theoreme zu den Definitionen 6,7 und 8

Bedeutung der Theoreme

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Darstellung der Theoreme

Theorem 17 (Peano §3P17)

Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( h,k\in{\mathcal F}. \) Dann gilt \[ (a\in hk)\longleftrightarrow(\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{und ein}\ z\in k\ \mbox{mit}\ x\in yz). \]

Beweis:
Es sei \( a\in hk. \) Wir zeigen die Existenz von \( y\in h \) und \( z\in k \) mit \( a\in yz. \)
1.
 Es ist \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in yk\} \)
 (Def 6)
2.
 Es gibt ein \( y\in h \) mit \( a\in yk \)
 (1)
3.
 Es ist \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ z\in k\ \mbox{mit}\ x\in yz\} \)
 (2, Def 3)
4.
 Es gibt \( y\in h \) und \( z\in k \) mit \( a\in yz \)
 (2, 3)
Es existieren \( y\in h \) und \( z\in k \) mit \( a\in yz. \) Wir zeigen \( a\in hk. \)
5.
 Es gibt \( y\in h \) mit \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ z\in k\ \mbox{mit}\ x\in yz) \)
6.
 Es gibt ein \( y\in h \) mit \( a\in yk \)
 (5, Def 3)
7.
 Es ist \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in yk\} \)
 (6)
8.
 Es ist \( a\in hk \)
 (7, Def 6)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. \( \quad\Box \)


 

 

Theorem 18 (Peano §3P18)

Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( h,k\in{\mathcal F}. \) Dann gilt \[ (a\in h'k)\longleftrightarrow(\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{und ein}\ z\in k\ \mbox{mit}\ x\in y'z). \]

Beweis:
Es sei \( a\in h'k. \) Wir zeigen die Existenz von \( y\in h \) und \( z\in k \) mit \( a\in y'z. \)
1.
 Es ist \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in y'k\} \)
 (Def 7)
2.
 Es gibt ein \( y\in h\) mit \( a\in y'k \)
 (1)
3.
 Es ist \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ z\in k\ \mbox{mit}\ x\in y'z\} \)
 (2, Def 7)
4.
 Es gibt \( y\in h \) und \( z\in k \) mit \( a\in y'z \)
 (2, 4)
Es existieren \( y\in h \) und \( z\in k \) mit a\in y'z. \) Wir zeigen \( a\in h'k. \)
5.
 Es gibt \( y\in h \) mit \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt}\ z\in k\ \mbox{mit}\ x\in y'z\} \)
6.
 Es gibt ein \( y\in h \) mit \( a\in y'k \)
 (5, Def 4)
7.
 Es ist \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in y'k\} \)
 (6)
8.
 Es ist \( a\in h'k \)
 (7, Def 7)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. \( \quad\Box \)


 

 

Theorem 19 (Peano §3P19)

Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( h,k\in{\mathcal F}. \) Dann gilt \[ (a\in hk')\longleftrightarrow(\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{und ein}\ z\in k\ \mbox{mit}\ x\in yz'). \]

Beweis:
Es sei \( a\in hk'. \) Wir zeigen die Existenz von \( y\in h \) und \( z\in k \) mit \( a\in yz'. \)
1.
 Es ist \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in yk'\} \)
 (Def 8)
2.
 Es gibt ein \( y\in h \) mit \( a\in yk' \)
 (1)
3.
 Es ist \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ z\in k\ \mbox{mit}\ x\in yz'\} \)
 (2, Def 5)
4.
 Es gibt \( y\in h \) und \( z\in k \) mit \( a\in yz' \)
 (2, 4)

Es existieren \( y\in h \) und \( z\in k \) mit \( a\in yz'. \) Wir zeigen \( a\in hk'. \)
5.
 Es gibt \( y\in h \) mit \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt}\ z\in k\ \mbox{mit}\ x\in yz'\} \)
6.
 Es gibt ein \( y\in h \) mit \( a\in yk' \)
 (5, Def 5)
7.
 Es ist \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ a\in yk'\} \)
 (6)
8.
 Es ist \( a\in hk' \)
 (7, Def 8)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. \( \quad\Box \)


 

 

Theorem 20 (Peano §3P20)

Es seien \( h,k,l\in{\mathcal F} \) mit \( h\subseteq k. \) Dann gelten \[ hl\subseteq kl\quad\mbox{und}\quad h'l\subseteq k'l\quad\mbox{und}\quad hl'\subseteq kl'\,. \]

 

 

Theorem 21 (Peano §3P21)

Es seien \( h,k,l\in{\mathcal F}. \) Dann gelten \[ (h\cup k)l=hl\cup hk\quad\mbox{und}\quad(h\cup k)'l=h'l\cup k'l\quad\mbox{und}\quad(h\cup k)l'=hl'\cup kl'\,. \]

 

 

Theorem 22 (Peano §3P22)

Es seien \( h,k\in{\mathcal F} \) mit \( h=\emptyset. \) Dann gelten \[ hk=h'k=hk'=\emptyset\,. \]

Beweis: Wir beweisen nur die erste Aussage. Existiert nämlich ein \( z\in{\mathcal P} \) mit

\[ z\in hk=\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in yk\}\,, \]

so existiert auch ein \( y\in h \) mit \( x\in yk. \) Es ist aber \( h=\emptyset. \) Widerspruch. \( \quad\Box \)