitzstetig, d.h. mit einer Zahl \( L\in[0,\infty) \) gilt \[ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass \( f(x) \) in \( \mathbb R \) gleichmäßig stetig ist.

 

Lösung

 

Aufgabe 89: (Abschätzung durch den Absolutbetrag)

Vorgelegt sei eine Funktion \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) mit der Eigenschaft \[ |f(x)|\le|x|\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass \( f(x) \) in \( x_0=0 \) stetig ist.

 

Lösung

 

Aufgabe 90: (Gleichheit stetiger Funktionen)

Es seien \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft \[ f(x)=g(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb Q. \] Beweisen Sie, dass dann gilt \[ f(x)=g(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 91: (Verknüpfung stetiger Funktionen)

Es seien \( f,g\colon D\to\mathbb R \) in \( x_0\in D \) stetig, und es sei \( \lambda\in\mathbb R. \) Beweisen Sie, dass dann ebenfalls in \( x_0\in D \) stetig sind:

(i) \( (f+g)(x):=f(x)+g(x) \)
(ii) \( (\lambda f)(x):=\lambda f(x) \)
(iii) \( (fg)(x):=f(x)g(x) \)
(iv) \( \left(\frac{f}{g}\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}, \) wobei \( g\not=0 \) in \( D \)

 

Lösung

 

Aufgabe 92: (Stetigkeit von Verkettungen)

Sei \( f\colon D\to E\subseteq\mathbb R \) stetig in \( x_0\in D, \) und sei \( g\colon E\to\mathbb R \) stetig in \( y_0:=f(x_0). \) Zeigen Sie, dass dann auch die Verkettung \[ h(x):=g\circ f(x)=g(f(x)),\quad x\in D, \] stetig in \( x_0\in D. \)

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 10

 

Aufgabe 93 (Nicht lösbare Funktionalgleichungen)

Zeigen Sie, dass es keine Funktionen \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) gibt, die eine der folgenden Bedingungen erfüllen:

(i) \( f(x)+g(y)=x\cdot y \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(ii) \( f(x)\cdot g(y)=x+y \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)

 

Lösung

 

Aufgabe 94: (Eigenschaften differenzierbarer Funktionen)

Seien \( \lambda,\mu\in\mathbb R \) und \( f,g\colon D\to\mathbb R \) in \( x_0\in D\subseteq\mathbb R \) differenzierbar. Beweisen Sie, dass dann ebenfalls in \( x_0\in D \) differenzierbar sind:

(i) Die Linearkombination \( h(x):=\lambda f(x)+\mu g(x) \) mit der Ableitung

\[ h'(x_0)=\lambda f'(x_0)+\mu g'(x_0). \]

(i) Das Produkt \( h(x):=f(x)g(x) \) mit der Ableitung

\[ h'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0). \]

(i) Falls \( g(x)\not=0 \) in \( D, \) auch der Quotient \( h(x):=\frac{f(x)}{g(x)} \) mit der Ableitung

\[ h'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g(x_0)^2}\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 95: (Beweis der Kettenregel)

Beweisen Sie: Sind \( f\colon D\to E \) in \( x_0\in D\subseteq\mathbb R \) und \( g\colon E\to\mathbb R \) in \( y_0:=f(x_0)\in E\subseteq\mathbb R \) differenzierbar, so ist auch \[ h=g\circ f\quad\mbox{vermöge}\quad h(x):=g\circ f(x)=g(f(x)),\quad x\in D, \] in \( x_0\in D \) differenzierbar.

 

Lösung

 

Aufgabe 96: (Technik des Differenzierens)

Differenzieren Sie die folgenden Funktionen unter Verwendung der bekannten Rechenregeln (Summenregel, Produktregel usw.):

\( \circ \) \( f(x)=x^5-5x^4+6x-2 \)
\( \circ \) \( f(x)=2x^3-5x-3\sin x+\sin\frac{\pi}{8} \)
\( \circ \) \( \displaystyle f(x)=\frac{x^3-2x-4}{x^2-1} \)
\( \circ \) \( \displaystyle f(x)=\tan x:=\frac{\sin x}{\cos x} \)
\( \circ \) \( f(x)=(2x^3-3x+4\sin x)^7 \)
\( \circ \) \( f(x)=x^3\sin x \)
\( \circ \) \( f(x)=(x^4+4x)\cos x \)
\( \circ \) \( \displaystyle f(x)=\frac{x^2-\sin(x^2+1)}{2+\cos x} \)
\( \circ \) \( \displaystyle f(x)=\cot x:=\frac{\cos x}{\sin x} \)
\( \circ \) \( f(x)=(3x^2+1)\sin^2(x^3+3x^2-8) \)

 

Lösung

 

Aufgabe 97: (Ableitung des natürlichen Logarithmus und logarithmische Ableitung)

(i) Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion

\[ \frac{d}{dx}\,\ln x=\frac{1}{x}\,,\quad x\in(0,\infty). \]

(ii) Beweisen Sie, dass für differenzierbare Funktionen \( f\colon(0,\infty)\to\mathbb R \) gilt

\[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\,. \]

(iii) Berechnen Sie unter Verwendung der Regel aus (ii) die Ableitung von
  \( \circ\quad f(x)=(1+x)(1+e^{x^2}) \)
  \( \circ\quad g(x)=(\sin x)^{\cos x}\cdot(\cos x)^{\sin x} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 98: (Regularisierung stetiger Funktionen)

Seien zwei Funktionen \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) gegeben mit \[ f(x)=x\cdot g(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in \mathbb R, \] und sei \( g(x) \) stetig im Punkt \( x_0=0. \)

(i) Zeigen Sie, dass \( f(x) \) in \( x_0=0 \) differenzierbar ist. Bestimmen Sie \( f'(0). \)

Es sei nun \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) differenzierbar in \( x_0=0, \) und es gelte \( f(0)=0. \)

(ii) Zeigen Sie, dass ein \( g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) existiert mit

\[ \begin{array}{l} g(x)\ \mbox{ist stetig in}\ x_0=0\quad\mbox{und} \\ f(x)=x\cdot g(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \end{array} \]

 

Lösung

 

Aufgabe 99: (Definitheit, Stetigkeit und Differenzierbarkeit )

Die Funktionen \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) genügen in einer Umgebung von \( x_0=0 \) den Beziehungen \[ f(x)g(x)=x\quad\mbox{sowie}\quad f(0)=g(0)=0. \]

(i) Beweisen Sie, dass \( f(x) \) und \( g(x) \) im Nullpunkt nicht beide differenzierbar sind.
(ii) Sind \( f(x) \) und \( g(x) \) in \( x_0=0 \) stetig, so sind weder \( f(x) \) noch \( g(x) \) in \( x_0=0 \) differenzierbar.

 

Lösung

 

Aufgabe 100: (Zum Satz von Rolle)

Betrachten Sie die zusammengesetzte Funktion \[ f(x):=\left\{ \begin{array}{cl} x & \mbox{für}\ 0\le x\lt 1 \\ 0 & \mbox{für}\ x=1 \end{array}\right. \quad\mbox{mit}\quad f(0)=f(1)=0. \] Ist der Satz von Rolle anwendbar? Begründen Sie.

 

Lösung