MATERIALIEN ZUR VARIATIONSRECHNUNG I


 

Literatur

 

Lehrbücher und Monografien

  • Fomin, S.V.; Gelfand, I.M.: Calculus of variations. Prentice Hall, 1963
  • Funk, P.: Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik. Springer, 1970
  • Jost, J.; Li-Jost, X.: Calculus of variations. Cambridge University Press, 2008
  • Kielhöfer, H.: Variationsrechnung. Vieweg+Teubner Verlag, 2010
  • Kneser, A.: Lehrbuch der Variationsrechnung. Friedrich Vieweg und Sohn, 1900

Vorlesungsinhalt

 

Wir studieren die Monographie von S.V. Fomin und I.M. Gelfand.

 

Woche 1, ab 12.04.2021

 

Author's preface

Translator's preface

Abschnitt 1.1: Functionals: Some simple variational problems

Abschnitt 1.2: Function spaces

 

Begleitvideo und Tafelbilder zu Abschnitt 1.1

Begleitvideo und Tafelbilder zu Abschnitt 1.2

 

 

Fragen zu Abschnitt 1.1

1. Was ist ein Funktional?

2. Geben Sie ein Beispiel eines Funktionals.

3. Was bedeutet „Variationsrechnung“?

4. Was versteht man unter dem Problem der kürzesten Linie?

5. Was versteht man unter dem Problem der Brachistochrone?

6. Was versteht man unter dem (klassischen) isoperimetrischen Problem?

7. Was versteht man unter einem lokalen Funktional?

8. Beschreiben Sie die Methode der finiten Differenzen am Beispiel des Funktionals

\[ J[y]=\int\limits_a^bF(x,y,y')\,dx. \]
Fragen zu Abschnitt 1.2

 

9. Was versteht man unter einem linearen, normierten Raum?

10. Was bedeutet der Funktionenraum \( ({\mathcal C}(a,b),\|\cdot\|_0)? \)

11. Was bedeutet der Funktionenraum \( ({\mathcal D}_1(a,b),\|\cdot\|_0)? \)

12. Was bedeutet der Funktionenraum \( ({\mathcal D}_n(a,b),\|\cdot\|_0)? \)

13. Wann heißt ein Funktional auf einem Funktionenraum \( ({\mathcal R},\|\cdot\|) \) stetig?

 

 

Woche 2, ab 19.04.2021

 

Abschnitt 1.3: The variation of a functional. A necessary condition for an extremum

Abschnitt 1.4: The simplest variational problem. Euler's equation (nur Paragraph 4.1)

 

Begleitvideo und Tafelbilder zu Abschnitt 1.3

Begleitvideo und Tafelbilder zu Abschnitt 1.4

 

 

Fragen zu Abschnitt 1.3

 

14. Was versteht man unter einem linearen Funktional?

15. Geben Sie ein Beispiel eines linearen Funktionals. Begründen Sie.

16. Formulieren und beweisen Sie Lemma 1.

17. Was besagt Lemma 2?

18. Was besagt Lemma 3?

19. Was besagt Lemma 4?

20. Was versteht man unter dem Differential eines Funktionals?

21. Ist das Differential eindeutig?

22. Wann besitzt ein Funktional ein (relatives) Extremum in einem Punkt \( \widetilde y? \)

23. Wann besitzt ein Funktional ein schwaches Extremum in einem Punkt \( \widehat y\in{\mathcal D}_1? \)

24. Wann besitzt ein Funktional ein starkes Extremum in einem Punkt \( \widehat y\in{\mathcal C}? \)

25. Warum ist ein starkes Extremum auch ein schwaches Extremum?

26. Was besagt Theorem 2?

 

Fragen zu Abschnitt 1.4

 

27. Was ist das „einfachste“ Variationsproblem?

28. Formulieren und beweisen Sie Theorem 1.

29. Was besagt Theorem 2?

30. Was besagt Theorem 3?

 

 

Woche 3, ab 26.04.2021

 

Abschnitt 1.4: The simplest variational problem. Euler's equation (Paragraph 4.2)

Abschnitt 1.6: A simple variable end point problem

 

Begleitvideo und Tafelbilder zu Abschnitt 1.4

Begleitvideo und Tafelbilder zu Abschnitt 1.6

 

 

Fragen zu Abschnitt 1.4

 

31. Wie lautet die Euler-Lagrangesche Gleichung im Fall \( J[y]=\int_a^bF(x,y')\,dx\,? \)

32. Wie lautet die Euler-Lagrangesche Gleichung im Fall \( J[y]=\int_a^bF(y,y')\,dx\,? \)

33. Wie lautet die Euler-Lagrangesche Gleichung im Fall \( J[y]=\int_a^bF(x,y)\,dx\,? \)

34. Wie lautet die Euler-Lagrangesche Gleichung im Fall \( J[y]=\int_a^bf(x,y)\sqrt{1+y'^2}\,dx\,? \)

35. Studieren Sie Example 1.

36. Studieren Sie Example 2.

37. Studieren Sie Example 3.

 

Fragen zu Abschnitt 1.6

 

38. Formulieren Sie das „einfache“ Problem mit variablen Endpunkten.

39. Leiten Sie die natürlichen Randbedingungen her.

40. Studieren Sie das Example.

 

 

