Hausaufgabenblatt 6
Aufgabe HA 26 (Orthogonalität der Winkelfunktionen)
Beweisen Sie die folgenden Orthogonalitätsrelationen:
| (i) | \( \displaystyle\int\limits_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nx\,dx=0\quad\text{für}\ m,n=0,1,2,\ldots \) |
| (ii) | \( \displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nx\,dx =\int\limits_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nx\,dx =\left\{\begin{array}{cl} 0, & \text{falls}\ m\not=n,\ m\not=n \\[0.6ex] \pi, & \text{falls}\ m=n\ge 1 \end{array} \right. \) |
| Wie lauten die entsprechenden Relationen für \( m=0 \) oder \( n=0? \) |
Aufgabe HA 27 (Berechnung der Fourierkoeffizienten)
Vorgelegt sei die Entwicklung \[ u(x)=\frac{1}{2}\,a_0+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos kx+b_k\sin kx),\quad x\in[-\pi,\pi], \] für eine hinreichend reguläre Funktionen \( u\colon[-\pi,\pi]\to\mathbb R. \) Verifizieren Sie die aus der Vorlesung bekannten Darstellungen \[ \begin{array}{rcl} a_n\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! \frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^\pi u(x)\cos nx\,dx,\quad n=0,1,2,\ldots \\[4ex] b_n\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! \frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^\pi u(x)\sin nx\,dx,\quad n=1,2,\ldots \end{array} \] Hinweis: Summation und Integration dürfen vertauscht werden.
Aufgabe HA 28 (Fourierentwicklung)
Wir betrachten die Funktion \[ u(x):=x,\quad x\in[-\pi,\pi]. \]
| (i) | Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten \( a_k \) und \( b_k \) für diese Funktion, und ermitteln Sie so die Fourierentwicklung |
\[ \frac{1}{2}\,a_0+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos kx+b_k\sin kx),\quad x\in[-\pi,\pi]. \]
| (ii) | Skizzieren Sie die Funktion \( u \) sowie |
\[ \frac{1}{2}\,a_0+\sum_{k=1}^N(a_k\cos kx+b_k\sin kx) \]
| für \( N=1,2,3,4 \) und \( N=10. \) Was können Sie aussagen? |
Diese Entwicklung konvergiert in \( (-\pi,\pi) \) gegen \( u \) (ohne Beweis).
| (iii) | Werten Sie die Fourierentwicklung an der Stelle \( x=\frac{\pi}{2} \) aus, und gewinnen Sie so die Leibnizsche Darstellung der Kreiszahl \( \pi \) |
\[ \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\pm\ldots \]
Aufgabe HA 29 (Rademacherfunktionen)
Für \( n=0,1,2,\ldots \) betrachten wir die folgenden Rademacherfunktionen \[ r_n(x):=\text{sgn}\,\sin(2^n\pi x),\quad x\in[0,1]. \]
| (i) | Bestimmen Sie \( r_0, \) \( r_1 \) und \( r_2 \) explizit. |
| (ii) | Skizzieren Sie \( r_0, \) \( r_1 \) und \( r_2. \) |
| (iii) | Beweisen Sie |
\[ \int\limits_0^1r_m(x)r_n(x)\,dx=\delta_{mn} \]
| mit dem Kroneckersymbol \( \delta_{mn}. \) |