Präsenzblatt 7
Aufgabe PA 27 (Zum Wahrscheinlichkeitsraum)
Es sei \( (\Omega,P) \) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mit einer nichtleeren, endlichen Menge \( \Omega \) und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung \( P\colon{\mathcal P}(\Omega)\to[0,1]. \) Beweisen Sie unter Verwendung der Kolmogorovschen Axiome:
| (i) | \( \displaystyle\sum_{\omega\in\Omega}P(\{\omega\})=1 \) |
| (ii) | \( \displaystyle P(A)=\sum_{\omega\in A}P(\{\omega\})\quad \) für alle \( A\in{\mathcal P}(\Omega) \) mit \( A\not=\emptyset \) |
Aufgabe PA 28 (Zweimaliger Wurf eines Würfels I)
Ein unverfälschter Würfel wird zweimal geworfen. Wir betrachten die Ereignisse \[ \begin{array}{l} A\,:\quad\text{beim ersten Wurf wird eine \( 3 \) geworfen} \\ B\,:\quad\text{beim zweiten Wurf wird eine \( 4 \) geworfen} \end{array} \]
| (i) | Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum \( \Omega \) an. |
| (ii) | Welchen Teilmengen von \( \Omega \) entsprechen die Ereignisse \( A \) und \( B \) sowie \( A\cup B \) und \( A\cap B? \) |
| (iii) | Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten |
\[ P(A),\quad P(B),\quad P(A\cup B),\quad P(A\cap B) \]
| unter Annahme einer Laplaceschen Gleichverteilung. |
Aufgabe PA 29 (Zu einem Beispiel aus der Vorlesung)
Von einer Familie mit \( 2 \) Kindern ist bekannt, dass wenigstens eines der Kinder ein Mädchen ist.
| (i) | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ein Junge ist unter der Bedingung, dass wenigstens eines der Kinder ein Mädchen ist, und unter Annahme einer Laplaceschen Gleichverteilung. |
| (ii) | Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Ergebnis aus der Vorlesung. Was besagt die Summe der berechneten Wahrscheinlichkeiten - einmal aus der Vorlesung, dann aus Aufgabenteil (i)? |
Aufgabe PA 30 (Ziehen aus einer Urne mit und ohne Zurücklegen)
Eine Urne enthält \( 3 \) rote (R) und \( 5 \) weiße (W) Kugeln. Betrachte die beiden Zufallsexperimente
| \( \circ \) | \( E_1 \) bedeutet zweimal ziehen, nach dem ersten Zug zur\"ucklegen |
| \( \circ \) | \( E_2 \) bedeutet zweimal ziehen, nach dem ersten Zug nicht zur\"ucklegen |
sowie die beiden Ereignisse \[ \begin{array}{l} A\,:\quad\text{die erste gezogenen Kugel ist rot} \\ B\,:\quad\text{die zweite gezogenen Kugel ist weiß} \end{array} \] Ermitteln Sie (eventuell mit Hilfe eines Baumdiagramms)
| (i) | \( P(A), \) \( P(B), \) \( P(A\cap B) \) und \( P(B|A) \) für das Experiment \( E_1 \) |
| (ii) | \( P(A), \) \( P(B), \) \( P(A\cap B) \) und \( P(B|A) \) für das Experiment \( E_1 \) |
In welchen dieser Experimente sind \( A \) und \( B \) unabhängig? Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.
| (iii) | Welchen Ergebnisraum \( \Omega \) stellen Sie auf? |