Präsenzblatt 5
Aufgabe PA 19 (Hintereinanderausführen von Permutationen)
Bestimmen Sie die verketteten Permutationen \( \sigma\circ\tau \) und \( \tau\circ\sigma \) für \[ \sigma:\ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 5 & 3 & 4 \end{array}\right),\quad \tau:\ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 2 & 5 & 1 \end{array}\right). \]
Aufgabe PA 20 (\( S_2 \) ist kommutativ)
Wir betrachten die symmetrische Gruppe \( S_2=S(\{1,2\}). \) Seien ferner \( \sigma,\tau\in S_2 \) beliebig gewählt. Zeigen Sie, dass dann gilt \[ \sigma\circ\tau=\tau\circ\sigma, \] d.h. die symmetrische Gruppe \( S_2 \) ist kommutativ. Beweisen Sie ferner durch ein Gegenbeispiel, dass bereits \( S_3 \) nicht mehr kommutativ ist.
Aufgabe PA 21 (Inverse Permutationen)
Ermitteln Sie zu folgenden Permutationen die Inversen \( \sigma^{-1} \) bzw. \( \tau^{-1}. \) Führen Sie die Probe durch.
| (i) | \( \sigma:\,\ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 5 & 4 \end{array}\right) \) |
| (ii) | \( \tau:\ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 3 \end{array}\right) \) |
Aufgabe PA 22 (Produkt von Zykeln)
In \( S_7 \) betrachten wir die beiden Zykel \[ \sigma:\ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & 2 \end{array}\right)\quad\mbox{und}\quad\tau:\ \left(\begin{array}{ccc} 6 & 5 & 7 \end{array}\right). \]
| (i) | Sind diese Zykel disjunkt? Begründen Sie. |
| (ii) | Ermitteln Sie \( \sigma\circ\tau \) und \( \tau\circ\sigma. \) Erklären Sie. |