Präsenzblatt 3
Aufgabe PA 9 (Galileis Paradoxon)
Einerseits gibt es weniger Quadratzahlen, also Zahlen der Form \( n^2 \) mit \( n\in\mathbb N, \) als natürliche Zahlen, da alle Quadratzahlen natürlich sind, aber z.B. die Zahl \( 3 \) kein Quadrat ist. Andererseits, so argumentierte Galilei, gibt es „genau so viele“ Quadratzahlen wir natürliche Zahlen. Was könnte Galileis Argument gewesen sein? Gibt es einen Widerspruch?
Aufgabe PA 10 (Kreuzprodukte abzählbarer Mengen sind abzählbar)
Es seien \( A=\{a_1,a_2,\ldots\} \) und \( B=\{b_1,b_2,\ldots,\} \) zwei abzählbar unendliche Mengen. Verdeutlichen Sie durch ein geeignetes geometrisches Schema, dass dann auch das Kreuzprodukt \[ A\times B:=\{(a,b)\,:\,a\in A,\ b\in B\} \] abzählbar unendlich ist.
Aufgabe PA 11 (Zum Absolutbetrag)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
| (i) | Es gilt \( |x|\ge 0 \) für alle \( x\in\mathbb R. \) |
| (ii) | Es gilt \( |x|\le a \) mit einem reellen \( a\ge 0 \) genau dann, wenn \( -a\le x\le a. \) |
Aufgabe PA 12 (Summe der ersten \( n \) Quadratzahlen)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,3,\ldots \]