AUFGABEN ZUR VORLESUNG ANALYSIS 1


 

 

Übungsblatt 1

 

Aufgabe 1: (Beispiele für Aussagen)

Welche der folgenden Sätze sind Aussagen, welche sind keine Aussagen?

(i) Berlin ist die Hauptstadt der Bundesrepublik Deutschland.
(ii) Alle Studenten sind fleißig.
(iii) Reisen bildet.
(iv) Hat die Vorlesung bereits begonnen?

 

Lösung

 

Aufgabe 2: (Zoglauers Satz mit drei Fehlern)

Analysieren Sie den folgenden Satz. Welche drei Fehler sind gemeint?

Dieser Sats enthält drei Feler.

 

Lösung

 

Aufgabe 3: (Distributivgesetze der Aussagenlogik)

(i) \( a\wedge(b\vee c)\equiv(a\wedge b)\vee(a\wedge c) \)
(ii) \( a\vee(b\wedge c)\equiv(a\vee b)\wedge(a\vee c) \)

 

Lösung

 

Aufgabe 4: (de Morgansche Regeln der Aussagenlogik)

Beweisen Sie die folgenden aussagenlogischen Äquivalenzen:

(i) \( \neg(a\wedge b)\equiv\neg a\vee\neg b \)
(ii) \( \neg(a\vee b)\equiv\neg a\wedge\neg b \)

 

Lösung

 

Aufgabe 5: (Mathematische Aussagen)

Es bezeichne \( \mathbb Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\} \) die Menge der ganzen Zahlen. Schreiben Sie die folgenden Aussagen als logische Formeln. Welche Aussage ist wahr, welche ist falsch?

(i) Es existieren ein \( x\in\mathbb Z \) und ein \( y\in\mathbb Z \) mit \( x+y=0. \)
(ii) Für alle \( x\in\mathbb Z \) existiert ein \( y\in\mathbb Z \) mit \( x+y=0. \)
(iii) Es existiert ein \( x\in\mathbb Z, \) so dass für alle \( y\in\mathbb Z \) gilt \( x+y=0. \)
(iv) Für alle \( x\in\mathbb Z \) und für alle \( y\in\mathbb Z \) gilt \( x+y=0. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 6: (Rechenübung zu den Mengenoperationen)

Gegeben seien eine Grundmenge \( \Omega=\{0,1,2,3,4,5\} \) sowie die Teilmengen \[ A=\{1,2,3\}\,,\quad B=\{2,3,4\}\,. \] Ermitteln Sie \[ \Omega\setminus A,\quad \Omega\setminus B,\quad A\cup B,\quad A\cap B,\quad A\setminus B,\quad B\setminus A. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 7: (Distributivgesetze der Mengenlehre)

Es seien \( A, \) \( B \) und \( C \) drei beliebige Mengen. Beweisen Sie, dass dann gelten:

(i) \( A\cap(B\cup C)=(A\cap C)\cup(A\cap C) \)
(ii) \( A\cup(B\cap C)=(A\cup C)\cap(A\cup C) \)

 

Lösung

 

Aufgabe 8: (de Morgansche Regeln der Mengenlehre)

Es seien \( A \) und \( B \) zwei Mengen, und es sei \( X \) eine Obermenge mit \( A,B\subseteq X. \) Beweisen Sie:

(i) \( X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap(X\setminus B) \)
(ii) \( X\setminus(A\cap B)=(X\setminus A)\cup(X\setminus B) \)

 

Lösung

 

Aufgabe 9: (Potenzmengen)

Bestimmen Sie die Potenzmengen der folgenden Mengen \( M: \)

(i) \( M=\emptyset \) (ii) \( M=\{a\} \)
(iii) \( M=\{a,b\} \) (iv) \( M=\{a,b,c\} \)
(v) \( M={\mathcal P}(\emptyset) \) (vi) \( M={\mathcal P}(\{a\}) \)

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 2

 

Aufgabe 10: (Abbildung von Teilmengen)

