Hausaufgabenblatt 8
Aufgabe HA 34 (Euklidischer Algorithmus II)
Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler \( \mbox{ggT}\,(1122,72) \) unter Verwendung des Euklidischen Algorithmus.
Aufgabe HA 35 (Bestimmen von Bezoutkoeffizienten II)
Bestimmen Sie Bezoutkoeffizienten \( x \) und \( y \) in der Darstellung \[ \mbox{ggT}\,(1122,72)=1122x+72y. \]
Aufgabe HA 36 (Sieb des Eratosthenes)
Bestimmen Sie unter Verwendung des Siebs des Eratosthenes sämtliche Primzahlen \( 2\le p\le 100. \) Welche Primzahlzwillinge \( (p,p+2) \) sind hierin enthalten?
Aufgabe HA 37 (Primzahldrillinge)
Sei \( p\in\mathbb N. \) Sind \( p, \) \( p+2 \) und \( p+4 \) Primzahlen, so sprechen wir von einem Primzahldrilling \( (p,p+2,p+4). \) Beweisen Sie, dass es außer \( (3,5,7) \) keine weiteren Primzahldrillinge gibt. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
| \( \circ \) | Angenommen, es liegt ein Primzahldrilling \( (p,p+2,p+4) \) mit \( p\gt 3 \) vor. |
| \( \circ \) | Als Primzahl besitzt \( p\gt 3 \) nach Teilung durch \( 3 \) den Rest \( 1 \) oder \( 2. \) |
| \( \circ \) | Welche Reste besitzen dann \( p+2 \) bzw. \( p+4 \) nach Teilung durch \( 3? \) |
Aufgabe HA 38 (Zur Eulerschen \( \varphi \)-Funktion)
Stellen Sie eine Tabelle für die Werte \( \varphi(n) \) für \( n=1,2,\ldots,12 \) auf.
Aufgabe HA 39 (Zur Eulerschen Produktformel)
Sind \( p_1,\ldots,p_s \) sämtliche verschiedene Primteiler der natürlichen Zahl \( n\ge 2, \) so gilt nach Vorlesung die Eulersche Produktformel \[ \varphi(n)=n\cdot\prod_{i=1}^s\left(1-\frac{1}{p_i}\right). \] Verifizieren Sie diese Produktformel f\"ur \( n=2,\ldots,6 \) unter Benutzung Ihrer Ergebnisse aus HA 38.