MATHEMATISCHE ANALYSIS
Teil I: Zahlen, Folgen und Reihen
1.1 Mathematische Logik
1.1.1 Aussagen und Aussageformen
1.1.2 Verknüpfung von Aussagen
1.1.3 Aussagenlogische Beweisprinzipien
1.1.4 Beweismethoden
1.1.5 Aufgaben
1.1.6 Wiederholungsfragen
1.2 Mengenlehre
1.2.1 Charakterisierung von Mengen
1.2.2 Mengenrelationen und Mengenoperationen
1.2.3 Idempotenz, Kommutativität, Associativität
1.2.4 Operationen mit der leeren Menge
1.2.5 Rechenregeln für Mengen
1.2.6 Abbildungen zwischen Mengen
1.2.7 Kardinalität von Mengen
1.2.8 Quantoren
1.2.9 Aufgaben
1.2.10 Wiederholungsfragen
2. Axiomatisierung der Aussagenlogik und Mengenlehre
2.1 Axiomatisierung der Aussagenlogik
2.1.1 Einleitung
2.1.2 Was ist ein Beweis?
2.1.3 Axiomensystem von Hodel-Shoenfield
2.1.4 Beweis der Kommutativität
2.1.5 Beweis der Regeln der doppelten Verneinung
2.1.6 Erweiterung ...
2.1.7 Beweis der Regel der Kontraposition
2.1.8 Ableitung ausgewählter Syllogismen
2.1.9 Beweis der de Morganschen Regeln
2.1.10 Deduktion, Ersetzung, Substitution
2.1.11 Historische Axiomensysteme
2.2 Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre
2.2.1 Einleitung
2.2.2 Axiom der Existenz
2.2.3 Axiom der Erweiterung
2.2.4 Axiomenschema der specification
2.2.5 Axiom der Paarung
2.2.6 Axiom der Vereinigung
2.2.7 Axiom des Unendlichen
2.2.8 Axiom der Potenzmenge
2.2.9 Axiomenschema of replacement
2.2.10 Axiom of foundation
2.2.11 Das Auswahlaxiom
2.2.12 Indexed families of sets
2.2.13 Choice sets versus choice functions
2.2.14 Alternatives to the axiom of choice
2. Elementary types of numbers
2.1 Natural numbers
2.1.1 Peano-Dedekind-Axiomatik der natürlichen Zahlen
2.1.2 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen
2.1.3 Das Prinzip der vollständigen Induktion
2.1.4 Das Rechnen mit natürlichen Zahlen
2.1.5 Ordnungsstruktur der natürlichen Zahlen
2.1.6 Aufgaben
2.1.7 Wiederholungsfragen
2.2. Integers
2.2.1 Definition der ganzen Zahlen
2.2.2 Addition und Multiplikation ganzer Zahlen
2.2.3 Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen
2.2.4 Ordnungsstruktur der ganzen Zahlen
2.2.5 Aufgaben
2.2.6 Wiederholungsfragen
2.3 Rational numbers
2.3.1 Definition der rationalen Zahlen
2.3.2 Addition und Multiplikation rationaler Zahlen
2.3.3 Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen
2.3.4 Ordnungsstruktur der rationalen Zahlen
2.3.5 Mächtigkeit von Mengen
2.3.6 Abzählbarkeit der rationalen Zahlen
2.3.7 Aufgaben
2.3.8 Wiederholungsfragen
2.4 Introduction to the theory of fields
2.4.1 Definition of a field
2.4.2 Calculus in fields
2.4.3 Ordered fields
2.4.4. The axiom of Archimedes
2.4.5 The absolut value
2.4.6 Exercises
2.5.7 Knowledge questions
3.1 Rational and irrational numbers
3.1.1 Existence of irrational numbers
3.1.2 Erster Schritt: Wahl einer approximierenden Zahlenfolge
3.1.3 Zweiter Schritt: Die geometrische Summenformel
3.1.4 Definition of real numbers
3.1.5 Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen
3.1.6 Aufgaben
3.1.7 Wiederholungsfragen
3.2 Algebraische Struktur reeller Zahlen
