Einleitung
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Axiom
XI
Axiom XI
\( ( a,b,c,d\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ b\in ac\ \mbox{und}\ c\in bd ) \longrightarrow ( c\in ad ). \)
Theoreme zu Axiom
XI
Theorem 151
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( b\in ac. \) Dann gilt
\[ b'c\subseteq a'c. \]
Theorem 152
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( b\in ac. \) Dann gilt
\[ b'c=a'c. \]
Theorem 153
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( b\in c'a. \) Dann gilt
\[ b'c=a'c. \]
Theorem 154
Es seien \( a,c\in{\mathcal P} \) mit \( b\in c'ca. \) Dann gilt
\[ b'c=a'c. \]
Theorem 155
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c\in ab. \) Dann gilt
\[ c'ab \subseteq ( b'a\cup a\cup ab\cup b\cup a'b ). \]
Theorem 156
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ (ab)''\subseteq(b'a\cup a\cup ab\cup b\cup a'b). \]
Theorem 157
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) mit \( a\not=b. \) Dann gilt
\[ (ab)''=(b'a\cup a\cup ab\cup b\cup a'b). \]
Theorem 158
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) mit \( a\not=b. \) Dann gilt
\[ (ab)''=(b'ba\cup b\cup a'b). \]
Theorem 159
Es seien \( a,c\in{\mathcal P} \) und \( b\in c'ca. \) Dann gilt
\[ (ac)''=(bc)''\,. \]
Theorem 160
Es seien \( a,c\in{\mathcal P} \) und \( b\in a'c. \) Dann gilt
\[ b'c=c'ca. \]
Theorem 161
Es seien \( a,c\in{\mathcal P} \) und \( b\in a'c. \) Dann gilt
\[ (ac)''=(bc)''\,. \]
Theorem 161
Es seien \( a,c\in{\mathcal P} \) und \( b\in(ac)'' \) mit \( b\not=c. \) Dann gilt
\[ (ac)''=(bc)''\,. \]
Theorem 163
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( c,d\in(ab)'' \) mit \( c\not=d. \) Dann gilt
\[ (ab)''=(cd)''\,. \]
Theorem 164
Es seien \( r\in{\mathcal G} \) und \( c,d\in r \) mit \( c\not=d. \) Dann gilt
\[ r=(cd)''\,. \]
Theorem 165
Es seien \( r,s\in{\mathcal G} \) und \( a,b\in{\mathcal P} \) mit \( a,b\in r\cap s \) und \( a\not=b. \) Dann gilt
\[ r=s. \]
Theorem 166
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ (ab)''\in\mbox{Conv}. \]
Theorem 167
Es gilt
\[ {\mathcal G}\subseteq\mbox{Conv}. \]
Theorem 168
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( a\not=b. \) Dann gilt
\[ \big[(a,b,c)\in\mbox{Col}\big]\longleftrightarrow\big[c\in(ab)''\big]. \]
Theorem 169
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ \big[(a,b,c)\in\mbox{Col}\big]\longleftrightarrow(a=b\ \mbox{oder}\ a=c\ \mbox{oder}\ b=c\ \mbox{oder}\ a\in bc\ \mbox{oder}\ b\in ac\ \mbox{oder}\ c\in ab). \]
Theorem 170
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) und \( d\in bc. \) Dann gilt
\[ \big[(a,b,c\in\mbox{Col}\big]\longleftrightarrow\big[(a,b,d)\in\mbox{Col}\big]. \]
Theorem 171
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) und \( e\in abc. \) Dann gilt
\[ \big[(a,b,c)\in\mbox{Col}\big]\longleftrightarrow\big[(a,b,e)\in\mbox{Col}\big]. \]