Hausaufgabenblatt 5
Aufgabe HA 21 (Permutationen als Produkt von Zykeln)
Schreiben Sie folgende Permutationen \( \sigma,\tau\in S_7 \) als Produkt von Zykeln.
| (i) | \( \displaystyle\sigma:\, \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 4 & 6 & 7 & 1 & 5 & 2 \end{array}\right) \) |
| (ii) | \( \displaystyle\tau:\, \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 4 & 1 & 5 & 6 & 7 & 2 \end{array}\right) \) |
Aufgabe HA 22 (Potenzen von Zykeln I)
| (i) | Betrachten Sie, o.E. auf \( S_3, \) den \( 3 \)-Zyklus |
\[ \sigma:\ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \end{array}\right). \]
| Verifizieren Sie \( \sigma^3=\sigma\circ\sigma\circ\sigma=\mbox{id} \) mit der identischen Permutation \( \mbox{id}. \) | |
| (ii) | Es sei \( \sigma \) ein beliebiger \( 3 \)-Zyklus, wieder o.E. auf \( S_3. \) Beweisen Sie |
\[ \sigma^3=\sigma\circ\sigma\circ\sigma=\mbox{id}\,. \]
Aufgabe HA 23 (Potenzen von Zykeln II)
Es sei \( \sigma \) ein Zykel der Länge \( n\in\mathbb N. \) Beweisen Sie \[ \sigma^n=\sigma\circ\ldots\circ\sigma=\mbox{id} \] mit der identischen Permutation \( \mbox{id}. \)
Aufgabe HA 24 (Mächtigkeit der symmetrischen Gruppe)
Es sei \( n\in\mathbb N. \) Verifizieren Sie anhand eines von Ihnen selbst gewählten kombinatorischen Modells, dass \( S_n \) genau \( n! \) Elemente besitzt.