3.2.1 Beschränktheit rationaler Cauchyfolgen
3.2.2 Addition und Multiplikation reeller Zahlen
3.2.3 Ordnungsstruktur reeller Zahlen
3.2.4 Die multiplikative Inverse einer reellen Zahl
3.2.5 Reelle Zahlenintervalle
3.2.6 Die reellen Zahlen als Körper
3.2.7 Aufgaben
3.2.8 Wiederholungsfragen
3.3 Weitere Eigenschaften reeller Zahlen
3.3.1 Lösung der p-ten Wurzelgleichung - Beginn
3.3.2 Der binomische Lehrsatz
3.3.3 Lösung der p-ten Wurzelgleichung - Abschluss
3.3.4 Dezimaldarstellung reeller Zahlen
3.3.5 Überabzählbarkeit der reellen Zahlen
3.3.6 Aufgaben
3.3.7 Wiederholungsfragen
3.4 Reelle Zahlenfolgen
3.4.1 Konvergente und divergente Zahlenfolgen
3.4.2 Erste Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen
3.4.3 Dichtheit der rationalen Zahlen, Vollständigkeit der reellen Zahlen
3.4.4 Der Häufungsstellensatz von Weierstraß
3.4.5 Monotone Zahlenfolgen
3.4.6 Der erweiterte Zahlenraum
3.4.7 Infimum und Supremum
3.4.8 Limes inferior und limes superior
3.4.9 Aufgaben
3.4.10 Wiederholungsfragen
4.1 Eigenschaften komplexer Zahlen
4.1.1 Definition komplexer Zahlen
4.1.2 Addition und Multiplikation komplexer Zahlen
4.1.3 Die komplexe Einheit
4.1.4 Die komplexen Zahlen sind nicht anordbar
4.1.5 Die komplexe Ebene
4.1.6 Aufgaben
4.1.7 Wiederholungsfragen
4.2 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
4.2.1 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Komplexen
4.2.2 Aufgaben
4.2.3 Wiederholungsfragen
4.3 Weitere Ungleichungen im Reellen
4.3.1 Die Ungleichung von Engel
4.3.2 Die Umordnungsungleichung
4.3.3 Mittelwerte
4.3.2 Aufgaben
4.3.3 Wiederholungsfragen
5.1 Konvergente und divergente Reihen
5.1.1 Reihen und ihre Partialsummen
5.1.2 Das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen
5.1.3 Die geometrische Reihe
5.1.4 Die harmonische Reihe
5.1.5 Aufgaben
5.1.6 Wiederholungsfragen
5.2 Konvergenzkriterien für Reihen
5.2.1 Das Majorantenkriterium
5.2.2 Das Minorantenkriterium
5.2.3 Das Leibnizkriterium
5.2.4 Das Wurzelkriterium
5.2.5 Das Quotientenkriterium
5.2.6 Aufgaben
5.2.7 Wiederholungsfragen
5.4 Weitere Konvergenzkriterien
5.4.1 Der Satz von Olivier
5.4.2 Das Verdichtungskriterium von Cauchy
5.4.3 Der Abelsche Konvergenzsatz
5.4.4 Der Dirichletsche Konvergenzsatz
5.4.5 Das Konvergenzkriterium von Kummer und Dini
5.4.6 Das Konvergenzkriterium von Gauß
5.4.7 Aufgaben
5.5 Umordnung von Reihen
5.5.1 Absolute und bedingte Konvergenz
5.5.2 Der Begriff der Umordnung
5.5.3 Der erste Riemannsche Umordnungssatz
5.5.4 Der zweite Riemannsche Umordnungssatz
5.5.5 Aufgaben
5.5.6 Wiederholungsfragen
5.6 Doppelreihen
5.6.1 Der Begriff der Doppelreihe
5.6.2 Absolut konvergente Doppelreihen
5.6.3 Der Cauchysche Produktsatz
5.6.4 Aufgaben
5.6.5 Wiederholungsfragen
5.7 Potenzreihen
5.7.1 Definition und die komplexe Exponentialreihe
5.7.2 Der Satz von Cauchy-Hadamard
5.7.3 Konvergenzradius und Konvergenzbereich
5.7.4 Der Cauchysche Produktsatz für Reihen
5.7.5 Die Funktionalgleichung der komplexwertigen Exponentialreihe
5.7.6 Aufgaben
5.7.7 Wiederholungsfragen
