Hausaufgabenblatt 10
Aufgabe HA 45 (Bestimmen von Inversen)
Bestimmen Sie ein \( x\in\mathbb Z \) mit der Eigenschaft \[ 15x\equiv 1\,\text{mod}\,167. \]
Aufgabe HA 46 (Rechnen mit dem größten gemeinsamen Teiler)
Es seien \( a,b\in\mathbb Z \) und \( m\ge 2. \) Beweisen Sie \[ \text{ggT}(ab,m)\mid\text{ggT}(a,m)\cdot\text{ggT}(b,m). \]
Aufgabe HA 47 (Primzahlfaktoren und Quadervolumen)
Ein Quader mit den Seitenlängen \( a,b,c\in\mathbb N \) und \( 1\lt a\lt b\lt c \) besitze das Volumen \[ abc=273. \] Bestimmen Sie \( a, \) \( b \) und \( c. \)
Aufgabe HA 48 (Noch ein Quader)
Ein Quader besitze die Seitenlängen \( a=5, \) \( b=4 \) und die Oberfläche \( A=85. \) Bestimmen Sie die dritte Seitenlänge \( c. \)
Aufgabe HA 49 (Basen und Erzeugendensysteme)
Bilden die folgenden Systeme von Vektoren \( a, \) \( b, \) \( c \) jeweils ein Erzeugendensystem des \( \mathbb R^2? \) Bestimmen Sie ferner jeweils eine Basis des \( \mathbb R^2 \) aus den gegebenen Vektoren bzw. ergänzen Sie, falls notwendig, das System durch einen vierten Vektor \( d\in\mathbb R^2, \) um eine Basis des \( \mathbb R^2 \) zu erhalten.
| (i) | \( a=(1,0), \) \( b=(1,7), \) \( c=(-1,1) \) |
| (ii) | \( a=(1,-1), \) \( b=(0,0), \) \( c=(-3,3) \) |