Hausaufgabenblatt 4
Aufgabe HA 15 (Normiertheit von \( B(X) \))
Beweisen Sie, dass \( (B(X),\|\cdot\|_\infty) \) ein normierter Raum ist.
Aufgabe HA 16 (Lipschitzstetigkeit und gleichgradige Stetigkeit)
Es seien \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty \) und \( L\in(0,\infty). \) Beweisen Sie, dass \[ A:=\{f\in C^0([a,b],\mathbb R)\,:\,|f(x)-f(y)|\le L|x-y|\ \text{auf}\ [a,b]\} \] gleichgradig stetig ist.
Aufgabe HA 17 (Differenzierbarkeit und gleichgradige Stetigkeit)
Es seien \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty \) und \( M\in(0,\infty). \) Beweisen Sie, dass \[ B:=\{f\in C^1([a,b],\mathbb R)\,:\,|f'(x)|\le M\ \text{auf}\ [a,b]\} \] gleichgradig stetig ist. (Hierbei denken wir uns die Ableitungen bis zu den Randpunkten stetig fortgesetzt.)
Aufgabe HA 18 (Beispiel zur gleichgradigen Stetigkeit I)
Wir betrachten die Funktionenmengen \[ F:=\left\{f\colon[-\pi,\pi]\to\mathbb R\,:\,f(x):=n\sin\frac{x}{n}\,,\ n=1,2,3,\ldots\right\}. \] Beweisen Sie unter Benutzung von HA 17 die gleichgradige Stetigkeit von \( F. \)
Aufgabe HA 19 (Beispiel zur gleichgradigen Stetigkeit II)
Wir betrachten die Funktionenmengen \[ \begin{array}{rcl} F_1 & := & \{f\colon[0,1]\to\mathbb R\,:\,f(x)=x^\alpha\,,\ 1\le\alpha\lt 2\}\,, \\[0.8ex] F_2 & := & \{f\colon[0,1]\to\mathbb R\,:\,f(x)=x^\alpha\,,\ 0\lt\alpha\lt\infty\}\,. \end{array} \] Beweisen Sie, dass \( F_1 \) gleichgradig stetig und \( F_2 \) nicht gleichgradig stetig sind.
Aufgabe HA 20 (Ein nicht vollständiger Raum)
Beweisen Sie: Der Raum \( (C^0([0,1],\mathbb R),\|\cdot\|_1) \) mit der \( L^1 \)-Norm aus HA 7 und HA 8 ist nicht vollständig.