Teil II: Funktionen in einer Veränderlichen
6.1 Der Begriff der stetigen Funktion
6.1.1 Grundbegriffe
6.1.2 Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit
6.1.3 Häufungspunkte und isolierte Punkte
6.1.4 Folgenstetigkeit
6.2 Der Raum der stetigen Funktionen
6.2.1 Algebraische Eigenschaften stetiger Funktionen
6.2.2 Der Vektorraum der stetigen Funktionen
6.2.3 Offene, abgeschlossene und kompakte Mengen
6.2.4 Stetigkeit der Umkehrfunktion
6.2.5 Aufgaben
6.2.6 Wiederholungsfragen
6.3 Sätze über stetige Funktionen
6.3.1 Der Fundamentalsatz von Weierstraß
6.3.2 Der Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß
6.3.3 Satz über die monotone Umkehrfunktion
6.3.4 Satz über die gleichmäßige Konvergenz
6.3.5 Aufgaben
6.3.6 Wiederholungsfragen
6.4 Funktionenfolgen
6.4.1 Konvergenzbegriffe
6.4.2 Cauchykriterium zur gleichmäßigen Konvergenz
6.4.3 Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit
6.4.4 Aufgaben
6.4.5 Wiederholungsfragen
6.5 Der Weierstraßsche Majorantentest
6.5.1 Funktionenreihen und gleichmäßige Konvergenz
6.5.2 Der Weierstraßsche Majorantentest
6.5.3 Aufgaben
6.5.4 Wiederholungsfragen
7. Differenzierbare Funktionen
7.1 Der Raum der differenzierbaren Funktionen
7.1.1 Definition
7.1.2 Lineare Approximation und Stetigkeit
7.1.3 Elementare Ableitungsregeln
7.1.4 Differentiation der Umkehrfunktion
7.1.5 Der Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen
7.1.6 Aufgaben
7.1.7 Wiederholungsfragen
7.2 Die allgemeine Potenzfunktion
7.2.1 Natürlicher Logarithmus und die allgemeine Potenzfunktion
7.2.2 Rechenregeln
7.2.3 Ableitung der Potenzfunktion
7.2.4 Aufgaben
7.2.5 Wiederholungsfragen
7.3 Sätze über differenzierbare Funktionen
7.3.1 Der Satz von Rolle
7.3.2 Ein notwendiges Kriterium für lokale Extrema
7.3.3 Mittelwertsätze
7.3.4 Ein hinreichendes Kriterium für strenge lokale Minima und Maxima
7.3.5 Aufgaben
7.3.6 Wiederholungsfragen
7.4 Die Taylorsche Formel
7.4.1 Differentiation von Potenzreihen
7.4.2 Die Taylorsche Formel
7.4.3 Aufgaben
7.4.4 Wiederholungsfragen
7.5 Trigonometrische Funktionen
7.5.1 Definition und Eulersche Relation
7.5.2 Potenzreihenentwicklungen
7.5.3 Additionstheoreme und Winkelverdopplungsformeln
7.5.4 Differentiation der trigonometrischen Funktionen
7.5.5 Einführung der Kreiszahl
7.5.6 Phasenverschiebung und Monotonie der reellen trigonometrischen Funktionen
7.5.7 Polardarstellung komplexer Zahlen
7.5.8 Die Periode der komplexwertigen Exponentialfunktion
7.5.9 Die Nullstellen der komplexen Kosinusfunktion
7.5.10 Aufgaben
7.5.11 Wiederholungsfragen
8. Riemannintegrierbare Funktionen
8.1 Einführung des Riemannschen Integrals
8.1.1 Intervallzerlegungen
8.1.2 Die Riemannsche Zwischensumme
8.1.3 Riemannsches Integral und Riemannintegrierbarkeit
8.1.4 Ein Grenzwertkriterium zur Riemannintegrierbarkeit
8.1.5 Ein Cauchykriterium zur Riemannintegrierbarkeit
8.1.6 Die Dirichletsche Sprungfunktion
8.1.7 Beweis des Grenzwertkriteriums
8.1.8 Beweis des Cauchykriteriums
8.2 Erste Eigenschaften des Riemannntegrals
8.2.1 Linearität des Riemannintegrals