Es sei \( f\colon A\to B \) eine Abbildung zwischen den Mengen \( A \) und \( B. \) Weiter seien \( M,N\subseteq A \) zwei Teilmengen von \( A \) mit \( M\subseteq N. \) Beweisen Sie \[ f(M)\subseteq f(N) \] mit \( f(M):=\{b\in B\,:\,\mbox{es gibt ein}\ a\in A\ \mbox{mit}\ f(a)=b\}, \) entsprechend \( f(N). \)

 

Lösung

 

Aufgabe 11: (Injektive und surjektive Abbildungen)

Finden Sie jeweils Beispiele von Mengen \( A, \) \( B \) sowie eine Abbildung \( f\colon A\to B, \) so dass gilt:

(i) \( f \) ist weder injektiv noch surjektiv.
(ii) \( f \) ist injektiv, aber nicht surjektiv.
(iii) \( f \) ist surjektiv, aber nicht injektiv.
(iv) \( f \) ist sowohl injektiv als auch surjektiv.

Geben Sie jeweils eine kurze Begründung.

 

Lösung

 

Aufgabe 12: (Summe der ersten \( n \) natürlichen Zahlen)

Beweisen Sie die explizite Darstellungsformel \[ \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}\,,\quad n\in\mathbb N, \] auf irgendeine anschauliche Art und Weise, insbesondere ohne vollständige Induktion.

 

Lösung

 

Aufgabe 13: (Summe der ersten \( n \) Quadrate)

Bestimmen Sie eine explizite Darstellungsformel für die Summe \[ \sum_{k=1}^nk^2\,,\quad n\in\mathbb N. \] Vorgehensweise: Berechnen Sie zunächst den Ausdruck \( (k+1)^3-k^3, \) und folgern Sie durch geschicktes Summieren \[ (n+1)^3-1=3\cdot(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)+3\cdot(1+2+3+\ldots+n)+n. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 14: (Summenformeln und vollständige Induktion)

Es sei \( n\in\mathbb N \) eine natürliche Zahl. Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion:

(i) \( \displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) (ii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=(1+2+3+\ldots+n)^2 \)
(iii) \( \displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=2-\frac{n+2}{2^n} \) (iv) \( \displaystyle\sum_{k=1}^n2^k=2^{n+1}-2 \)

 

Lösung

 

Aufgabe 15: (Teilbarkeitssaussagen und vollständige Induktion)

Beweisen Sie vermittels volltsändiger Induktion:

(i) Es ist \( n^3-6n^2+14n \) für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 3 \) ohne Rest teilbar.
(ii) Es ist \( 5^n+7 \) für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 4 \) ohne Rest teilbar.
(iii) Es ist \( 7^n-2^n \) für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 5 \) ohne Rest teilbar.
(iv) Es ist \( 2n^3+3n^2+n \) für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 6 \) ohne Rest teilbar.
(v) Es ist \( 11^{n+2}+12^{2n+1} \) für alle \( n\in\mathbb N_0 \) durch \( 133 \) ohne Rest teilbar.

 

Lösung

 

Aufgabe 16: (Kommutativgesetz der Addition)

Beweisen Sie das Kommutativgesetz der Addition \[ m+n=n+m\quad\mbox{für alle}\ m,n\in\mathbb N_0\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 17: (Beispiel einer Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen)

Auf der Menge \( \mathbb Z\times\mathbb Z \) sei vermittels \[ m\sim n\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad m^2=n^2 \] eine Relation definiert.

(i) Beweisen Sie, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation darstellt.
(ii) Beschreiben Sie die von \( \sim \) erzeugten Äquivalenzklassen.

 

Lösung

 

Aufgabe 18: (Eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Mengen)

Es sei \( X \) die Menge aller endlichen Teilmengen \( M \) einer unendlichen Obermenge \( N, \) und es bezeichne \( |M| \) die Anzahl der Elemente der Menge \( M\in X. \) Betrachten Sie auf \( X\times X \) die Relation \[ M_1\sim M_2\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad |M_1|=|M_2|\,. \] Beweisen Sie, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation darstellt.

