Präsenzblatt 4
Aufgabe PA 13 (Berechnen von Fakultäten)
Ermitteln Sie \[ \quad\frac{4!\cdot 6!}{5!}\,,\quad \quad\frac{2!\cdot 9!}{6!}\,,\quad \quad\frac{1002!}{1000!} \]
Aufgabe PA 14 (Binomialkoeffizient und Fakultät I)
Unter Verwendung der Identität \[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \] sind zu beweisen:
| (i) | \( \displaystyle\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1} \) für alle \( n\in\mathbb N \) |
| (ii) | \( \displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \) für alle \( k,n\in\mathbb N_0 \) mit \( n\ge k \) |
Aufgabe PA 15 (Anwendung des binomischen Lehrsatzes)
Beweisen Sie durch Anwendung des binomischen Lehrsatzes
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n \) für alle \( n\in\mathbb N_0 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=0 \) für alle \( n\in\mathbb N \) |
Aufgabe PA 16 (Zur Mächtigkeit endlicher Mengen)
Es seien \( A \) und \( B \) zwei endliche Mengen. Beweisen Sie, dass dann gilt \[ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|, \] worin \( |A| \) die Anzahl der Elemente von \( A \) bedeutet usw.
Aufgabe PA 17 (Summe über Quadrate)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ S_2(n):=\sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{3}\,n^3+\frac{1}{2}\,n^2+\frac{1}{6}\,n\quad\text{für alle}\ n\ge 1. \]
Aufgabe PA 18 (\( S_2(n) \) und die binomische Formel)
Verifizieren Sie Ihr Ergebnis aus der vorigen Aufgabe PA 17, indem Sie die reellen Koeffizienten \( a, \) \( b \) und \( c \) im Ansatz \[ S_2(n)=an^3+bn^2+cn \] auf folgendem Wege bestimmen: Wegen \[ (k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 \] nach der binomischen Formel gelten zunächst nacheinander für \( k=1,2,\ldots,n \) \[ \begin{array}{rcl} 2^3-1^3 & = & 3\cdot 1^2+3\cdot 1+1, \\[0.4ex] 3^3-2^3 & = & 3\cdot 2^2+3\cdot 2+1, \\ \vdots & & \vdots \\[0.6ex] (n+1)^3-n^3 & = & 3\cdot n^2+3\cdot n+1. \end{array} \] Addition aller dieser Identitäten liefert (linke und rechte Seiten getrennt addieren, in der linken Wechselsumme fallen fast alle Summanden raus) \[ \begin{array}{rcl} (n+1)^3-1 & = & 3(1^2+2^2+\ldots+n^2)+3(1+2+\ldots+n)+n \\[0.6ex] & = & 3S_2(n)+3S_1(n)+n. \end{array} \] Die gesuchte Formel für \( S_2(n) \) folgt nach Umstellen und Einsetzen der bekannten Gaußschen Summenformel für \( S_1(n) \) im zweiten Summanden rechts.
Freiwillig.