Präsenzblatt 2
Aufgabe PA 5
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
Zu zeigen ist die Richtigkeit von \[ A_n\,:\ \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
| (i) | Induktionsanfang: Die Aussage \( A_n \) gilt für \( n=1, \) denn |
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| (ii) | Induktionsschluss: Die Aussage gelte für ein \( n\in\mathbb N. \) Dann ist |
\begin{align} \sum_{k=1}^{n+1}k^2\negthickspace &= \sum_{k=1}^nk^2+(n+1)^2 \,=\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \\[1ex] &= \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \,=\,\frac{(n+1)\big[(2n+1)n+6(n+1)\big]}{6} \\[1ex] &= \frac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6} \,=\,\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\,, \end{align}
| und das ist die Aussage \( A_{n+1}. \) |
Nach dem Prinzip der vollständigen gilt die Aussage \( A_n \) für alle \( n\in\mathbb N. \)\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 6
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^n2^k=2^{n+1}-2\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
Zu zeigen ist die Richtigkeit von \[ A_n\,:\quad\sum_{k=1}^n2^k=2^{n+1}-2\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
| (i) | Induktionsanfang: Die Aussage \( A_n \) gilt für \( n=1, \) denn |
\[ \sum_{k=1}^12^k=2^1=2 \quad\mbox{und}\quad 2^{n+1}-2\,\Big|_{n=1}=2^2-2=4-2=2. \]
| (ii) | Induktionsschluss: Die Aussage gelte für ein \( n\in\mathbb N. \) Dann ist |
\[ \sum_{k=1}^{n+1}2^k =\sum_{k=1}^n2^k+2^{n+1} =2^{n+1}-2+2^{n+1} =2\cdot 2^{n+1}-2 =2^{n+2}-2, \]
| und das ist die Aussage \( A_{n+1}. \) |
Nach dem Prinzip der vollständigen gilt die Aussage \( A_n \) für alle \( n\in\mathbb N. \)\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 7
Kann die Summe von vier beliebigen, aber aufeinanderfolgenden, positiven natürlichen Zahlen eine Primzahl sein? Begründen Sie Ihre Antwort.
Die vier aufeinanderfolgenden, positiven natürlichen Zahlen seien \( n, \) \( n+1, \) \( n+2, \) \( n+3. \) Dann ist \[ n+(n+1)+(n+2)+(n+3) =4n+(1+2+3) =4n+6 =2(2n+3). \] Die Summe ist also durch \( 2 \) ohne Rest teilbar und damit keine Primzahl.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 8
Gesucht sind alle Zahlen \( n\in\mathbb N, \) die sämtlichen der folgenden Bedingungen genügen:
| (i) | \( 10\lt n\lt 1201, \) |
| (ii) | \( n \) ist sowohl durch \( 3 \) als auch durch \( 4 \) als auch durch \( 5 \) teilbar, |
| (iii) | \( n \) ist nicht durch \( 8, \) nicht durch \( 9 \) und nicht durch \( 25 \) teilbar, |
| (iv) | \( n \) lässt bei Division durch \( 11 \) einen durch \( 2 \) teilbaren Rest. |
Es handelt sich um die Zahlen \( 420, \) \( 660, \) \( 780, \) \( 1020.\qquad\Box \)