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 3

 

Aufgabe 19: (Satz von Cantor zur Mächtigkeit der Potenzmenge)

Beweisen Sie: Es sei \( A \) eine beliebige, d.h. eine endliche oder unendliche Menge. Dann ist die Potenzmenge \( {\mathcal P}(A) \) mächtiger als \( A. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 20: (Das Dirichletsche Schubfachprinzip)

Beweisen Sie: Es sei \( n\ge 1 \) eine natürliche Zahl. Hat man \( n+1 \) Objekte in \( n \) Schubfächern verteilt, so gibt es mindestens ein Schubfach, in dem zwei oder mehr Objekte liegen.

 

Lösung

 

Aufgabe 21: (1. Schulolympiade 1961/62, Klassenstufe 5, DDR)

Ersetzen Sie die fehlenden Ziffern:

 
\( * \)
\( * \)
\( * \)
\( \cdot \)
\( * \)
\( 2 \)
 
\( * \)
\( 0 \)
\( 8 \)
     
\( * \)
\( 6 \)
\( * \)
       
\( * \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( * \)
   

 

Lösung

 

Aufgabe 22: (1. Schulolympiade 1961/62, Klassenstufe 6, DDR)

Kann die Summe von vier beliebigen, aber aufeinanderfolgenden, positiven, natürlichen Zahlen eine Primzahl sein? Begründen Sie Ihre Antwort.

 

Lösung

 

Aufgabe 23: (2. Schulolympiade 1962/63, Klassenstufe 7, DDR)

Die Summe von \( 9 \) aufeinander folgenden, positiven, natürlichen Zahlen beträgt \( 396. \) Wie lauten die Zahlen?

 

Lösung

 

Aufgabe 24: (1. Schulolympiade 1961/62, Klassenstufe 8, DDR)

Setzen Sie in ein magisches Quadrat mit \( 3\times 3=9 \) Feldern die Zahlen \( 3 \) bis \( 11 \) so ein, dass die Summe jeder Reihe, jeder Spalte und jeder Diagonale \( 21 \) beträgt. Beginnen Sie mit dem Mittelfeld. Begründen Sie Ihre Anordnung der Zahlen.

 

Lösung

 

Aufgabe 25: (Äquivalenzklassen und Äquivalenzrelationen)

Es sei \( \sim \) eine Äquivalenzrelation auf einer Menge \( M, \) und es bezeichne \[ K_a:=\{x\in M\,:\,x\sim a\} \] die zu \( a\in M \) gehörige Äquivalenzklasse. Beweisen Sie, dass für alle \( a,b\in M \) gilt \[ a\sim b\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad K_a=K_b\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 26: (Aufstellen expliziter Summenausdrücke)

Es sei \( n\in\mathbb N. \) Bestimmen Sie explizite Ausdrücke für die folgenden Summen \( S_n. \) Gegen welche Werte konvergieren die \( S_n \) im Grenzfall \( n\to\infty? \)

(i) \( \displaystyle S_n:=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{(n-1)\cdot n} \) für \( n\ge 2 \)
(ii) \( \displaystyle S_n:=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\ldots+\frac{1}{(n-2)\cdot(n-1)\cdot n} \) für \( n\ge 3 \)

 

Lösung

 

Aufgabe 27: (Wohldefiniertheit der Addition und Multiplikation in \( \mathbb Q \))

Für natürliche Zahlen \( k,\ell,m,n\in\mathbb N_0 \) wurden in der Vorlesung die Addition und Multiplikation zwischen rationalen Zahlen erklärt gemäß \[ \begin{array}{l} [(k,\ell)]_{\mathbb Q}+[(m,n)]_{\mathbb Q}:=[(kn+\ell m,\ell n)]_{\mathbb Q}\,, \\ [(k,\ell)]_{\mathbb Q}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Q}:=[(km,\ell n)]_{\mathbb Q}\,. \end{array} \] Beweisen Sie, dass diese Definitionen unabhängig von der Wahl der Repräsentanten der verwendeten Äquivalenzklassen sind.

