Abschnitt 1.2: Der Jordaninhalt

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Ist $\Omega\subset\mathbb R^n$ beschränkt, so wissen wir aus der Vorlesung

$$\lambda_*(\Omega)=\lambda_*(\mathring\Omega),\quad \lambda^*(\Omega)=\lambda^*(\overline{\Omega})$$ mit dem Inneren $\mathring\Omega$ der Menge $\Omega$ und deren topologischem Abschluss $\overline\Omega.$

 

Aufgabe 1

 

Es sei $\Omega\subset\mathbb R$ beschränkt und abzählbar endlich oder abzählbar unendlich. Schließen Sie $\mathring\Omega=\emptyset,$ und beweisen Sie damit, dass $\Omega$ entweder nicht Jordanmessbar ist, oder dass $\Omega$ eine Jordansche Nullmenge darstellt, d.h. $\Omega$ ist Jordanmessbar mit $\lambda(\Omega)=0.$

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 2

 

Es sei $\{x_n\}_{n=1,2,3,\ldots}\subset\mathbb R$ eine gegen ein $x\in\mathbb R$ konvergente Folge. Beweisen Sie, dass dann

$$\Omega:=\{x_1\}\cup\{x_2\}\cup\{x_3\}\cup\ldots$$ eine Jordansche Nullmenge darstellt und damit Jordanmessbar ist.

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 3

 

Auf dem kompakten Intervall $[a,b]\subset\mathbb R$ sei die Lipschitzstetige Funktion $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ gegeben, d.h. mit einer Konstante $L\ge 0$ gelte

$$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in[a,b].$$ Sei ferner $N\subset[a,b]$ eine Jordansche Nullmenge, d.h. es ist $N$ Jordanmessbar mit $\lambda(N)=0.$ Beweisen Sie, dass dann auch $f(N)\subset\mathbb R$ eine Jordansche Nullmenge darstellt.

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 4

 

Die beschränkte Menge $\Omega\subset\mathbb R^n$ sei Jordanmessbar. Beweisen Sie, dass dann $\mathring\Omega$ und $\overline{\Omega}$ Jordanmessbar sind, und dass gilt

$$\lambda(\mathring\Omega)=\lambda(\overline{\Omega})=\lambda(\Omega).$$

 

→  Lösung