Hausaufgabenblatt 8
Aufgabe HA 34 (Konvergenz im Hilbertraum)
Es seien \( (H,\|\cdot\|_H) \) ein Hilbertraum und \( \{x_n\}_n,\{y_n\}_n\subset B \) zwei Folgen, wobei \[ B:=\{x\in H\,:\,\|x\|_H\le 1\}\,. \] Beweisen Sie: \[ \lim_{n\to\infty}\langle x_n,y_n\rangle=1 \quad\text{impliziert}\quad \lim_{n\to\infty}\|x_n-y_n\|_H=0. \]
Aufgabe HA 35 (Orthogonale Projektion im Folgenraum \( \ell_2 \))
Wir betrachten den Hilbertraum \( (\ell_2,\|\cdot\|_2) \) der reellwertigen Folgen \[ x=\{x_1,x_2,\ldots\}\quad\text{mit}\ \|x\|_2:=\left(\ \sum_{i=1}^\infty|x_i|^2\right)^\frac{1}{2}\lt\infty\,. \] Weiter sei \[ C:=\{x\in\ell_2\,:\,0\le x_k\le 1\ \text{für alle}\ k=1,2,\ldots\}\,. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass \( C \) nichtleer, abgeschlossen und konvex ist. |
Wir definieren nun \[ z=P_C(x) \quad\text{mit}\quad z_k:=\left\{ \begin{array}{cl} 1, & x_k\gt 1 \\[0.6ex] x_k, & 0\le x_k\le 1 \\[0.6ex] 0, & x_k\lt 0 \end{array} \right.. \]
| (ii) | Beweisen Sie durch geeignetes Aufspalten der folgenden Reihe (ohne weitere Konvergenzuntersuchungen), dass für dieses \( z=P_C(x) \) gilt |
\[ \langle z-x,y-z\rangle=\sum_{k=1}^\infty(z_k-x_k)(y_k-z_k)\ge 0\quad\text{für alle}\ y\in C. \] \( P_C \) ist also ein Projektion im Sinne des Projektionssatzes aus der Vorlesung.
Aufgabe HA 36 (Lipschitzstetigkeit der Projektion)
Es seien \( (H,\|\cdot\|_H) \) ein Hilbertraum und \( C\subseteq H \) eine nichtleere, konvexe und abgeschlossene Menge. Beweisen Sie \[ \|P_C(x)-P_C(\widetilde x)\|_H\le\|x-\widetilde x\|_H\quad\text{für alle}\ x,\widetilde x\in C. \]
Aufgabe HA 37 (Ein skalarprodukterhaltender Operator)
Es sei \( (H,\|\cdot\|_H) \) ein Hilbertraum. Ferner sei \( U\colon H\to H \) eine Abbildung mit der Eigenschaft \[ \langle U(x),U(y)\rangle=\langle x,y\rangle\quad\text{f\"ur alle}\ x,y\in H. \] Beweisen Sie, dass \( U \) dann linear ist, d.h. zeigen Sie inbesondere
| \( \circ \) | \( U(\lambda x)=\lambda U(x) \) |
| \( \circ \) | \( U(x+y)=U(x)+U(y) \) |
Kennen Sie einen solchen Operator aus der Linearen Algebra