 

Lösung

 

Aufgabe 28: (Galileis Paradoxon)

Einerseits gibt es weniger Quadratzahlen, d.h. Zahlen der Form \( n^2 \) mit \( n\in\mathbb N, \) als natürliche Zahlen, da alle Quadratzahlen natürlich sind, aber z.B. die Zahl \( 3 \) keine Quadratzahl ist. Andererseits, so argumentierte Galileo Galilei, gibt es „genauso viele“ Quadratzahlen wie natürliche Zahlen. Wie könnte er argumentiert haben? Gibt es einen Widerspruch?

 

Lösung

 

Aufgabe 29: (Bolzanos Paradoxon)

Bernard Bolzano behauptete, dass jedem Punkt des reellen Zahlenintervalls \( [0,5] \) genau ein Punkt des Intervalls \( [0,12] \) zugeordnet werden kann und umgekehrt. Besitzen diese Intervalle also „gleich viele“ Punkte? Wie würden Sie argumentieren? Gibt es einen Widerspruch?

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 4

 

Aufgabe 30: (Vorerst letzte Aufgabe zur vollständigen Induktion)

Beweisen Sie, dass für eine Abbildung \( f\colon\mathbb N\to\mathbb N \) mit der Eigenschaft \[ f(f(n))\lt f(n+1)\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N \] notwendig folgt \[ f(n)=n\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \] Hinweis: Zeigen Sie zunächst induktiv \( f(k)\ge n \) für alle \( k\ge n, \) dann \( f(n)\lt f(n+1) \) für alle \( n\in\mathbb N. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 31: (Folgerungen aus den Körperaxiomen II)

Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie: Für alle \( x\in\mathbb K\setminus\{0\} \) besitzt die Gleichung \[ x\cdot z=y \] die eindeutige Lösung \( z=y\cdot x^{-1}\in\mathbb K. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 32: (Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen)

(i) \( x\lt y \) impliziert \( x+z\lt y+z \) für alle \( x,y,z\in\mathbb K\)
(ii) \( x\lt y \) impliziert \( x\cdot z\lt y\cdot z \) für alle \( x,y,z\in\mathbb K\) mit \( z\gt 0 \)

 

Lösung

 

Aufgabe 33: (Eine schwierige Betragsungleichung)

Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie, dass für alle \( x,y,z\in\mathbb K \) gilt \[ |x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|z+x|+|x+y+z|\ge 0. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 34: (Summen und Produkte)

Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie: Ist \( n\ge 2 \) eine natürliche Zahl, und sind \( x_i\in\mathbb K \) mit \( |x_i|\lt 1 \) für alle \( i=1,\ldots,n, \) so gilt die Ungleichung \[ \sum_{i=1}^nx_i^2\ge n\prod_{i=1}^nx_i\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 35: (Dedekinds Verallgemeinerung)

Beweisen Sie: Ist \( k\in\mathbb N \) keine Quadratzahl, so ist \( \sqrt{k} \) nicht rational.

 

Lösung

 

Aufgabe 36: (Quadratische Ergänzung und mehr in \( \mathbb R \))

Beweisen Sie die Richtigkeit folgender Ungleichungen:

(i) \( 1+x\ge 2\sqrt{x} \) für alle \( x\ge 0 \)
(ii) \( \displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2 \) für alle \( x\gt 0 \)
(iii) \( x^2+y^2\ge 2xy \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(iv) \( 2(x^2+y^2)\ge(x+y)^2 \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(v) \( x^2+y^2\ge 2xy \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(vii) \( \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y} \) für alle \( x,y\gt 0 \)

 

Lösung

 

Aufgabe 37: (Zwei weitere schwierige Abschätzungen in \( \mathbb R \))

