Grundlagen
Die Mathematik beginnt mit der
Diese Vereinbarung enthält undefinierte Begriffe: umgangssprachlicher Satz, wahr und falsch, die wir auch nicht genauer erläutern können. Es handelt sich daher nicht um eine mathematische Definition, sondern um eine Vereinbarung.
Unsere Vereinbarung enthält folgendes Prinzip der Zweiwertigkeit der Aussagenlogik:
Beispiele:
Der erste Satz ist wahr, der zweite ist falsch. Es handelt sich also um Aussagen. Wir wissen nicht, ob der dritte Satz wahr oder falsch ist, aber wir sind davon überzeugt, dass er entweder wahr oder falsch ist, so dass auch dieser Satz eine Aussage in unserem Sinn darstellt.
Wir können wahr oder falsch nicht jedem umgangsspachlichen Satz zuordnen. Das betrifft insbesondere Glückwünsche, Fragen und Aufforderungen, wie beispielsweise:
Das betrifft aber auch mathematische Ausdrücke, wie
Diese bezeichnen wir als Aussageformen. Sie werden zu einer Aussage, wenn wir den „Platzhalter“ \( x \) durch eine Zahl ersetzen und \( x+7=28 \) dadurch wahr oder falsch wird, oder wir \( {\mathcal R}(x,y,z) \) als die Relation \( x\lt y\lt z \) interpretieren, so dass dann \( {\mathcal R}(0,3,1) \) falsch wird.