Hausaufgabenblatt 10

Aufgabe HA 39 (Schwache Konvergenz orthonormaler Folgen)

Es sei \( \{e_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset H \) eine orthonormale Folge im Hilbertraum \( (H,\|\cdot\|_H) \) über \( \mathbb R. \) Zeigen Sie unter Verwendung der Besselschen Ungleichung, dass \( \{e_n\}_{n=1,2,\ldots} \) schwach gegen \( 0 \) konvergiert.

Aufgabe HA 40 (Konvergenz linearer Funktionale auf orthonormalen Folgen)

Es sei \( \{e_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset H \) eine orthonormale Folge im Hilbertraum \( (H,\|\cdot\|_H) \) über \( \mathbb R, \) und es sei \( T\colon H\to\mathbb R \) ein lineares und beschränktes Funktional. Beweisen Sie \[ \lim_{k\to\infty}T(e_k)=0. \]

Aufgabe HA 41 (Beschränktheit schwach konvergenter Folgen)

Es sei \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset H \) eine gegen \( x\in H \) schwach konvergente Folge im Hilbertraum \( (H,\|\cdot\|_H). \) Beweisen Sie, dass dann ein \( C\in[0,\infty) \) existiert mit \[ \|x_k\|_H\le C\quad\text{für alle}\ k=1,2,\ldots \]

Aufgabe HA 42 (Noch ein Konvergenznachweis)

Seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset H, \) \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset H \) zwei Folgen im Hilbertraum \( (H,\|\cdot\|_H. \) Es konvergiere \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) schwach gegen \( x\in H, \) und es konvergiere \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \) in der Norm gegen \( y\in H. \) Beweisen Sie \[ \langle x_n,y_n\rangle\longrightarrow\langle x,y\rangle\quad\text{für}\ n\to\infty\,. \]