(i) \( \displaystyle\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge 8 \) für alle \( x,y\gt 1 \)
(ii) \( \displaystyle\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} \) für alle \( x,y,z\gt 0 \)

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 5

 

Aufgabe 38: (Geometrische Reihen I)

Verifizieren Sie anhand der folgenden Skizze die geometrische Summenformel \[ \sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\,,\quad q\in(0,1). \] Kostenlose Jimdo-Seite erstellen! Hinweis: Verwenden Sie die Ähnlichkeit \( \triangle(PQR)\approx\triangle(TSP). \)

 

Lösung

 

Aufgabe 39: (Geometrische Reihen II)

(i) Bestimmen Sie grafisch den Grenzwert

\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k}\,. \]

  Finden Sie dazu eine geeignete Unterteilung des Einheitsintervalls.
(ii) Wie Aufgabenteil (i), jetzt aber für den Grenzwert

\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{4^k} \]

  anhand folgender Skizze:

Kostenlose Jimdo-Seite erstellen!

 

Lösung

 

Aufgabe 40: (Die Kochsche Schneeflocke)

Betrachten Sie den folgenden iterativen Prozess:

1. Beginne mit einer geraden Strecke der Länge \( 1. \)
2. Ersetze das mittlere Drittel dieser Strecke durch ein gleichseitiges Dreieck (ohne Basis).
3. Wende diese Vorschrift auf die vier neuen Strecken der Länge \( \frac{1}{3} \) an usw.

Diese Vorschrift wird nun auf die drei Seiten der gemeinsamen Länge \( 1 \) eines gleichseitigen Dreiecks angewandt. Die Kochsche Schneeflocke ergibt sich dann als „Grenzfigur nach unendlich vielen Iterationen“. Kostenlose Jimdo-Seite erstellen! Berechnen Sie Umfang und eingeschlossenen Inhalt der Kochschen Schneeflocke.

 

Lösung

 

Aufgabe 41: (Äquivalenzrelation der reellen Zahlen)

Beweisen Sie, dass die aus der Vorlesung bekannte Relation \( \sim_{\mathbb R} \) eine Äquivalenzrelation darstellt.

 

Lösung

 

Aufgabe 42: (Zum Rechnen mit rationalen Cauchyfolgen)

Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \) zwei rationale Cauchyfolgen. Beweisen Sie, dass dann auch \[ \{x_n+y_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\mbox{und}\quad\{x_n\cdot y_n\}_{n=1,2,\ldots} \] rationale Cauchyfolgen darstellen.

 

Lösung

 

Aufgabe 43: (Inverse Elemente)

Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \) äquivalente, rationale Cauchyfolgen, die beide keine Nullfolgen sind und sogar erfüllen \[ x_n\not=0\quad\mbox{und}\quad y_n\not=0\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \]

(i) Beweisen Sie, dass dann auch

\[ \{x_n^{-1}\}_{n=1,2,\ldots}\quad\mbox{und}\quad\{y_n^{-1}\}_{n=1,2,\ldots} \]

  rationale Cauchyfolgen darstellen.
(ii) Beweisen Sie ferner, dass gilt

\[ \{x_n^{-1}\}_{n=1,2,\ldots}\sim_{\mathbb R}\{y_n^{-1}\}_{n=1,2,\ldots} \]

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 6

 

Aufgabe 44: (Ungleichungen elementarer Terme)

Zeigen Sie:

(i) Für alle \( n,k\in\mathbb N_0 \) gilt

\[ \binom{n}{k}\le\frac{n^k}{k!}\,. \]

(ii) Für alle natürlichen Zahlen \( n\ge 5 \) gilt

\[ n^2\lt 2^n\lt n!\lt n^n \,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe 45: (Zum Cauchyschen Vollständigkeitskriterium)

Betrachten Sie die rekursiv gegebene Zahlenfolge \[ \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \quad\mbox{mit}\quad a_1:=1,\ a_{n+1}:=1+\frac{1}{1+a_n}\ \mbox{für alle}\ n\gt 1. \]

