AXIOMENSYSTEME DER AUSSAGENLOGIK

• G. Frege (1879)
• B. Russell, A.N. Whitehead (1910)
• D. Hilbert (1922)
• W. Ackermann, D. Hilbert (1928)
• J. Lukasiewicz, A. Tarski (1930)
• J. Lukasiewicz (1930, 1. Alternative)
• J. Lukasiewicz (1930, 2. Alternative)
• J. Lukasiewicz (1930, 3. Alternative)
• J. Lukasiewicz, A. Tarski (1930)
• P. Bernays, D. Hilbert (1934)
• J.B. Rosser (1953)
• W. Ackermann, D. Hilbert (1959)
• S.C. Kleene (1967)
• J.R. Shoenfield (1967)
• S. Tanaka (1967)
• E. Mendelson (1997)

G. Frege

Entnommen aus: Begriffsschrift (1879); siehe auch Begriffsschrift und andere Aufsätze (2014)

Axiome:

1. $\quad a\to(b\to a)$
2. $\quad [c\to(b\to a)]\to[(c\to b)\to(c\to a)]$
3. $\quad [c\to(b\to a)]\to[b\to(c\to a)]$
4. $\quad (b\to a)\to(\neg a\to\neg b)$
5. $\quad \neg\neg a\to a$
6. $\quad a\to\neg\neg a$

B. Russell, A.N. Whitehead

Entnommen aus: Principia mathematica 1 (1910)

Axiome:

1. $\quad a\vee a\to a$
2. $\quad b\to a\vee b$
3. $\quad a\vee b\to b\vee a$
4. $\quad a\vee(b\vee c)\to b\vee(a\vee c)$
5. $\quad (b\to c)\to(a\vee b\to a\vee c)$

S. Hilbert

Entnommen aus: Die logischen Grundlagen der Mathematik (1922)

Axiome:

1. $\quad a\to(b\to a)$
2. $\quad [a\to(a\to b)]\to(a\to b)$
3. $\quad [a\to(b\to c)]\to[b\to(a\to c)]$
4. $\quad (b\to c)\to[(a\to b)\to(a\to c)]$
5. $\quad a\to(\neg a\to b)$
6. $\quad (a\to b)\to[(\neg a\to b)\to b]$

Schlussregel:

1. Modus Ponens

W. Ackermann, D. Hilbert

Entnommen aus: Grundzüge der theoretischen Logik (1928)

Axiome:

1. $\quad a\vee a\to a$
2. $\quad a\to a\vee b$
3. $\quad a\vee b\to b\vee a$
4. $\quad (a\to b)\to(c\vee a\to c\vee b)$

Schlussregel:

1. Einsetzungsregel
2. Modus Ponens

J. Lukasiewicz, A. Tarski

Entnommen aus: Untersuchungen über den Aussagenkalkül (1930); siehe auch J. Lukasiewicz: Elements of mathematical logic (1963)

Axiome:

1. $\quad (a\to b)\to[(b\to c)\to(a\to c)]$
2. $\quad (\neg a\to a)\to a$
3. $\quad a\to(\neg a\to b)$

J. Lukasiewicz

1. Alternative, entnommen aus: Elements of mathematical logic (1963)

Axiome:

1. $\quad (a\to b)\wedge(b\to c)\to(a\to c)$
2. $\quad (\neg a\to a)\to a$
3. $\quad a\to(\neg a\to b)$

Schlussregel:

1. Modus Ponens

J. Lukasiewicz

2. Alternative, entnommen aus: Elements of mathematical logic (1963)

Axiome:

1. $\quad (a\to b)\to[(b\to c)\to(a\to c)]$
2. $\quad (\neg a\to b)\to[(b\to a)\to a]$
3. $\quad a\to(\neg a\to b)$

Schlussregel:

1. Modus Ponens

J. Lukasiewicz

Entnommen aus: Elements of mathematical logic (1963)

Axiome:

1. $\quad [(a\to b)\to c]\to(b\to c)$
2. $\quad [(a\to b)\to c]\to(\neg a\to a)$
3. $\quad (\neg a\to c)\to\{(b\to c)\to[(a\to b)\to c]\}$

Schlussregel:

1. Modus Ponens

J. Lukasiewicz, A. Tarski

Entnommen aus: Untersuchungen über den Aussagenkalkül (1930)

