Aussagen und Aussageformen

Verknüpfung von Aussagen

Aussagenlogische Beweisprinzipien

Beweismethoden

Aufgaben

Wiederholungsfragen

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Charakterisierung von Mengen

Mengenrelationen und Mengenoperationen

Idempotenz, Kommutativität, Associativität

Operationen mit der leeren Menge

Rechenregeln für Mengen

Abbildungen zwischen Mengen

Kardinalität von Mengen

Quantoren

Aufgaben

Wiederholungsfragen

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Einleitung

Was ist ein Beweis?

Axiomensystem von Hodel-Shoenfield

Beweis der Kommutativität

Beweis der Regeln der doppelten Verneinung

Erweiterungen

Beweis der Regel der Kontraposition

Ableitung ausgewählter Syllogismen

Beweis der de Morganschen Regeln

Deduktion, Ersetzung, Substitution

Historische Axiomensysteme

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Einleitung

Axiom der Existenz

Axiom der Erweiterung

Axiomenschema der Spezifikation

Axiom der Paarung

Axiom der Vereinigung

Axiom des Unendlichen

Axiom der Potenzmenge

Axiomenschema of replacement

Axiom of foundation

Das Auswahlaxiom

Indexed families of sets

Choice sets versus choice functions

Alternatives to the axiom of choice

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Axiomatik nach Briggs

Peano-Dedekind-Axiomatik

Addition und Multiplikation

Das Prinzip der vollständigen Induktion

Starke und schwache Induktion

Das Rechnen mit natürlichen Zahlen

Ordnungsstruktur der natürlichen Zahlen

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Definition der ganzen Zahlen

Addition und Multiplikation

Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen

Ordnungsstruktur der ganzen Zahlen

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Definition der rationalen Zahlen

Addition und Multiplikation

Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen

Ordnungsstruktur der ganzen Zahlen

Mächtigkeit von Mengen

Abzählbarkeit der rationalen Zahlen

Die Cantorsche Paarungsfunktion

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Definition eines Körpers

Rechnen in Körpern

Geordnete Körper

Das Archimedessche Axiom

Der Absolutbetrag

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Existenz nichtrationaler Zahlen

Erster Schritt: Wahl einer approximierenden Zahlenfolge

Zweiter Schritt: Die geometrische Summenformel

Definition der reellen Zahlen

Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen

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Beschränktheit rationaler Cauchyfolgen

Addition und Multiplikation reeller Zahlen

Ordnungsstruktur reeller Zahlen

Die multiplikative Inverse einer reellen Zahl

Reelle Zahlenintervalle

Die reellen Zahlen als Körper

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Lösung der p-ten Wurzelgleichung - Beginn

Der binomische Lehrsatz

Lösung der p-ten Wurzelgleichung - Abschluss

Dezimaldarstellung reeller Zahlen

Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

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Konvergente und divergente Zahlenfolgen

Erste Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen

Dichtheit der rationalen Zahlen

Vollständigkeit der reellen Zahlen

Der Häufungsstellensatz von Weierstraß

Monotone Zahlenfolgen

Der erweiterte Zahlenraum

Infimum und Supremum

Limes inferior und limes superior

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Definition komplexer Zahlen

Addition und Multiplikation komplexer Zahlen

Die komplexe Einheit

Die komplexen Zahlen sind nicht anordbar

Die komplexe Ebene

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Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Komplexen

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Die Ungleichung von Engel

Die Umordnungsungleichung

Mittelwerte

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Reihen und ihre Partialsummen

Das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen

Die geometrische Reihe

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Das Majorantenkriterium

Das Minorantenkriterium

Das Leibnizkriterium

Das Wurzelkriterium

Das Quotientenkriterium

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Der Satz von Olivier

Das Verdichtungskriterium von Cauchy

Der Abelsche Konvergenzsatz

Der Dirichletsche Konvergenzsatz

Das Konvergenzkriterium von Kummer und Dini

Das Konvergenzkriterium von Gauß

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Absolute und bedingte Konvergenz

Der Begriff der Umordnung

Der erste Riemannsche Umordnungssatz

Der zweite Riemannsche Umordnungssatz

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Der Begriff der Doppelreihe

Absolut konvergente Doppelreihen

Der Cauchysche Produktsatz

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Definition und die komplexe Exponentialreihe

Der Satz von Cauchy-Hadamard

Konvergenzradius und Konvergenzbereich

Der Cauchysche Produktsatz für Reihen

Die Funktionalgleichung der komplexwertigen Exponentialreihe

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Grundbegriffe

Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit

Häufungspunkte und isolierte Punkte

Folgenstetigkeit

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Algebraische Eigenschaften stetiger Funktionen

Der Vektorraum der stetigen Funktionen

Offene, abgeschlossene und kompakte Mengen

Stetigkeit der Umkehrfunktion

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Der Fundamentalsatz von Weierstraß