8.2.1 Monotonie des Riemannintegrals
8.2.3 Beschränktheit Riemannintegrierbarer Funktionen
8.3 Das Riemann-Darboux-Integral
8.3.1 Riemann-Darbouxsche Unter- und Obersummen
8.3.2 Zerlegunsgverfeinerungen
8.3.3 Riemann-Darboux-Integrierbarkeit
8.3.4 Ein Cauchykriterium zur Riemann-Darboux-Integrierbarkeit
8.3.5 Ein Stetigkeitskriterium zur Riemann-Darboux-Integrierbarkeit
8.3.6 Äquivalenz beider Begriffe
8.4 Weitere Eigenschaften des Riemannintegrals
8.4.1 Integrierbarkeit des Absolutbetrags
8.4.2 Integrierbarkeit des Produktes
8.4.3 Integrierbarkeit Lipschitzstetiger Kompositionen
8.5 Monotone und stetige Funktionen
8.5.1 Riemannintegrierbarkeit monotoner Funktionen
8.5.2 Riemannintegrierbarkeit stetiger Funktionen
8.6 Mittelwertsätze
8.6.1 Der allgemeine Mittelwertsatz
8.6.1 Der klassische Mittelwertsatz
8.7 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
8.7.1 Der Fundamentalsatzes
8.7.2 Stammfunktionen
8.7.3 Wichtige Stammfunktionen
8.8 Wichtige Integrationsregeln
8.8.1 Die Regel der partiellen Integration
8.8.2 Die Substitutionsregel
8.8.3 Partialbruchzerlegung
8.8.4 Integration vermittels Partialbruchzerlegung
8.8.5 Integranden mit Exponentialfunktionen
8.8.6 Integranden mit hyperbolischen Funktionen
8.8.7 Integranden mit Winkelfunktionen
8.8.8 Integranden mit Quadratwurzeln
8.8.9 Integranden mit Potenzen
8.9 Integration und Grenzwertbildung
8.9.1 Der Vertauschbarkeitssatz
8.9.2 Der Satz von Arzela
8.10 Eulerzahl und Kreiszahl
8.11 Planetenbewegung
Teil IV: Grundlagen der Topologie
9.1 Metrische Räume
9.2 Normierte Räume
9.3 Offene Mengen
9.4 Abgeschlossene Räume
9.5 Topologische Räume
10. Konvergenz in metrischen Räumen
Teil V: Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen
Partielle und vollständige Differenzierbarkeit
Taylorformel und Extremwertaufgaben
Teil VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Lineare Gleichungen und Systeme
Exakte Differentialgleichungen
Abhängigkeit der Lösungen von den Daten
Teil VII: Maß- und Integrationstheorie
\( \circ\quad \)Das Maßproblem
Ein erstes Beispiel
Um was es geht
\( \circ\quad \)Der Jordaninhalt
Jordanmessbare Mengen
Eigenschaften des Jordaninhalts
Subadditivität
Was ein Maß leisten sollte
\( \circ\quad \)Das Lebesguemaß
Definition
Erste Eigenschaften
Jordaninhalt und äußeres Lebesguemaß
Subadditivität
\( \circ\quad \)Lebesguemessbare Mengen
Definition
Eine alternative Definition
Erste Beispiele
Jordanmessbarkeit und Lebesguemessbarkeit
\( \circ\quad \)Sigma-Algebren
Der Begriff der Sigma-Algebra
Die Sigma-Algebra der Lebesguemessbaren Mengen
Lebesguemessbarkeit offener und abgeschlossener Mengen
Borelmengen
\( \circ\quad \)Approximation Lebesguemessbarer Mengen
Der Approximationssatz
Sätze über Lebesguemessbare Funktionen
Teil VIII: Das Hausdorffsche Maß
Teil IX: Potentialtheorie
Klassische Differentialoperatoren
Teil X: Der Satz von Stokes
Teil XI: Folgen- und Funktionsräume
Teil XII: Theorie der Hilberträume
Teil XIII: Darstellungssätze und schwache Konvergenz
Teil XIV: Sätze der Funktionalanalysis