Woche 4, ab 03.05.2021

 

Abschnitt 1.7: The variational derivative

Abschnitt 1.8: Invariance of Euler's equation

 

Begleitvideo und Tafelbilder zu Abschnitt 1.7

Begleitvideo und Tafelbilder zu Abschnitt 1.8

 

 

Fragen zu Abschnitt 1.7

 

41. Leiten Sie den angegebenen Ausdruck für die Variationsableitung \( \frac{\delta J}{\delta y} \) her.

42. Wie wird die Variationsableitung allgemein definiert?

43. Leiten Sie den angegebenen Zusammenhang der Variationsableitung zur Variation \( \delta J \) her.

 

Fragen zu Abschnitt 1.8

 

44. Was versteht man unter der Invarianz der Euler-Lagrangeschen Gleichung?

45. Studieren Sie das Example.

 

 

Woche 5, ab 10.05.2021

 

Abschnitt 2.9: The fixed end point problem for \( n \) unknown functions

Abschnitt 2.10: Variational problems in parametric form

Abschnitt 2.11: Functionals depending on higher-order derivatives

 

Begleitvideo und Tafelbilder zu Abschnitt 2.9

Begleitvideo und Tafelbilder zu Abschnitt 2.10

Begleitvideo und Tafelbilder zu Abschnitt 2.11

 

 

Fragen zu Abschnitt 2.9

 

46. Formulieren und beweisen Sie das Theorem.

47. Studieren Sie Example 1.

48. Studieren Sie Example 2.

 

Fragen zu Abschnitt 2.10

 

49. Formulieren und beweisen Sie das Theorem.

 

Fragen zu Abschnitt 2.11

 

50. Formulieren Sie das Variationsproblem mit den Randbedingungen (18).

51. Leiten Sie die Euler-Lagrangesche Gleichung (22) her.

 

 

Woche 6, ab 17.05.2021

 

Abschnitt 2.12: Variational problems with subsidiary conditions

 

Fragen zu Abschnitt 2.12

 

52. Wie lautet das (allgemeine) isoperimetrische Problem?

53. Wie lautet das klassische isoperimetrische Problem?

54. Was besagt Theorem 1?

55. Wie lautet das entsprechende Problem mit endlichen Nebenbedingungen?

56. Was besagt Theorem 2?

57. Was versteht man unter holonomen bzw. nichtholonomen Nebenbedingungen?

58. Studieren Sie Example 1.

58. Studieren Sie Example 2.

 

 

Woche 7, ab 24.05.2021

 

Abschnitt 3.13: Derivation of the basic formula

Abschnitt 3.14: End points lying on two given curves or surfaces

 

Fragen zu Abschnitt 3.13

 

59. Beschreiben Sie das allgemeine Variationsproblem.

60. Was bedeutet jetzt \( \triangle J=J[y+h]-J[y]? \)

61. Leiten Sie die allgemeine Variationsformel (5) her.

62. Erläutern Sie den Spezialfall von auf vertikalen Segmenten liegenden Randpunkten.

63. Erläutern Sie den Spezialfall fester Randpunkte.

64. Vergleichen Sie (5) mit der Variationsformel (7).

 

Fragen zu Abschnitt 3.14

 

65. Mit welchem Variationsproblem beginnt dieser Abschnitt?

66. Leiten Sie die Transversalitätsbedingungen auf Seite 60 oben her.

67. Leiten Sie die Transversalitätsbedingungen auf Seite 61 oben her.

68. Welches weitere Variationsproblem wird angesprochen?

 

 

Woche 8, ab 31.05.2021

 

Abschnitt 3.15: Broken extremals. The Weierstrass-Erdmann conditions

Abschnitt 8.39: Minimizing sequences

Abschnitt 8.40: The Ritz method and the method of finite differences

 

Fragen zu Abschnitt 3.15

 

69. Erläutern Sie das Eingangsbeispiele auf den Seiten 61-62.

70. Was versteht man unter einer gebrochenen Extremalen?

71. Formulieren Sie das Variationsproblem für schwache Extrema in der Klasse stetiger und nur

stückweise stetig differenzierbarer Funktionen.

72. Leiten Sie die Weierstraß-Erdmann-Bedingungen in einem Eckpunkt einer Extremalen her.

73. Erläutern Sie die geometrische Interpretation der Weierstraß-Erdmann-Bedingungen in Termen der

Indikatrix der Lagrangedichte \( F(x,y,y'). \)

 

Fragen zu Abschnitt 8.39

 

74. Lesen Sie die Einleitung zu Kapitel 8.

75. Was versteht man unter einer minimierenden Funktionenfolge?

76. Erläutern Sie die allgemeine Strategie einer direkten Methode.

77. Formulieren und beweisen Sie das Theorem?

 

Fragen zu Abschnitt 8.40

 

78. Erläutern Sie die Ritz-Methode.

79. Was versteht man unter einer vollständigen Funktionenfolge?

80. Formulieren und beweisen Sie das Theorem.

81. Studieren Sie die Bemerkungen auf den Seiten 196-197.

82. Was versteht man unter der Methode der finiten Differenzen?

 

 

Woche 9, ab 07.06.2021

 

Abschnitt 8.41: The Sturm-Liouville problem

 

Fragen zu Abschnitt 8.41