AXIOME DER STETIGKEIT
Es sei \( A_1 \) ein beliebiger Punkt auf einer Geraden zwischen den beliebig gegebenen, aber voneinander verschiedenen Punkten \( A \) und \( B. \) Man konstruiere dann die ebenfalls voneinander verschiedenen Punkte \( A_2,A_3,A_4,\ldots, \) so dass \( A_1 \) zwischen \( A \) und \( A_2, \) ferner \( A_2 \) zwischen \( A_1 \) und \( A_3, \) ferner \( A_3 \) zwischen \( A_3 \) und \( A_4 \) usw. liegt und überdies die Strecken \[ AA_1\,,\quad A_1A_2\,,\quad A_2A_3\,,\quad A_3A_4\,,\ \ldots \] einander gleich sind. Dann gibt es in der Reihe der Punkte \( A_2,A_3,A_4,\ldots \) stets einen solchen Punkt \( A_n, \) dass \( B \) zwischen \( A \) und \( A_n \) liegt.
Die Elemente (Punkte, Geraden, Ebenen) der Geometrie bilden ein System von Dingen, welches bei Aufrechterhaltung sämtlicher genannten Axiome keiner Erweiterung mehr fähig ist, d.h. zu dem System der Punkte, Geraden, Ebenen ist es nicht möglich, ein anderes System von Dingen hinzuzufügen, so dass in dem durch Zusammensetzung entstehenden System sämtliche aufgeführten Axiome I bis IV und V.1 erfüllt sind.