Hausaufgabenblatt 7
Aufgabe HA 30 (Der Riemannsche Integraloperator)
Es sei \( X=C^0([a,b],\mathbb R) \) mit \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty, \) ausgestattet mit der Supremumsnorm. Wir betrachten den Operator \[ T\colon X\longrightarrow\mathbb R \quad\text{vermöge}\quad Tf:=\int\limits_a^bf(x)\,dx. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass \( T \) linear ist. |
| (ii) | Beweisen Sie \( \|T\|=b-a. \) Insbesondere ist \( T \) beschränkt und stetig. |
Aufgabe HA 31 (Der Diracsche \( \delta \)-Operator)
Es sei \( K\subset\mathbb R \) kompakt. Zu festem \( a\in K \) betrachten wir auf \( X=C^0(K,\mathbb R), \) ausgestattet mit der Supremumsnorm \( \|\cdot\|_\infty, \) den Operator \[ \delta_a\colon X\longrightarrow\mathbb R \quad\text{vermöge}\quad \delta_af:=f(a). \]
| (i) | Beweisen Sie, dass \( \delta_a \) linear ist. |
| (ii) | Beweisen Sie \( \|\delta_a\|=1. \) |
Aufgabe HA 32 (Der Ableitungsoperator)
Zwischen den Funktionenräumen \( X=C^1([0,1],\mathbb R) \) und \( Y=C^0([0,1],\mathbb R), \) ausgestattet mit der Supremumsnorm \( \|\cdot\|_\infty, \) betrachten wir den Operator \[ D\colon X\longrightarrow Y,\quad\text{vermöge}\quad Df:=f' \] mit der Ableitung \( f' \) von \( f. \)
| (i) | Es sei \( X \) ausgestattet mit der Supremumsnorm \( \|\cdot\|_\infty. \) Beweisen Sie, dass \( D \) dann nicht beschränkt und damit nicht stetig ist. |
| (ii) | Es sei \( X \) ausgestattet mit der Norm |
\[ \|f\|_{C^1}:=\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty\,. \]
| Beweisen Sie, dass \( D \) dann beschränkt und stetig ist. Insbesondere gilt \( \|D\|=1. \) |
Aufgabe HA 33 (Der Diagonaloperator)
Wir betrachten den Folgenraum \( \ell_1, \) ausgestattet mit der Norm \( \|\cdot\|_1. \) Es sei nun \( \alpha=\{\alpha_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\ell_1 \) eine reellwertige, beschränkte Zahlenfolge mit \[ C:=\sup_{i=1,2,\ldots}|\alpha_i|. \] Zu jeder reellwertigen Folge \( x=\{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) definieren wir \[ T\colon\ell_1\longrightarrow\ell_1 \quad\text{vermöge}\quad Tx:=(\alpha_1x_1,\alpha_2x_2,\alpha_3x_3,\ldots). \]
| (i) | Verifizieren Sie zunächst \( Tx\in\ell_1 \) für \( x\in\ell_1. \) |
| (ii) | Beweisen Sie, dass \( T \) linear ist. |
| (iii) | Beweisen Sie \( \|T\|=C. \) |