1. Was ist ein Funktional?

2. Geben Sie ein Beispiel eines Funktionals.

3. Was bedeutet „Variationsrechnung“?

4. Was versteht man unter dem Problem der kürzesten Linie?

5. Was versteht man unter dem Problem der Brachistochrone?

6. Was versteht man unter dem (klassischen) isoperimetrischen Problem?

7. Was versteht man unter einem lokalen Funktional?

8. Beschreiben Sie die Methode der finiten Differenzen am Beispiel des Funktionals

9. Was versteht man unter einem linearen, normierten Raum?

10. Was bedeutet der Funktionenraum \( ({\mathcal C}(a,b),\|\cdot\|_0)? \)

11. Was bedeutet der Funktionenraum \( ({\mathcal D}_1(a,b),\|\cdot\|_0)? \)

12. Was bedeutet der Funktionenraum \( ({\mathcal D}_n(a,b),\|\cdot\|_0)? \)

13. Wann heißt ein Funktional auf einem Funktionenraum \( ({\mathcal R},\|\cdot\|) \) stetig?

14. Was versteht man unter einem linearen Funktional?

15. Geben Sie ein Beispiel eines linearen Funktionals. Begründen Sie.

16. Formulieren und beweisen Sie Lemma 1.

17. Was besagt Lemma 2?

18. Was besagt Lemma 3?

19. Was besagt Lemma 4?

20. Was versteht man unter dem Differential eines Funktionals?

21. Ist das Differential eindeutig?

22. Wann besitzt ein Funktional ein (relatives) Extremum in einem Punkt \( \widetilde y? \)

23. Wann besitzt ein Funktional ein schwaches Extremum in einem Punkt \( \widehat y\in{\mathcal D}_1? \)

24. Wann besitzt ein Funktional ein starkes Extremum in einem Punkt \( \widehat y\in{\mathcal C}? \)

25. Warum ist ein starkes Extremum auch ein schwaches Extremum?

26. Was besagt Theorem 2?

27. Was ist das „einfachste“ Variationsproblem?

28. Formulieren und beweisen Sie Theorem 1.

29. Was besagt Theorem 2?

30. Was besagt Theorem 3?

31. Wie lautet die Euler-Lagrangesche Gleichung im Fall \( J[y]=\int_a^bF(x,y')\,dx\,? \)

32. Wie lautet die Euler-Lagrangesche Gleichung im Fall \( J[y]=\int_a^bF(y,y')\,dx\,? \)

33. Wie lautet die Euler-Lagrangesche Gleichung im Fall \( J[y]=\int_a^bF(x,y)\,dx\,? \)

34. Wie lautet die Euler-Lagrangesche Gleichung im Fall \( J[y]=\int_a^bf(x,y)\sqrt{1+y'^2}\,dx\,? \)

35. Studieren Sie Example 1.

36. Studieren Sie Example 2.

37. Studieren Sie Example 3.

38. Formulieren Sie das „einfache“ Problem mit variablen Endpunkten.

39. Leiten Sie die natürlichen Randbedingungen her.

40. Studieren Sie das Example.

41. Leiten Sie den angegebenen Ausdruck für die Variationsableitung \( \frac{\delta J}{\delta y} \) her.

42. Wie wird die Variationsableitung allgemein definiert?

43. Leiten Sie den angegebenen Zusammenhang der Variationsableitung zur Variation \( \delta J \) her.

44. Was versteht man unter der Invarianz der Euler-Lagrangeschen Gleichung?

45. Studieren Sie das Example.

46. Formulieren und beweisen Sie das Theorem.

47. Studieren Sie Example 1.

48. Studieren Sie Example 2.

49. Formulieren und beweisen Sie das Theorem.

50. Formulieren Sie das Variationsproblem mit den Randbedingungen (18).

51. Leiten Sie die Euler-Lagrangesche Gleichung (22) her.

52. Wie lautet das (allgemeine) isoperimetrische Problem?

53. Wie lautet das klassische isoperimetrische Problem?

54. Was besagt Theorem 1?

55. Wie lautet das entsprechende Problem mit endlichen Nebenbedingungen?

56. Was besagt Theorem 2?

57. Was versteht man unter holonomen bzw. nichtholonomen Nebenbedingungen?

58. Studieren Sie Example 1.

58. Studieren Sie Example 2.

59. Beschreiben Sie das allgemeine Variationsproblem.

60. Was bedeutet jetzt \( \triangle J=J[y+h]-J[y]? \)

61. Leiten Sie die allgemeine Variationsformel (5) her.

62. Erläutern Sie den Spezialfall von auf vertikalen Segmenten liegenden Randpunkten.

63. Erläutern Sie den Spezialfall fester Randpunkte.

64. Vergleichen Sie (5) mit der Variationsformel (7).

65. Mit welchem Variationsproblem beginnt dieser Abschnitt?

66. Leiten Sie die Transversalitätsbedingungen auf Seite 60 oben her.

67. Leiten Sie die Transversalitätsbedingungen auf Seite 61 oben her.

68. Welches weitere Variationsproblem wird angesprochen?

69. Erläutern Sie das Eingangsbeispiele auf den Seiten 61-62.

70. Was versteht man unter einer gebrochenen Extremalen?

71. Formulieren Sie das Variationsproblem für schwache Extrema in der Klasse stetiger und nur

stückweise stetig differenzierbarer Funktionen.

72. Leiten Sie die Weierstraß-Erdmann-Bedingungen in einem Eckpunkt einer Extremalen her.

73. Erläutern Sie die geometrische Interpretation der Weierstraß-Erdmann-Bedingungen in Termen der

Indikatrix der Lagrangedichte \( F(x,y,y'). \)

74. Lesen Sie die Einleitung zu Kapitel 8.

75. Was versteht man unter einer minimierenden Funktionenfolge?

76. Erläutern Sie die allgemeine Strategie einer direkten Methode.

77. Formulieren und beweisen Sie das Theorem?

78. Erläutern Sie die Ritz-Methode.

79. Was versteht man unter einer vollständigen Funktionenfolge?

80. Formulieren und beweisen Sie das Theorem.

81. Studieren Sie die Bemerkungen auf den Seiten 196-197.

82. Was versteht man unter der Methode der finiten Differenzen?

83. Wie lautet das Flächenfunktional im rotationssymmetrischen Fall?

84. Ermitteln Sie die Euler-Lagrange-Gleichung dieses Funktionals.

85. Was können Sie zur Existenz der Lösungen aussagen?

86. Ermitteln Sie die Euler-Lagrange-Gleichung des besprochenen kristallinen Funktionals.

87. Wie lautet das nichtparametrische Flächenfunktional?

87. Ermitteln Sie die Euler-Lagrange-Gleichung dieses Funktionals.

88. Welche Minimierungseigenschaft besitzen die zugehörigen Graphen?

95. Was versteht man unter dem Dirichletsche Prinzip?

96. Geben Sie eine grobe Lösungsidee.

97. Wie wurden Sobolevräume eingeführt?

98. Was versteht man unter der Identität \( H=W? \)