Wiederholungsfragen
Kapitel 1: Metrische Räume
| 1. | Was versteht man unter einer Metrik? |
| 2. | Was versteht man unter einem metrischen Raum? |
| 3. | Wie ist die Euklidische Metrik im \( \mathbb R^n \) definiert? |
| 4. | Was versteht man unter einer Relativmetrik? |
| 5. | Was versteht man unter einer Produktmetrik? |
| 6. | Wann heißt eine Teilmenge \( U\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) offen? |
| 7. | Wie lautet die \( \varepsilon \)-\( \delta \)-Definition der Stetigkeit? |
| 8. | Wie lautet die Definition der Folgenstetigkeit? |
| 9. | Wie lautet das topologische Stetigkeitskriterium? |
| 10. | Wann heißt ein metrischer Raum separabel? |
Kapitel 2: Kompakte Mengen
| 1. | Wann heißt eine Teilmenge \( K\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) kompakt? |
| 2. | Wann heißt eine Teilmenge \( K\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) folgenkompakt? |
| 3. | Wann heißt eine Teilmenge \( K\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) präkompakt? |
| 4. | In welcher Beziehung stehen diese drei Begriffe? |
| 5. | Wie lautet der Satz von Heine-Borel? |
| 6. | Wie lautet der klassische Satz von Heine-Borel? |
| 7. | Welchen Zusammenhang zwischen Präkompaktheit und Teilfolgenkonvergenz kennen Sie? |
| 8. | Wie lautet der Fundamentalsatz von Weierstra\ss{}? |
Kapitel 3: Normierte Räume
| 1. | Was versteht man unter einer Norm? |
| 2. | Was versteht man unter einem normierten Raum? |
| 3. | Wie ist die Euklidische Norm im \( \mathbb R^n \) definiert? |
| 4. | Wann heißen zwei Normen äquivalent? |
| 5. | Sind sämtliche Normen im \( \mathbb R^n \) äquivalent? |
| 6. | Was versteht man unter einem Banachraum? |
| 7. | Wie lautet das Lemma von Riesz? |
| 8. | Wie lautet der Kompaktheitssatz von Riesz? |
Kapitel 4: Folgenräume
| 1. | Wie haben wir die Räume \( \ell_p \) und \( \ell_\infty \) eingeführt? |
| 2. | Mit welcher Norm wird \( \ell_p \) für \( 1\le p\lt\infty \) zu einem normierten Raum? |
| 3. | Mit welcher Norm wird \( \ell_\infty \) zu einem normierten Raum? |
| 4. | Wie lautet die Youngsche Ungleichung? |
| 5. | Wie lautet die Höldersche Ungleichung? |
| 6. | Wie lautet die Minkowskiungleichung? |
| 7. | Welche besondere Rolle spielt hier die Minkowskiungleichung? |
| 8. | Sind die Räume \( (\ell_p,\|\cdot\|_p) \) für \( 1\le p\lt\infty \) Banachräume? |
| 9. | Ist der Raum \( (\ell_\infty,\|\cdot\|_\infty) \) ein Banachraum? |
| 10. | Sind die Räume \( (\ell_p,\|\cdot\|_p) \) für \( 1\le p\lt\infty \) separabel? |
| 11. | Ist der Raum \( (\ell_\infty,\|\cdot\|_\infty) \) separabel? |
Kapitel 5: Funktionenräume
| 1. | Mit welcher Norm wird \( B(X) \) zum Banachraum? |
| 2. | Mit welcher Norm wird \( C^0(K) \) zum Banachraum? |
| 3. | Mit welcher Norm wird \( C_b(X) \) zum Banachraum? |
| 4. | Wann heißt eine Funktionenmenge gleichmäßig beschränkt? |
| 5. | Wann heißt eine Funktionenmenge gleichgradig stetig? |
| 6. | Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? |
| 7. | Ist der Raum \( C^0(K) \) separabel? |
Kapitel 6: Hilberträume
| 1. | Wie haben wir ein Skalarprodukt auf einem \( \mathbb R \)-Vektorraum definiert? |
| 2. | Wie haben wir ein Skalarprodukt auf einem \( \mathbb C \)-Vektorraum definiert? |
| 3. | Wie gewinnt man aus einem Skalarprodukt eine Norm? |
| 4. | Erläutern Sie den vorigen Punkt am Euklidischen Skalarprodukt. |
| 5. | Wie lautet die Polarisationsformel? |
| 6. | Beweisen Sie die Polarisationsformel. |
| 7. | Wie lautet die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung? |
| 8. | Beweisen Sie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. |
| 9. | Was versteht man unter einem Prähilbertraum? |
| 10. | Was versteht man unter einem Hilbertraum? |
| 11. | Wie lautet die Parallelogrammgleichung? |
| 12. | Beweisen Sie die Parallelogrammgleichung. |
| 13. | Wie charakterisiert die Parallelogrammgleichung Prähilberträume? |
Kapitel 7: Orthonormierte Systeme
| 1. | Wann heißen \( x,y\in H \) orthogonal? |
| 2. | Wann heißt \( x\in H \) normiert? |
| 3. | Wie lauten die klassischen Orthogonalitätsrelationen für die Winkelfunktionen? |
| 4. | Was versteht man unter den Fourierkoeffizienten? |
| 5. | Wie lautet die Besselsche Ungleichung? |
| 6. | Wie lautet die Parsevalsche Gleichung? |
| 7. | Wann heißt ein orthonormiertes System vollständig? |
| 8. | Welche Charakterisierung vollständiger Systeme haben kennengelernt? |
| 9. | Existieren vollständige orthonormierte Systeme? |
Kapitel 8: Lineare Operatoren
| 1. | Wann heißt ein Operator \( T\colon X\to Y \) linear? |
| 2. | Wie ist der Kern eines Operators definiert? |
| 3. | Wie ist das Bild eines Operators definiert? |
| 4. | Was verstehen wir unter dem Graphen eines Operators? |
| 5. | Welche Beispiele von linearen Operatoren haben wir in der Vorlesung kennengelernt? |
| 6. | Wann heißt ein Operator \( T\colon X\to Y \) stetig in \( x\in X? \) |
| 7. | Wann heißt ein Operator \( T\colon X\to Y \) beschränkt? |
| 8. | Was verstehen wir unter der Menge \( L(X,Y)? \) |
| 9. | In welchem Zusammenhang stehen die Begriffe Stetigkeit und Beschränktheit für lineare Operatoren? |
| 10. | Warum impliziert Stetigkeit die Beschränktheit einen linearen Operators? |
| 11. | Sind lineare Operatoren zwischen endlichdimensionalen, normieren Räumen stetig? |
| 12. | Geben Sie von dieser letzten Aussage einen Beweis. |
| 13. | Wie ist die Norm eines linearen Operators definiert? |
| 14. | Bildet \( L(X,Y) \) einen normierten Raum? |
| 15. | Was versteht man unter der Submultiplikativität der Operatornorm? |
| 16. | Was können Sie über die Vollständigkeit von \( L(X,Y) \) aussagen? |