AXIOMENSYSTEME DER AUSSAGENLOGIK

• G. Frege (1879)
• B. Russell, A.N. Whitehead (1910)
• D. Hilbert (1922)
• W. Ackermann, D. Hilbert (1928)
• J. Lukasiewicz, A. Tarski (1930)
• J. Lukasiewicz (1930, 1. Alternative)
• J. Lukasiewicz (1930, 2. Alternative)
• J. Lukasiewicz (1930, 3. Alternative)
• J. Lukasiewicz, A. Tarski (1930)
• P. Bernays, D. Hilbert (1934)
• J.B. Rosser (1953)
• W. Ackermann, D. Hilbert (1959)
• S.C. Kleene (1967)
• J.R. Shoenfield (1967)
• S. Tanaka (1967)
• E. Mendelson (1997)

G. Frege

Entnommen aus: Begriffsschrift (1879); siehe auch Begriffsschrift und andere Aufsätze (2014)

Axiome:

1. \( \quad a\to(b\to a) \)
2. \( \quad [c\to(b\to a)]\to[(c\to b)\to(c\to a)] \)
3. \( \quad [c\to(b\to a)]\to[b\to(c\to a)] \)
4. \( \quad (b\to a)\to(\neg a\to\neg b) \)
5. \( \quad \neg\neg a\to a \)
6. \( \quad a\to\neg\neg a \)

B. Russell, A.N. Whitehead

Entnommen aus: Principia mathematica 1 (1910)

Axiome:

1. \( \quad a\vee a\to a \)
2. \( \quad b\to a\vee b \)
3. \( \quad a\vee b\to b\vee a \)
4. \( \quad a\vee(b\vee c)\to b\vee(a\vee c) \)
5. \( \quad (b\to c)\to(a\vee b\to a\vee c) \)

S. Hilbert

Entnommen aus: Die logischen Grundlagen der Mathematik (1922)

Axiome:

1. \( \quad a\to(b\to a) \)
2. \( \quad [a\to(a\to b)]\to(a\to b) \)
3. \( \quad [a\to(b\to c)]\to[b\to(a\to c)] \)
4. \( \quad (b\to c)\to[(a\to b)\to(a\to c)] \)
5. \( \quad a\to(\neg a\to b) \)
6. \( \quad (a\to b)\to[(\neg a\to b)\to b] \)

Schlussregel:

1. Modus Ponens

W. Ackermann, D. Hilbert

Entnommen aus: Grundzüge der theoretischen Logik (1928)

Axiome:

1. \( \quad a\vee a\to a \)
2. \( \quad a\to a\vee b \)
3. \( \quad a\vee b\to b\vee a \)
4. \( \quad (a\to b)\to(c\vee a\to c\vee b) \)

Schlussregel:

1. Einsetzungsregel
2. Modus Ponens

J. Lukasiewicz, A. Tarski

Entnommen aus: Untersuchungen über den Aussagenkalkül (1930); siehe auch J. Lukasiewicz: Elements of mathematical logic (1963)

Axiome:

1. \( \quad (a\to b)\to[(b\to c)\to(a\to c)] \)
2. \( \quad (\neg a\to a)\to a \)
3. \( \quad a\to(\neg a\to b) \)

J. Lukasiewicz

1. Alternative, entnommen aus: Elements of mathematical logic (1963)

Axiome:

1. \( \quad (a\to b)\wedge(b\to c)\to(a\to c) \)
2. \( \quad (\neg a\to a)\to a \)
3. \( \quad a\to(\neg a\to b) \)

Schlussregel:

1. Modus Ponens

J. Lukasiewicz

2. Alternative, entnommen aus: Elements of mathematical logic (1963)

Axiome:

1. \( \quad (a\to b)\to[(b\to c)\to(a\to c)] \)
2. \( \quad (\neg a\to b)\to[(b\to a)\to a] \)
3. \( \quad a\to(\neg a\to b) \)

Schlussregel:

1. Modus Ponens

J. Lukasiewicz

Entnommen aus: Elements of mathematical logic (1963)

Axiome:

1. \( \quad [(a\to b)\to c]\to(b\to c) \)
2. \( \quad [(a\to b)\to c]\to(\neg a\to a) \)
3. \( \quad (\neg a\to c)\to\{(b\to c)\to[(a\to b)\to c]\} \)

Schlussregel:

1. Modus Ponens

J. Lukasiewicz, A. Tarski

Entnommen aus: Untersuchungen über den Aussagenkalkül (1930)