Axiom:

1. $\quad ((a\to(b\to a))\to(((\neg c\to(d\to\neg e))\to((c\to(d\to f))\to((e\to d)\to(e\to f))))\to g)) \\ \quad\to(h\to g)$

P. Bernays, D. Hilbert

Entnommen aus: Grundlagen der Mathematik I (1934)

Axiome:

1. $\quad a\to(b\to a)$
2. $\quad [a\to(a\to b)]\to(a\to b)$
3. $\quad (a\to b)\to[(b\to c)\to(a\to c)]$
4. $\quad a\wedge b\to a$
5. $\quad a\wedge b\to b$
6. $\quad (a\to b)\to[(a\to c)\to(a\to b\wedge c)]$
7. $\quad a\to a\vee b$
8. $\quad b\to a\vee b$
9. $\quad (a\to c)\to[(b\to c)\to(a\vee b\to c)]$
10. $\quad (a\leftrightarrow b)\to(a\to b)$
11. $\quad (a\leftrightarrow b)\to(b\to a)$
12. $\quad (a\to b)\to[(b\to a)\to(a\leftrightarrow b)]$
13. $\quad (a\to b)\to(\neg b\to\neg a)$
14. $\quad a\to\neg\neg a$
15. $\quad \neg\neg a\to a$

J.B. Rosser

Entnommen aus: Logic for mathematicians (1953)

Axiome:

1. $\quad a\to(a\wedge a)$
2. $\quad (a\wedge b)\to a$
3. $\quad (a\to b)\to[\neg(b\wedge c)\to\neg(c\wedge a)]$

Schlussregel:

1. Modus Ponens

W. Ackermann, D. Hilbert

Entnommen aus: Grundzüge der theoretischen Logik (1959)

Axiome:

1. alle Formeln
   • die aus einer Disjunktion $a_1\vee\ldots\vee a_n$ bestehen, worin die $a_i$ Aussagenvariablen oder negierte Aussagenvariablen sind
   • eine gewisse Aussagenvariable tritt einmal negiert und einmal unnegiert auf

Schlussregel:

1. $\displaystyle \quad\genfrac{}{}{1pt}{}{a\vee b\vee c}{a\vee \neg\neg b\vee c}$
2. $\displaystyle \quad\genfrac{}{}{1pt}{}{a\vee\neg c\vee b,a\vee\neg d\vee b}{a\vee\neg(c\vee d)\vee b}$

S.C. Kleene

Entnommen aus: Mathematical logic (1967); siehe auch Mathematical logic (2013);

Axiome:

1. $\quad a\to(b\to a)$
2. $\quad (a\to b)\to\{[a\to(b\to c)]\to(a\to c)\}$
3. $\quad a\to(b\to a\wedge b)$
4. $\quad a\wedge b\to a$
5. $\quad a\wedge b\to b$
6. $\quad a\to a\vee b$
7. $\quad b\to a\vee b$
8. $\quad (a\to c)\to[(b\to c)\to(a\vee b\to c)]$
9. $\quad (a\to b)\to[(a\to\neg b)\to\neg a]$
10. $\quad \neg\neg a\to a$
11. $\quad (a\to b)\to[(b\to a)\to(a\leftrightarrow b)]$
12. $\quad (a\leftrightarrow b)\to(a\to b)$
13. $\quad (a\leftrightarrow b)\to(b\to a)$

Schlussregel:

1. Modus Ponens

J.R. Shoenfield

Entnommen aus: Mathematical logic (1967); siehe auch R.E. Hodel: An introduction ... (2013)

Axiom:

Schlussregeln:

S. Tanaka

Entnommen aus: On axiom systems of propositional logic XXV (1967)

Axiome:

1. $\quad (a\to b)\to[(b\to c)\to(a\to c)]$
2. $\quad [(a\to b)\to a]\to a$
3. $\quad a\to[(a\to b)\to b]$

E. Mendelson

Entnommen aus: Introduction to mathematical logic (4. Auflage, 1997)

Axiome:

1. $\quad a\to(b\to a)$
2. $\quad a\to(b\to c)\to[(a\to b)\to(a\to c)]$
3. $\quad (\neg b\to\neg a)\to[(\neg b\to a)\to b]$

Schlussregel:

1. Modus Ponens