(i) Berechnen Sie die Glieder \( a_2, \) \( a_3, \) \( a_4 \) und \( a_5. \)
(ii) Beweisen Sie, dass \( 1\le a_n\le 2 \) für alle \( n\in\mathbb N. \)
(iii) Folgern Sie damit, dass ein \( q\in(0,1) \) existiert mit

\[ |a_{n+1}-a_n|\le q^{n-1}|a_2-a_1|\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots, \]

  und dass \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots} \) somit eine Cauchyfolge in \( \mathbb Q \) ist, die in \( \mathbb R \) konvergiert.
(iv) Wie lautet ihr Grenzwert?

 

Lösung

 

Aufgabe 46: (Häufungsstellen von Zahlenfolgen II)

Bestimmen Sie die Häufungsstellen der folgenden Zahlenfolgen.

(i) \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle a_n:=(-1)^{\frac{1}{2}n(n+1)} \)
(ii) \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle b_n:=(-1)^n\,\frac{n}{n+1} \)
(iii) \( \{c_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle c_n:=\frac{(-1)^nn^2}{(2n+3)^2} \)
(iv) \( \{d_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle d_n:=(-1)^{n+1}\,\frac{6n^2+17n}{5n^3+7} \)

 

Lösung

 

Aufgabe 47: (Bestimmung von Grenzwerten II)

Entscheiden Sie, ob die folgenden Zahlenfolgen konvergieren oder divergieren, und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.

(i) \( \displaystyle\left\{\frac{1}{n^k}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( k\in\mathbb N \) (ii) \( \displaystyle\left\{\frac{5n^4+n^3}{3n^4+n^2}\right\}_{n=1,2,\ldots} \)
(iii) \( \displaystyle\left\{\frac{n^7+n^6-3}{n(1+n^2-6n^6)}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) (iv) \( \displaystyle\left\{\frac{n^3+7n}{n^4+4n^2-1}\right\}_{n=1,2,\ldots} \)
(v) \( \displaystyle\Big\{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\,\Big\}_{n=1,2,\ldots} \) (vi) \( \displaystyle\left\{-n+\sqrt{1+n+n^2}\right\}_{n=1,2,\ldots} \)
(vii) \( \displaystyle\left\{a^{-n}n^k\right\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( k\in\mathbb N \) und \( a\gt 1 \)    

 

Lösung

 

Aufgabe 48: (Vergleichseigenschaften von Zahlenfolgen)

Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) konvergente Zahlenfolgen mit \[ x=\lim_{n\to\infty}x_n\quad\mbox{und}\quad y=\lim_{n\to\infty}y_n\,. \] Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(i) Gilt

\[ x_n\le y_n\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N,\ \mbox{so ist}\quad x\le y. \]

  Die analoge Aussage mit „\( \lt \)“ anstelle von \( \le \) ist jedoch falsch.
(ii) Ist \( \{z_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) irgendeine Zahlenfolge mit den Eigenschaften

\[ x_n\le z_n\le y_n\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N,\quad\mbox{und gilt}\quad x=y, \]

  so konvergiert \( \{z_n\}_{n=1,2,\ldots} \) gegen \( x. \)

 

Lösung

 

Aufgabe 49: (Beweisaufgaben zu Nullfolgen)

Beweisen Sie:

(i) Sind \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine Nullfolge und \( c\in\mathbb R, \) so ist auch

\[ \{c\cdot a_n\}_{n=1,2,\ldots} \]

  eine Nullfolge.
(ii) Gibt es eine Nullfolge \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit

\[ |a_n|\le|b_n|\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots, \]

  so ist auch \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine Nullfolge.

 

Lösung

Aufgabe 50: (Bestimmung von Grenzwerten III)

Untersuchen Sie die Folgen \[ \{q^n\}_{n=1,2,\ldots} \] mit fest gewähltem \( q\in\mathbb R\setminus\{0\} \) auf Konvergenz.

 

Lösung