BOLZANOS AXIOMATIK DER GEOMETRIE II

 

ERKLÄRUNGEN

 

Erklärung 1 (§25): Innerhalb oder zwischen

Man nenne (der Kürze wegen) den Punkt \( m \) innerhalb oder zwischen \( a \) und \( b, \) wenn die Richtungen \( ma, \) \( mb \) entgegengesetzt sind.

Erklärung 2 (§26): Gerade Linie

Ein Ding, welches alle jene, und nur jene Punkte enthält, die zwischen den zwei Punkten \( a \) und \( b \) liegen, heißt eine gerade Linie zwischen \( a \) und \( b. \)

LEHRSÄTZE

 

Lehrsatz 1 (§10)

Zu einem gegebenen Punkte \( a \) und in einer gegebenen Richtung \( aR \) gibt es einen und nur einen Punkt \( m, \) dessen Entfernung von \( a \) der gegebenen des Punktes \( y \) von \( x \) gleiche.

Beweis

Dass es einen Punkt zu \( a \) von der gegebenen Entfernung gebe, folgt daraus, weil es widrigenfalls einen Unterschied nicht aufeinander bezogener Punkte \( a, \) \( x \) gäbe. Dass es einen solchen Punkt auch in der gegebenen Richtung zu \( a \) gebe, folgt daraus, weil wir sonst eine besondere Vorstellung von einer bestimmten Richtung \( aR \) haben müssten. - Dass es endlich nur einen gebe, folgt aus §9.
  


Anmerkung

Der hier zitierte §9 besagt:

Die Annahme des Punktes \( a, \) und die Entfernung und Richtung des Punktes \( b \) bestimmen diesen (exdef). Und umgekehrt der Punkt \( b \) bestimmt die Entfernung von \( a \) und die Richtung zu \( a. \) – Zwey verschiedene Richtungen also aus demselben Punkte \( a \) können keinen einzigen Punkt gemein haben, d. h. keinem gemeinschaftlich zukommen.

 

 

 

Lehrsatz 2 (§17)

Wenn in den Richtungen \( aC, \) \( a\Gamma \) die Punkte \( c, \) \( \gamma \) in gleichen Entfernungen von \( a, \) dann in den Richtungen \( ca, \) \( \gamma a \) abermals die Punkte \( m, \) \( \mu \) in gleichen Entfernungen von \( c, \) \( \gamma \) genommen werden, so sind die Winkel \( ca\mu=\gamma am. \)

 

 

Lehrsatz 3 (§19)

Wenn die Richtung \( ac \) des Punktes \( c \) zu \( a \) durch ihren Winkel mit der Richtung \( ab \) des Punktes \( b \) zu \( a \) nicht bestimmt wird: so wird auch die Richtung \( bc \) durch den Winkel, den sie mit
der Richtung \( ba \) bildet, nicht bestimmt.

 

 

Lehrsatz 4 (§23)

Wenn die zwei Richtungen \( oa, \) \( ob \) weder einerlei, noch entgegengesetzt sind, so haben die zwei Richtungen \( ao, \) \( bo \) nur den einzigen Punkt \( o \) gemein.

Lehrsätze den Erklärungen 1 und 2 nachfolgend

Lehrsatz 5 (§28)

Zwei gegebene Punkte bestimmen die gerade Linie, die zwischen denselben liegt.

 

 

Lehrsatz 6 (§29)

Wenn für die Entfernungen \( ab=\alpha\beta \) gilt, so ist auch für die Geraden \( ab=\alpha\beta. \)

 

 

Lehrsatz 7 (§30)

Zu jeglichen zwei gegebenen Punkten \( a, \) \( b \) gibt es einen und nur einen Mittelpunkt, d.h. einen Punkt, der aus beiden auf gleiche Art bestimmt wird.

 

 

Lehrsatz 8 (§31)

Wenn der Punkt \( c \) innerhalb der Punkte \( a, \) \( b \) liegt, so sind die geraden Linien zwischen \( a, \) \( c \) und zwischen \( b, \) \( c \) Teile, deren Ganzes die gerade Linie zwischen \( a, \) \( b. \)

 

 

Lehrsatz 9 (§32)

Wenn die Punkte \( m, \) \( n \) beide innerhalb der \( a, \) \( b \) liegen, so ist die Gerade \( mn \) ein Teil der Geraden \( ab. \)

 

 

Lehrsatz 10 (§34)

Jede gerade Linie \( ab \) kann in eine gegebene Anzahl gleicher Teile abgeteilt werden, welche zusammen die ganze \( ab \) wiedergeben.

 

 

Lehrsatz 11 (§35)

Das Maß und die Zahl (also die Größe) bestimmen die gerade Linie, der sie zukommen.

 

 

Lehrsatz 12 (§37)

Wenn die Richtungen \( ca, \) \( cb \) entgegengesetzt, und die Größen der Linien \( ac, \)  \( cb \) bei einem gemeinsamen Maße durch die Zahlen \(m, \) \( n \) ausgedrückt sind, so ist die Größe der Geraden \( ab \) bei gleichem Maße durch die Zahl \( m+n \) ausgedrückt.

 

 

Lehrsatz 13 (§38)

Wenn die Richtungen \( ab, \) \( ac \) einerlei, und die Größen der Linien \( ab, \) \( ac \) bei einem gemeinsamen Maße durch die Zahlen \( m+n, \) \( m \) ausgedrückt sind, so ist die Größe der Geraden \( bc \)  bei gleichem Maße durch die Zahl \( n \) ausgedrückt.

 

 

Lehrsatz 14 (§39)

Zu jeglichen drei Entfernungen \( ab, \) \( cd \) und \( \alpha\beta \) gibt es noch eine vierte \( \gamma\delta \) von der Beschaffenheit, dass alle Prädikate, welche aus der Vergleichung der beiden Entfernungen \( ab, \) \( cd \) entspringen, gleich seien den Prädikaten, welche die Vergleichung der beiden \( \alpha\beta, \) \(\gamma\delta \) liefert.

 

 

Lehrsatz 15 (§41)

Dasselbe (§39) gilt auch von geraden Linien.