Axiom:

1. \( \quad ((a\to(b\to a))\to(((\neg c\to(d\to\neg e))\to((c\to(d\to f))\to((e\to d)\to(e\to f))))\to g)) \\ \quad\to(h\to g) \)

P. Bernays, D. Hilbert

Entnommen aus: Grundlagen der Mathematik I (1934)

Axiome:

1. \( \quad a\to(b\to a) \)
2. \( \quad [a\to(a\to b)]\to(a\to b) \)
3. \( \quad (a\to b)\to[(b\to c)\to(a\to c)] \)
4. \( \quad a\wedge b\to a \)
5. \( \quad a\wedge b\to b \)
6. \( \quad (a\to b)\to[(a\to c)\to(a\to b\wedge c)] \)
7. \( \quad a\to a\vee b \)
8. \( \quad b\to a\vee b \)
9. \( \quad (a\to c)\to[(b\to c)\to(a\vee b\to c)] \)
10. \( \quad (a\leftrightarrow b)\to(a\to b) \)
11. \( \quad (a\leftrightarrow b)\to(b\to a) \)
12. \( \quad (a\to b)\to[(b\to a)\to(a\leftrightarrow b)] \)
13. \( \quad (a\to b)\to(\neg b\to\neg a) \)
14. \( \quad a\to\neg\neg a \)
15. \( \quad \neg\neg a\to a \)

J.B. Rosser

Entnommen aus: Logic for mathematicians (1953)

Axiome:

1. \( \quad a\to(a\wedge a) \)
2. \( \quad (a\wedge b)\to a \)
3. \( \quad (a\to b)\to[\neg(b\wedge c)\to\neg(c\wedge a)] \)

Schlussregel:

1. Modus Ponens

W. Ackermann, D. Hilbert

Entnommen aus: Grundzüge der theoretischen Logik (1959)

Axiome:

1. alle Formeln
   • die aus einer Disjunktion \( a_1\vee\ldots\vee a_n \) bestehen, worin die \( a_i \) Aussagenvariablen oder negierte Aussagenvariablen sind
   • eine gewisse Aussagenvariable tritt einmal negiert und einmal unnegiert auf

Schlussregel:

1. \(\displaystyle \quad\genfrac{}{}{1pt}{}{a\vee b\vee c}{a\vee \neg\neg b\vee c} \)
2. \(\displaystyle \quad\genfrac{}{}{1pt}{}{a\vee\neg c\vee b,a\vee\neg d\vee b}{a\vee\neg(c\vee d)\vee b} \)

S.C. Kleene

Entnommen aus: Mathematical logic (1967); siehe auch Mathematical logic (2013);

Axiome:

1. \( \quad a\to(b\to a) \)
2. \( \quad (a\to b)\to\{[a\to(b\to c)]\to(a\to c)\} \)
3. \( \quad a\to(b\to a\wedge b) \)
4. \( \quad a\wedge b\to a \)
5. \( \quad a\wedge b\to b \)
6. \( \quad a\to a\vee b \)
7. \( \quad b\to a\vee b \)
8. \( \quad (a\to c)\to[(b\to c)\to(a\vee b\to c)] \)
9. \( \quad (a\to b)\to[(a\to\neg b)\to\neg a] \)
10. \( \quad \neg\neg a\to a \)
11. \( \quad (a\to b)\to[(b\to a)\to(a\leftrightarrow b)] \)
12. \( \quad (a\leftrightarrow b)\to(a\to b) \)
13. \( \quad (a\leftrightarrow b)\to(b\to a) \)

Schlussregel:

1. Modus Ponens

J.R. Shoenfield

Entnommen aus: Mathematical logic (1967); siehe auch R.E. Hodel: An introduction ... (2013)

Axiom:

Schlussregeln:

S. Tanaka

Entnommen aus: On axiom systems of propositional logic XXV (1967)

Axiome:

1. \( \quad (a\to b)\to[(b\to c)\to(a\to c)] \)
2. \( \quad [(a\to b)\to a]\to a \)
3. \( \quad a\to[(a\to b)\to b] \)

E. Mendelson

Entnommen aus: Introduction to mathematical logic (4. Auflage, 1997)

Axiome:

1. \( \quad a\to(b\to a) \)
2. \( \quad a\to(b\to c)\to[(a\to b)\to(a\to c)] \)
3. \( \quad (\neg b\to\neg a)\to[(\neg b\to a)\to b] \)

Schlussregel:

1. Modus Ponens