Hausaufgabenblatt 5
Aufgabe HA 21 (Veranschaulichung der Parallelogrammgleichung)
Es seien \( x,y\in\mathbb R^2 \) zwei im Koordinatenursprung \( (0,0) \) beginnende, linear unabhängige Ortsvektoren, die ein ebenes Parallelogramm aufspannen. Beweisen Sie \[ |x+y|^2+|x-y|^2=2|x|^2+2|y|^2 \] unter Verwendung des Satzes von Pythagoras.
Aufgabe HA 22 (Skalarprodukt induziert Norm)
Der \( \mathbb R \)-Vektorraum \( H \) sei mit einem Skalarprodukt \( \langle\cdot,\cdot\rangle \) ausgestattet. Beweisen Sie, dass dann vermöge \[ \|x\|_H:=\sqrt{\langle x,x\rangle}\,,\quad x\in H, \] eine Norm auf \( V \) definiert ist.
Aufgabe HA 23 (Euklidisches Skalarprodukt)
| (i) | Beweisen Sie, dass vermöge |
\[ \langle x,y\rangle:=\sum_{i=1}^nx_iy_i\,,\quad x,y\in\mathbb R^n\,, \]
| ein Skalarprodukt auf dem \( \mathbb R^n \) definiert ist. Welche Norm wird induziert? Handelt es sich bei \( (\mathbb R^n,\langle\cdot,\cdot\rangle) \) um einen Hilbertraum? Begrü"unden Sie. | |
| (ii) | Wir betrachten den aus Abschnitt 4.1 bekannten unendlich dimensionalen Folgenraum \( \ell_2. \) Beweisen Sie, dass vermöge |
\[ \langle x,y\rangle:=\sum_{i=1}^\infty x_iy_i\,,\quad x=\{x_n\}_n\,,y=\{y_n\}_n\in\ell_2\,, \]
| mit \( x_i,y_i\in\mathbb R \) ein Skalarprodukt auf \( \ell_2 \) definiert ist. Welche Norm wird induziert? Handelt es sich bei \( (\ell_2,\langle\cdot,\cdot\rangle) \) um einen Hilbertraum? Begründen Sie. |
Aufgabe HA 24 (Gegenbeispiele)
| (i) | Wir betrachten den aus der Vorlesung bekannten Folgenraum \( (\ell_1,\|\cdot\|_1). \) Beweisen Sie unter Benutzung der Parallelogrammgleichung, dass es sich nicht um einen Hilbertraum handelt. |
| (ii) | Wir betrachten den aus der Vorlesung bekannten Folgenraum \( (\ell_\infty,\|\cdot\|_\infty). \) Beweisen Sie unter Benutzung der Parallelogrammgleichung, dass es sich nicht um einen Hilbertraum handelt. |
Aufgabe HA 25 (Der Raum \( L_2 \) im Riemannschen Sinn)
Auf der Menge \( C^0([0,1],\mathbb R) \) betrachten wir die Abbildung \[ \langle f,g\rangle:=\int\limits_0^1f(x)g(x)\,dx. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass es sich hierbei um ein Skalarprodukt handelt. |
Das Skalarprodukt induziert eine Abbildung \[ \|f\|_2:=\left(\ \int\limits_0^1|f(x)|^2\,dx\right)^\frac{1}{2}. \]
| (ii) | Handelt es sich bei \( \|\cdot\|_2 \) um eine Norm auf \( C^0([0,1],\mathbb R)? \) |
| (iii) | Ist der Raum \( C^0([0,1],\mathbb R),\|\cdot\|_2) \) ein Hilbertraum? Begründen Sie. |