Präsenzblatt 9
Aufgabe PA 35 (Kongruenzen verallgemeinern die Gleichheit)
Beweisen Sie die Implikation \[ a=b,\quad\mbox{dann}\quad a\equiv b\,\mbox{mod}\,m\quad\mbox{für alle}\ m\ge 2. \] Gilt hiervon auch die Umkehrung? Geben Sie eventuell ein Gegenbeispiel an.
Aufgabe PA 36 (Rechengesetze für Kongruenzen I)
Beweisen Sie, dass für alle \( a,b,c\in\mathbb Z \) und alle \( m\ge 2 \) gelten:
| (i) | \( a\equiv a\,\mbox{mod}\,m \) |
| (ii) | \( a\equiv b\,\mbox{mod}\,m \) genau dann, wenn \( b\equiv a\,\mbox{mod}\,m \) |
| (iii) | \( a\equiv b\,\mbox{mod}\,m \) und \( b\equiv c\,\mbox{mod}\,m, \) dann \( a\equiv c\,\mbox{mod}\, m \) |
Aufgabe PA 37 (Restklassen nach Division)
Bestimmen Sie die folgenden Restklassen (also als Mengen):
| (i) | \( 5\,\mbox{mod}\,3 \) |
| (ii) | \( 12\,\mbox{mod}\,7 \) |
Aufgabe PA 38 (Addition von Restklassen)
Es seien \( a\,\mbox{mod}\,m \) und \( b\,\mbox{mod}\,m \) zwei Restklassen. Beweisen Sie, dass die Addition \[ a\,\mbox{mod}\,m+_Rb\,\mbox{mod}\,m:=(a+b)\,\mbox{mod}\,m \] kommutativ und assoziativ ist.
Aufgabe PA 39 (Teilbarkeit durch \( 6 \))
Beweisen Sie: Für jede natürliche Zahl \( a\in\mathbb N \) gilt \( a^3\equiv a\,\mbox{mod}\,6. \)