Hausaufgabenblatt 3
Aufgabe HA 12 (Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen)
Beweisen Sie, dass die Vereinigung abzählbar unendlich vieler abzählbar unendlicher Mengen wieder abzählbar unendlich ist.
Aufgabe HA 13 (Dreiecksungleichung)
Beweisen Sie, dass gilt \[ |x+y|\le|x|+|y|\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \]
Aufgabe HA 14 (b-adische Darstellung von Zahlen)
| (i) | Stellen Sie die Dezimalzahl \( x=1097_{10} \) zur Basis \( b=6 \) dar. |
| (ii) | Ermitteln Sie die Dezimaldarstellung der Binärzahl \( x=11010001101_2. \) |
Aufgabe HA 15 (Gaußsche Summenformel und Kubikzahlen)
| (i) | Beweisen Sie |
\[ \sum_{k=1}^nk^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\quad\text{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
| (ii) | Schließen Sie daraus auf |
\[ 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2\quad\text{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
Aufgabe HA 16 (Teilbarkeiten)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion, dass für alle \( n\in\mathbb N \) gilt \[ n^3+5n+3\quad\text{ist ohne Rest durch}\ 3\ \text{teilbar.} \]