Hausaufgabenblatt 9
Aufgabe HA 38 (Riesz-Isometrie und Dualraum eines Hilbertraumes)
Es seien \( (H,\|\cdot\|_H) \) ein Hilbertraum und \( T\colon H\to\mathbb R \) ein lineares, beschränktes Funktional. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz existiert genau ein \( x^*\in H \) mit \[ Tx=\langle x,x^*\rangle\quad\text{für alle}\ x\in H. \] Zu besseren Kenntlichkeit schreiben wir \( T_{x^*} \) statt \( T. \) Es existiert also eine Abbildung \[ R\colon H\longrightarrow H^*\quad\text{vermöge}\quad R(x^*)=T_{x^*} \] von \( H \) in die Menge \[ H^*:=\{T\colon H\to\mathbb R\,:\,T\ \text{ist linear}\}\,. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass \( R \) injektiv ist. |
| (ii) | Beweisen Sie, dass \( R \) surjektiv ist. |
Damit ist \( R\colon H\to H^* \) bijektiv.
| (iii) | Beweisen Sie, dass \( R \) normerhaltend ist, d.h. (wir schreiben \( \|\cdot\|_{H^*} \) statt \( \|\cdot\| \)) |
\[ \|R(x^*)\|_{H^*}=\|x^*\|_H\,. \] Die Wirkung des Operators \( R \) definieren wir gemäß \[ R(x^*)(x):=T_{x^*}(x),\quad x\in H. \]
| (iv) | Beweisen Sie, dass \( R \) linear ist, d.h. |
\[ R(\alpha x^*+\beta y^*)=\alpha R(x^*)+\beta R(y^*)\quad\text{für alle}\ x^*,y^*\in H,\ \alpha,\beta\in\mathbb R, \]
| durch Auswerten von \( R(\alpha x^*+\beta y^*)(x) \) f\"ur alle \( x\in H. \) | |
| (v) | Folgern Sie, dass \( R(x^*) \) stetig ist. |
Die normerhaltende, lineare Abbildung \( R \) stellt daher eine Isometrie zwischen den Räumen \( H \) und \( H^* \) dar. Auf \( H^* \) definieren wir nun \[ \langle T_{x^*},T_{y^*}\rangle_{H^*}:=\langle x^*,y^*\rangle\,. \]
| (vi) | Beweisen Sie, dass \( \langle\cdot,\cdot\rangle_{H^*} \) ein Skalarprodukt darstellt. |
Damit stellt \( H^* \) eine Pr\"ahilbertraum dar. Wir betrachten nun eine Cauchyfolge \( \{x_n^*\}_{n=1,2,\ldots}\subset H. \)
| (vii) | Beweisen Sie |
\[ \|R(x_m^*)-R(x_n^*)\|_{H^*}\longrightarrow 0\quad\text{für}\ m,n\to\infty\,, \]
| d.h. \( \{R(x_n^*)\}_{n=1,2,\ldots}\subset H^* \) ist eine Cauchyfolge in \( H^*. \) | |
| (viii) | Folgern Sie, dass \( H^* \) vollständig und damit ebenfalls ein Hilbertraum ist. |