Hausaufgabenblatt 11
Aufgabe HA 43 (Schwache Konvergenz)
| (i) | Zeigen Sie, dass auf einem endlichdimensionalen normierten Hilbertraum starke Konvergenz und schwache Konvergenz äquivalent sind. |
| (ii) | Eine Teilmenge \( F \) eines Hilbertraums \( H \) heißt schwach folgenabgeschlossen, falls der Grenzwert jeder schwach konvergenten Folge in \( F \) wieder in \( F \) liegt. Zeigen Sie: Ein Unterraum eines Hilbertraums ist abgeschlossen genau dann, wenn er schwach folgenabgeschlossen ist. |
| (iii) | Seien \( (H,\langle\cdot,\cdot\rangle_H) \) und \( (U,\langle\cdot,\cdot\rangle_U) \) Hilberträume. Ein Operator \( T\colon H\to U \) heißt schwach folgenstetig, falls |
\[ x_n \rightharpoonup x \text{ in } H \quad\Rightarrow \quad T x_n \rightharpoonup T x \text{ in }U. \]
| Zeigen Sie, dass schwache Folgenstetigkeit eines Operators äquivalent zu dessen Stetigkeit ist. |
Aufgabe HA 44 (Schwache Konvergenz in \( \ell_2 \))
| (i) | Sei \( \{x^{(n)}\}_{n\in\mathbb N}\subset\ell_2. \) Zeigen Sie, dass die Folge genau dann schwach konvergiert, wenn sie bezüglich der \( \ell_2 \)-Norm beschränkt ist und komponentenweise konvergiert. |
| (ii) | Gegeben sei die Folge \( \{x^{(n)}\}_{n\in\mathbb N}\subset\ell_2 \) mit |
\[ x^{(n)} := \left( \frac1{\log(n+1)}, \ldots, \frac1{\log(n+1)}, 0, 0, \ldots \right) \in\ell_2\,, \]
| wobei genau \( n \) Folgenglieder ungleich \( 0 \) sind. Zeigen Sie, dass \( \{x^{(n)}\}_{n\in\mathbb N} \) zwar punktweise gegen \( x = (0, 0, \ldots ) \) konvergiert, aber nicht schwach. |
Aufgabe HA 45 (Schwache und starke Konvergenz)
| (i) | Sei \( H \) ein Hilbertraum und \( V\subset H \) eine abgeschlossene konvexe Teilmenge, das heißt |
\[ x,y\in V \quad \Rightarrow \quad \lambda x+ (1-\lambda)y \in V \text{ für alle } \lambda \in (0,1). \]
| Zeigen Sie, ist \( \{x_n\}_n\subset V \) mit \( x_n\rightharpoonup x \) in \( H, \) dann ist \( x\in V. \) | |
| (ii) | Folgern Sie, dass es zu einer schwach konvergenten Folge \( \{x_n\}_n \) eine Folge von Konvexkombinationen |
\[ y_n = \sum_{i=1}^{N_n} \lambda_i^{(n)} x_i \quad \left(\lambda_i^{(n)}\geq 0,\,\, \sum_{i=1}^{N_n} \lambda_i^{(n)}=1\right) \]
| gibt, mit \( \|y_n-x\|_X \to 0. \) |
Aufgabe HA 46 (Bairescher Kategoriensatz)
| (i) | Sei \( J \) die Menge der irrationalen Zahlen im Intervall \( [0,1]. \) Zeigen Sie, das es keine Darstellung \( J = \bigcup_{k=1}^\infty A_k \) mit abgeschlossenen Mengen \( A_k \) gibt. |
| (ii) | Zeigen Sie, dass es keine Funktion \( f\colon[0,1] \to \mathbb R \) gibt, die in jedem rationalen Punkt stetig und in jedem irrationalen Punkt unstetig ist. |
| (iii) | Sei \( \Pi \) der Vektorraum der Polynome auf \( \mathbb R \) und \( \|\,\cdot\,\| \) eine Norm auf \( \Pi. \) Dann ist \( (\Pi, \|\,\cdot\,\|) \) kein Banachraum. |