axiom ix und theoreme
Einleitung
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Axiom IX
Axiom IX
\( ( a,b\in{\mathcal P}\ \mbox{und}\ b,c\in ad ) \longrightarrow ( b=c\ \mbox{oder}\ b\in ac\ \mbox{oder}\ b\in cd ) \)
Theoreme zu Axiom IX
Theorem 86 (Peano §7P2)
Es seien \( a,d\in{\mathcal P} \) und \( c\in ad. \) Dann gilt
\[ ad\subseteq(ac\cup c\cup cd). \]
| Beweis | ||
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Nach Voraussetzung ist \( c\in ad. \) Sei ein \( x\in ad \) beliebig gewählt. |
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1. |
\( \vdash\ (x=c)\vee(x\in ac)\vee(x\in cd) \) |
(Vor, Ax IX) |
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2. |
\( \vdash\ x\in ac\cup c\cup cd \) |
(1) |
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Damit ist die Behauptung bewiesen. \( \quad\Box \) |
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Theorem 87 (Peano §7P3)
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in ab. \) Dann gilt
\[ ab\subseteq(ac\cup c\cup cb). \]
| Beweis | |
|
Die Behauptung ist eine Umformulierung von Theorem 86. \( \quad\Box \) |
Theorem 88
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in ab. \) Dann gilt
\[ ab = ac\cup c\cup cb. \]
Theorem 89
Es seien \( a,d\in{\mathcal P}, \) \( b\in ad \) und \( c\in bd. \) Dann gilt
\[ b\in ac. \]
Theorem 90
Es seien \( a,d\in{\mathcal P} \) und \( b\in ad. \) Dann gilt
\[ bd\subseteq a'b. \]
Theorem 91
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in a'b. \) Dann gilt
\[ bc\subseteq a'b. \]
Theorem 92
Es seien\( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in a'b. \) Dann gilt
\[ (bc\cup c\cup a'c)\subseteq a'b. \]
Theorem 93
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in a'b. \) Dann gilt
\[ ( bc\cap a'b ) \not=\emptyset\,. \]
Theorem 94
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in a'b. \) Dann gilt
\[ c\in b'a'b. \]
Theorem 95
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ ( a'b\subseteq b'a'b. \]
Theorem 96
Es seien \( a,c\in{\mathcal P} \) und \( b\in ac. \) Dann gilt
\[ ( ac\cap a'b ) \not=\emptyset\,. \]
Theorem 97
Es seien \( a,c\in{\mathcal P} \) und \( b\in ac. \) Dann gilt
\[ b\in aac. \]
Theorem 98
Es seien \( a,c\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ ac\subseteq aac. \]
Theorem 99
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ ab\subseteq aab. \]
Theorem 100
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ aab=ab. \]
Theorem 101
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in a'b. \) Dann gilt
\[ c\in a'a'b. \]
Theorem 102
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ a'b\subseteq a'a'b. \]
Theorem 103
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ a'a'b=a'b. \]
Theorem 104
Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( k\in{\mathcal K}. \) Dann gilt
\[ aak=ak. \]
Theorem 105
Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( k\in{\mathcal K}. \) Dann gilt
\[ a'a'k=a'k. \]
Theorem 106
Es seien \( b,d\in{\mathcal P} \) und \( c\in bd. \) Dann gilt
\[ d'b\subseteq c'b. \]
Theorem 107
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in a'b. \) Dann gilt
\[ a'c\subseteq b'c. \]
Theorem 108
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in a'b. \) Dann gilt
\[ b'c\cap a'b\not=\emptyset\,. \]
Theorem 109
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in a'b. \) Dann gilt
\[ c\in bba'\,. \]
Theorem 110
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ a'b\subseteq bba'\,. \]
Theorem 111
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( a'b\cap b'c \not=\emptyset. \) Dann gilt
\[ b\in ac. \]
Theorem 112
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in bba'. \) Dann gilt
\[ c\in ba'\,. \]
Theorem 113
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ bba'\subseteq ba'\,. \]
Theorem 114
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ bba'=ba'\,. \]
Theorem 115
Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( k\in{\mathcal K}. \) Dann gilt
\[ aak'=ak'\,. \]
Theorem 116
Es seien \( a,e\in{\mathcal P}, \) \( c\in ae, \) \(b\in ac \) und \( d\in ce. \) Dann gilt
\[ c\in bd. \]
Theorem 117
Es gibt keine \( a,b,c,e\in{\mathcal P} \) mit
\[ (c\in ae)\quad\mbox{und}\quad(b\in ac)\quad\mbox{und}\quad(b\in ce). \]
Theorem 118
Es seien \( a,e\in{\mathcal P} \) und \( c\in ae. \) Dann gilt
\[ ac\cap ce = \emptyset\,. \]
Theorem 119
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in ab. \) Dann gilt
\[ ac\cap cb = \emptyset\,. \]
Theorem 120
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ a'b\subseteq(ab)''\,. \]
Theorem 121
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) mit \( a\not=b. \) Dann gilt
\[ (b'a\cup a\cup ab\cup b\cup a'b)\subseteq(ab)''\,. \]
Theorem 122
Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( k\in{\mathcal K} \) mit \( a\not\in k. \) Dann gilt
\[ (k'a\cup a\cup ak\cup k\cup a'k)\subseteq(ak)''\,. \]
Theorem 123
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in bc. \) Dann gilt
\[ \big[ (bc)'a\cup a\cup abc\cup bc\cup a'bc \big] \subseteq (abc)''\,. \]
Theorem 124
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}, \) \( c\in a'b \) und \( d\in ac. \) Dann gilt
\[ d\in ( ab\cup b\cup a'b ). \]
Theorem 125
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( d\in aa'b. \) Dann gilt
\[ d\in ( ab\cup b\cup a'b ). \]
Theorem 126
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ aa'b \subseteq ( ab\cup b\cup a'b ). \]
Theorem 127
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) mit \( a\not=b. \) Dann gilt
\[ aa'b = ( ab\cup b\cup a'b ). \]
Theorem 128
Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( k\in{\mathcal K} \) mit \( a\not\in k. \) Dann gilt
\[ aa'k = ( ak\cup k\cup a'k ). \]
Theorem 129
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c,d\in ab. \) Dann gilt
\[ cd\subseteq ab. \]
Theorem 130
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ ab\in\mbox{Conv}. \]
Theorem 131
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ (a\cup ab)\in\mbox{Conv}. \]
Theorem 132
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ (a\cup ab\cup b)\in\mbox{Conv}. \]