Einleitung

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Axiome XII und XIII

Axiom XII

\( (r\in{\mathcal G})\longrightarrow(\mbox{es gibt ein}\ x\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ x\not\in r) \)

Axiom XIII

\( \big[ a,b,c\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ (a,b,c)\not\in\mbox{Col}\ \mbox{und}\ d\in bc\ \mbox{und}\ e\in ad \big]\longrightarrow(\mbox{es gibt ein}\ f\in ac\ \mbox{mit}\ e\in bf) \)

Theoreme zu den Axiomen XII und XIII

Theorem 172

Es seien \( a,b,c,e\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( bc\cap a'e\not=\emptyset. \) Dann gilt

\[ ac\cap b'e\not=\emptyset\,. \]

Theorem 173

Es seien \( a,b,c,e\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt

\[ (bc\cap a'e\not\in\emptyset)\longleftrightarrow(ac\cap b'e\not=\emptyset). \]

Theorem 174

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt

\[ (e\in abc)\longleftrightarrow(e\in bac). \]

Theorem 175

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt

\[ abc=bac. \]

Theorem 176

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt

\[ abc=(ab)c. \]

Theorem 177

Es seien \( a,b,e\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,e)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gelten

\[ (c\in b'a'e)\longleftrightarrow(c\in a'b'e)\longleftrightarrow\big[c\in(ab)'e\big]. \]

Theorem 178

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gelten

\[ b'a'c=a'b'c=(ab)'c. \]

Theorem 179

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) sowie \( p\in ab \) und \( q\in ac. \) Dann gilt

\[ pq\subseteq abc. \]

Theorem 180

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in bc \) sowie \( p\in ab \) und \( q\in ac. \) Dann gilt

\[ pq\subseteq abc. \]

Theorem 181

Es seien \( k\in\mbox{Conv}, \) \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in k, \) ferner \( b,c\in k \) sowie \( p\in ab \) und \( q\in ac. \) Dann gilt

\[ pq\subseteq ak. \]

Theorem 182

Es seien \( k\in\mbox{Conv} \) und \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in k. \) Dann gilt

\[ ak\in\mbox{Conv}. \]

Theorem 183

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in bc. \) Dann gilt

\[ abc\in\mbox{Conv}. \]

Theorem 184

Es seien \( a,b,c,d\in{\mathcal P} \) mit \( b\not\in cd \) und \( a\not\in bcd. \) Dann gilt

\[ abcd\in\mbox{Conv}. \]

Theorem 185

Es seien \( k\in\mbox{Conv} \) und \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in k. \) Dann gilt

\[ (ak\cup k)\in\mbox{Conv}. \]

Theorem 186

Es seien \(  k\in\mbox{Conv} \) und \( a\in{\mathcal P}. \) Dann gilt

\[ (a\cup ak)\in\mbox{Conv}. \]

Theorem 187

Es seien \( k\in\mbox{Conv} \) und \( a\in{\mathcal P}. \) Dann gilt

\[ (a\cup ak\cup k)\in\mbox{Conv}. \]

Theorem 188

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) sowie \( d\in bc, \) \( e\in ad \) und \( x\in b'e. \) Dann gilt

\[ x\in(adc\cup ac\cup b'ac). \]

Theorem 189

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d\in bc. \) Dann gilt

\[ b'ad\subseteq(adc\cup ac\cup b'ac). \]

Theorem 190

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt

\[ bc'\subseteq(abc)''\,. \]

Theorem 191

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt

\[ (a\cup b\cup c\cup ab\cup\ldots\cup a'b\cup\ldots\cup abc\cup a'bc\cup\ldots\cup a'b'c\cup\ldots)\subseteq(abc)''\,. \]

Theorem 192

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt

\[ (bc)''\subseteq(abc)''\,. \]

Theorem 193

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( r\in(bc)''. \) Dann gilt

\[ a'r\subseteq(abc)''\,. \]

Theorem 194

Es seien \( p\in{\mathcal E} \) und \( r\in{\mathcal G}. \) Dann existiert ein \( x\in p \) mit \( x\not\in r. \)

Theorem 195

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \(  (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( p\in abc. \) Dann gilt

\[ abc=(p\cup pa\cup pab\cup pb\cup pbc\cup pc\cup pca). \]

Theorem 196

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) sowie \( p,q\in abc \) mit \( p\not=q. \) Dann gilt

\[ p'q\cap(a\cup ab\cup b\cup bc\cup c\cup ca)\not=\emptyset\,. \]

Theorem 197

Es seien \( r\in{\mathcal G} \) und \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in r, \) ferner \( b\in r, \) \( c\in b'a \) und \( d\in a'r. \) Dann gilt

\[ d\in c'r. \]

Theorem 198

Es seien \( r\in{\mathcal G} \) und \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in r, \) ferner \( b\in r \) und \( c\in b'a. \) Dann gilt

\[ a'r\subseteq c'r. \]

Theorem 199

Es seien \( r\in{\mathcal G} \) und \( c\in{\mathcal P} \) mit \( c\not\in r \) sowie \( a\in cr. \) Dann gilt

\[ a'r\subseteq c'r. \]

Theorem 200

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( p\in abc. \) Dann gilt

\[ p'abc\subseteq(a\cup\ldots\cup ab\cup\ldots\cup a'b\cup\ldots\cup abc\cup a'bc\cup\ldots\cup a'b'c\cup\ldots). \]

Theorem 201

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt
\[ \begin{eqnarray*}
     (abc)'' & = & (a\cup b\cup c\cup ab\cup ac\cup bc\cup a'b\cup ab'\cup b'c\cup cb'\cup c'a\cup ac'\cup\ldots \\
             &   & \quad\ldots\,\cup\,abc\cup a'bc\cup b'ca\cup c'ab\cup a'b'c\cup b'c'a\cup c'a'b).
   \end{eqnarray*} \]

Theorem 202
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt
\begin{eqnarray*}
  \big[x\in(abc)''\big]
  & \longleftrightarrow &
       \big[
         (a,b,x)\in\mbox{Col}
         \ \mbox{und}
         \ (a,c,x)\in\mbox{Col}
         \ \mbox{und}
         \ (b,c,x)\in\mbox{Col} \\
  & &
         \quad
           \mbox{und}
         \ x\in abc
         \ \mbox{und}
         \ a\in bcx
         \ \mbox{und}
         \ b\in acx
         \ \mbox{und}
         \ c\in abx \\
  & &
         \quad
           \mbox{und}
         \ (ax\cap bc)\not=\emptyset
         \ \mbox{und}
         \ (bx\cap ac)\not=\emptyset
         \ \mbox{und}
         \ (cx\cap ab)\not=\emptyset
       \big].
\end{eqnarray*}