Der Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß

Satz über die monotone Umkehrfunktion

Satz über die gleichmäßige Konvergenz

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Konvergenzbegriffe

Cauchykriterium zur gleichmäßigen Konvergenz

Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit

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Funktionenreihen und gleichmäßige Konvergenz

Der Weierstraßsche Majorantentest

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Definition

Lineare Approximation und Differenzierbarkeit

Elementare Ableitungsregeln

Differentiation der Umkehrfunktion

Der Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen

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Natürlicher Logarithmus und die allgemeine Potenzfunktion

Rechenregeln

Ableitung der Potenzfunktion

Aufgaben

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Der Satz von Rolle

Ein notwendiges Kriterium für lokale Extrema

Der Mittelwertsatz

Der klassische Mittelwertsatz

Ein hinreichendes Kriterium für strenge lokale Minima und Maxima

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Differentiation von Potenzreihen

Die Taylorsche Formel

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Definition und Eulersche Relation

Potenzreihenentwicklungen

Additionstheoreme und Winkelverdopplungsformeln<a

Differentiation der trigonometrischen Funktionen

Einführung der Kreiszahl

Phasenverschiebung und Monotonie der reellen trigonometrischen Funktionen

Polardarstellung komplexer Zahlen

Die Periode der komplexwertigen Exponentialfunktion

Die Nullstellen der komplexen Kosinusfunktion

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Intervallzerlegungen

Die Riemannsche Zwischensumme

Riemannsches Integral und Riemannintegrierbarkeit

Ein Grenzwertkriterium zur Riemannintegrierbarkeit

Ein Cauchykriterium zur Riemannintegrierbarkeit

Die Dirichletsche Sprungfunktion

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Linearität des Riemannintegrals

Monotonie des Riemannintegrals

Beschränktheit Riemannintegrierbarer Funktionen

Aufgaben

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Riemann-Darbouxsche Unter- und Obersummen

Riemann-Darbouxsche Unter- und Obersummen

Zerlegunsgverfeinerungen

Riemann-Darboux-Integrierbarkeit

Ein Cauchykriterium zur Riemann-Darboux-Integrierbarkeit

Ein Stetigkeitskriterium zur Riemann-Darboux-Integrierbarkeit

Äquivalenz beider Begriffe

Aufgaben

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Integrierbarkeit des Absolutbetrags

Integrierbarkeit des Produktes

Integrierbarkeit Lipschitzstetiger Kompositionen

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Riemannintegrierbarkeit monotoner Funktionen

Riemannintegrierbarkeit stetiger Funktionen

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Der allgemeine Mittelwertsatz

Der klassische Mittelwertsatz

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Satz und Beweis

Stammfunktionen

Wichtige Stammfunktionen

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Die Regel der partiellen Integration

Die Substitutionsregel

Partialbruchzerlegung

Integration vermittels Partialbruchzerlegung

Wichtige Stammfunktionen

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Integranden mit Exponentialfunktionen

Integranden mit hyperbolischen Funktionen

Integranden mit Winkelfunktionen

Integranden mit Quadratwurzeln

Integranden mit Potenzen

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Der Vertauschbarkeitssatz

Der Satz von Arzela

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Definition eines metrischen Raumes

Erste Beispiele metrischer Räume

Weitere Beispiele metrischer Räume

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Definition eines normierten Raumes

Beispiele normierter Räume

Äquivalenz von Normen

Aufgaben

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Offene Umgebungen und offene Mengen

Das Hausdorffsche Trennungsaxiom

Durchschnitt und Vereinigung offener Mengen

Innere Punkte und Inneres

Beispiele

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Definition einer abgeschlossenen Menge

Durchschnitt und Vereinigung abgeschlossener Mengen

Randpunkte und Rand

Aufgaben

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Definition

Weitere Bemerkungen und Begriffe

Aufgaben

Wiederholungsfragen

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Ein erstes Beispiel

Um was es geht

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Jordanmessbare Mengen

Elementargeometrische Inhalte

Mengenoperationen auf Elementarmengen

Erste Eigenschaften des Jordaninhalts

Jordaninhalt von Elementarmengen

Jordaninhalt vom Inneren und vom Abschluss

Kriterien für die Jordanmessbarkeit

Vereinigung und Durchschnitt Jordanmessbarer Mengen

Differenz Jordanmessbarer Mengen

Was ein Maß leisten sollte

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Definition

Erste Eigenschaften

Jordaninhalt und äußeres Lebesguemaß

Subadditivität

Beispiel für Additivität

Translationsinvarianz

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Definition

Eine alternative Definition

Inneres und äußeres Lebesguemaß

Erste Beispiele Lebesguemessbarer Mengen

Jordanmessbarkeit und Lebesguemessbarkeit

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Der Begriff der Sigma-Algebra

Die Sigma-Algebra der Lebesguemessbaren Mengen

Nachtrag zum vorigen Beweis

Lebesguemessbarkeit offener und abgeschlossener Mengen

Borelmengen

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Der Approximationssatz

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