Hausaufgabenblatt 11
Aufgabe HA 50 (Werte der Winkelfunktionen)
Ermitteln Sie elementargeometrisch: \[ \begin{array}{l} \displaystyle \sin 0,\quad \sin\frac{\pi}{6}\,,\quad \sin\frac{\pi}{4}\,,\quad \sin\frac{\pi}{3}\,,\quad \sin\frac{\pi}{2}\,, \\[3ex] \displaystyle \cos 0,\quad \cos\frac{\pi}{6}\,,\quad \cos\frac{\pi}{4}\,,\quad \cos\frac{\pi}{3}\,,\quad \cos\frac{\pi}{2} \end{array} \] Wenden Sie dabei geeignete Dreieckssätze usw. aus der Elementargeometrie an.
Aufgabe HA 51 (Polardarstellung komplexer Zahlen)
Bestimmen Sie Radius \( r\lt 0 \) und Argument \( \varphi\in[0,2\pi) \) folgender komplexer Zahlen:
| (i) | \( z=(2,0) \) |
| (ii) | \( \displaystyle z=\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\,,-\,\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \) |
| (iii) | \( \displaystyle z=\left(-\,\frac{\sqrt{3}}{4}\,,\frac{1}{4}\right) \) |
Aufgabe HA 52 (Folgerungen aus den Additionstheoremen)
Beweisen Sie unter Verwendung der Additionstheoreme für die Winkelfunktionen
| (i) | \( \cos 2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi \) |
| (ii) | \( \sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi \) |
Folgern Sie hieraus
| (iii) | \( \cos 3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi \) |
| (iv) | \( \sin 3\varphi=3\sin\varphi-4\sin^3\varphi \) |
Aufgabe HA 53 (Anwendung der Formel von de Moivre)
Ermitteln Sie mit Hilfe der Formel von de Moivre:
| (i) | \( (-1+i\sqrt{3})^{60} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{90} \) |
Aufgabe HA 54 (Die Einheitswurzeln)
Es sei \( n\ge 1 \) eine natürliche Zahl.
| (i) | Beweisen Sie, dass die \( n \) verschiedenenen komplexen Zahlen |
\[ z_k:=\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n}\,,\quad k=0,1,2,\ldots,n, \]
| die Gleichung lösen |
\[ z^n=1. \] Setzen wir \[ \zeta:=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\,, \] so gilt nach der Formel von de Moivre \( \zeta^k=z_k. \) Die Zahlen \( 1,\zeta,\ldots,\zeta^{n-1} \) heißen die \( n \)-ten Einheitswurzeln.
| (ii) | Berechnen Sie die \( n \)-ten Einheitswurzeln für folgende Werte |
\[ n=2\quad\mbox{und}\quad n=3. \]
| Führen Sie jeweils die Probe durch. |