Hausaufgabenblatt 7
Aufgabe HA 29 (Zweimaliger Wurf eines Würfels II)
Ein unverfälschter Würfel wird zweimal geworfen. Wir betrachten die Ereignisse \[ \begin{array}{l} A\,:\quad\mbox{die Augensumme ist genau \( 8 \)} \\ B\,:\quad\mbox{die Augensumme ist wenigstens \( 4 \)} \\ C\,:\quad\mbox{die Augensumme ist höchstens \( 6 \)} \end{array} \]
| (i) | Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum \( \Omega \) an. |
| (ii) | Welchen Teilmengen von \( \Omega \) entsprechen die Ereignisse \( A, \) \( B, \) \( C \) sowie \( A\cup B\cup C \) und \( A\cap B? \) |
| (iii) | Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten |
\[ P(A),\quad P(B),\quad P(C),\quad P(A\cup B\cup C),\quad P(A\cap B) \]
| unter Annahme einer Laplaceschen Gleichverteilung. |
Aufgabe HA 30 (Gewinnchance beim Lotto)
Beim Lottospiel 6 aus 49 werden \( 6 \) Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Lostrommel mit anfangs \( 49 \) durchnummerierten Kugeln entnommen. Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem Lottoschein \( 1\le k\le 6 \) Richtige getippt zu haben?
Aufgabe HA 31 (Dreimaliger Wurf einer Münze)
Vorgelegt sind zwei faire Münzen mit Kopf und Zahl und eine unfaire Münze mit Kopf auf beiden Seiten. Wir nehmen eine dieser drei Münzen, werfen sie dreimal und stellen fest, dass bei jedem Wurf Kopf fiel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um die verfälschte Münze handelt? Betrachten Sie dazu die Ereignisse \[ \begin{array}{rcl} A_1 & : & \quad\mbox{eine faire Münze wurde gezogen} \\ A_2 & : & \quad\mbox{eine unfaire Münze wurde gezogen} \\ B & : & \quad\mbox{es wurde dreimal Kopf geworfen} \end{array} \]
Aufgabe HA 32 (Wurf zweier Würfel I)
Es sei \( \Omega:=\{(i,j)\,:\,1\le i,j\le 6\} \) der Ergebnisraum für den Wurf zweier fairer Würfel. Wir betrachten die Laplaceverteilte Zufallsvariable \[ X(i,j):=i+j,\quad(i,j)\in\Omega. \]
| (i) | Wie lautet \( X(\Omega)? \) |
| (ii) | Ermitteln Sie \( p_X(k) \) für \( k=1,\ldots,36. \) |
| (iii) | Berechnen Sie \( E(X). \) |
| (iv) | Berechnen Sie \( \text{Var}(X). \) |
Aufgabe HA 33 (Wurf zweier Würfel II)
Es sei \( \Omega:=\{(i,j)\,:\,1\le i,j\le 6\} \) der Ergebnisraum für den Wurf zweier fairer Würfel. Wir betrachten die Laplaceverteilte Zufallsvariable \[ X(i,j):=\max\{i,j\}\,,\quad(i,j)\in\Omega. \]
| (i) | Wie lautet \( X(\Omega)? \) |
| (ii) | Ermitteln Sie \( p_X(k) \) für \( k=1,\ldots,36. \) |
| (iii) | Berechnen Sie \( E(X). \) |
| (iv) | Berechnen Sie \( \text{Var}(X). \) |