MATERIALIEN ZUR ANALYSIS 1


 

Teil I: Zahlen, Folgen und Reihen

1. Grundlagen

1.1 Mathematische Logik

1.1.1 Aussagen und Aussageformen

1.1.2 Logische Paradoxien

1.1.3 Verknüpfungen von Aussagen

1.1.4 Aussagenlogische Beweisprinzipien

1.1.5 Quantoren

1.1.6 Aufgaben

1.2 Elementare Mengenlehre

1.2.1 Charakterisierung von Mengen

1.2.2 Mengenrelationen und Mengenoperationen

1.2.3 Rechenregeln für Mengen

1.2.4 Die Axiome der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre

1.2.5 Abbildungen zwischen Mengen

1.2.6 Mächtigkeit von Mengen

1.2.7 Relationen

1.2.8 Äquivalenzrelationen

1.2.9 Funktionen

1.2.10 Der Satz von Cantor-Bernstein-Schröder

1.2.11 Aufgaben

2. Elementare Zahlenbereiche

2.1 Die natürlichen Zahlen

2.1.1 Mengentheoretische Einführung der natürlichen Zahlen

2.1.2 Peano-Dedekind-Axiomatik der natürlichen Zahlen

2.1.3 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen

2.1.4 Das Prinzip der vollständigen Induktion

2.1.5 Das Rechnen mit natürlichen Zahlen

2.1.6 Ordnungsstruktur der natürlichen Zahlen

2.1.7 Subtraktion natürlicher Zahlen

2.1.8 Aufgaben

2.2 Die ganzen Zahlen

2.2.1 Definition der ganzen Zahlen

2.2.2 Addition und Multiplikation ganzer Zahlen

2.2.3 Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen

2.2.4 Ordnungsstruktur der ganzen Zahlen

2.2.5 Aufgaben

2.3 Die rationalen Zahlen

2.3.1 Definition der rationalen Zahlen

2.3.2 Addition und Multiplikation rationaler Zahlen

2.3.3 Einbettung der ganzen Zahlen in rationale Zahlen

2.3.4 Ordnungsstruktur der rationalen Zahlen

2.3.5 Fakultät und Binomialkoeffizient

2.3.6 Abzählbarkeit der rationalen Zahlen

2.3.7 Aufgaben

2.4 Einführung in die Körpertheorie

2.4.1 Definition eines Körpers

2.4.2 Rechnen in Körpern

2.4.3 Angeordnete Körper

2.4.4 Das Archimedische Axiom

2.4.5 Der Absolutbetrag

2.4.6 Aufgaben

3. Reelle Zahlen

3.1 Rationale und nichtrationale Zahlen

3.1.1 Existenz nichtrationaler Zahlen

3.1.2 Definition der reellen Zahlen

3.1.3 Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen

3.1.4 Aufgaben

3.2 Algebraische Struktur reeller Zahlen

3.2.1 Beschränktheit rationaler Cauchyfolgen

3.2.2 Addition und Multiplikation reeller Zahlen

3.2.3 Ordnungsstruktur der reellen Zahlen

3.2.4 Die multiplikative Inverse einer reellen Zahl

3.2.5 Reelle Zahlenintervalle

3.2.6 Die reellen Zahlen als Körper

3.2.7 Aufgaben

3.3 Weitere Eigenschaften reeller Zahlen

3.3.1 Lösung der p-ten Wurzelgleichung

3.3.2 Der binomische Lehrsatz

3.3.3 Dezimaldarstellung reeller Zahlen

3.3.4 Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

3.3.5 Aufgaben

3.4 Reelle Zahlenfolgen

3.4.1 Konvergente und divergente Zahlenfolgen

3.4.2 Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen

3.4.3 Dichtheit der rationalen Zahlen, Vollständigkeit der reellen Zahlen

3.4.4 Der Häufungsstellensatz von Weierstraß

3.4.5 Monotone Zahlenfolgen

3.4.6 Der erweiterte Zahlenraum

3.4.7 Infimum und Supremum

3.4.8 Limes inferior und limes superior

3.4.9 Aufgaben

4. Komplexe Zahlen

4.1 Eigenschaften komplexer Zahlen

4.1.1 Definition komplexer Zahlen

4.1.2 Addition und Multiplikation komplexer Zahlen

4.1.3 Die komplexe Einheit

4.1.4 Die komplexe Ebene

4.1.5 Aufgaben

4.2 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

4.2.1 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Komplexen

4.2.2 Aufgaben

5. Theorie der Reihen

5.1 Konvergente und divergente Reihen

5.1.1 Reihen und Partialsummen

5.1.2 Das Cauchysche Konvergenzkriterium

5.1.3 Die geometrische Reihe

5.1.4 Die harmonische Reihe

5.1.5 Aufgaben

5.2 Konvergenzkriterien

5.2.1 Das Majorantenkriterium

5.2.2 Das Minorantenkriterium

5.2.3 Das Leibnizkriterium

5.2.4 Das Wurzelkriterium

5.2.5 Das Quotientenkriterium

5.2.6 Vergleich von Wurzel- und Quotientenkriterium

5.2.7 Der Satz von Oliver

5.2.8 Das Verdichtungskriterium von Cauchy

5.2.9 Der Abelsche Konvergenzsatz

5.2.10 Der Dirichletsche Konvergenzsatz

5.2.11 Das Konvergenzkriterium von Kummer und Dini

5.2.12 Das Konvergenzkriterium von Raabe

5.2.13 Das Konvergenzkriterium von Gauß

5.2.14 Aufgaben

5.3 Umordnung von Reihen

5.3.1 Absolute und bedingte Konvergent

5.3.2 Der Begriff der Reihenumordnung

5.3.3 Der erste Riemannsche Umordnungssatz

5.3.4 Der zweite Riemannsche Umordnungssatz

5.3.5 Aufgaben

5.4 Doppelreihen

5.4.1 Der Begriff der Doppelreihen

5.4.2 Absolut konvergente Doppelreihen

5.4.3 Der Cauchysche Produktsatz

5.4.4 Aufgaben

5.5 Potenzreihen

5.5.1 Definition und die komplexe Exponentialreihe

5.5.2 Der Satz von Cauchy-Hadamard

5.5.3 Konvergenzradius und Konvergenzbereiche

5.5.4 Der Cauchysche Produktsatz für Potenzreihen

5.5.5 Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion

5.5.6 Aufgaben

Teil II: Funktion in einer reellen Veränderlichen

6. Stetige Funktionen

6.1 Der Begriff der Stetigkeit

6.1.1 Grundbegriffe

6.1.2 Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit

6.1.3 Häufungspunkte und isolierte Punkte

6.1.4 Folgenstetigkeit

6.1.5 Aufgaben

6.2 Der Raum der stetigen Funktionen

6.2.1 Algebraische Eigenschaften stetiger Funktionen

6.2.2 Der Vektorraum der stetigen Funktionen

6.2.3 Offene, abgeschlossene und kompakte Mengen

6.2.4 Stetigkeit der Umkehrfunktion

6.2.5 Aufgaben

6.3 Sätze über stetige Funktionen

6.3.1 Der Fundamentalsatz von Weierstraß

6.3.2 Der Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß

6.3.3 Satz über die monotone Umkehrfunktion

6.3.4 Satz über die gleichmäßige Stetigkeit

6.3.5 Aufgaben

6.4 Funktionenfolgen

6.4.1 Konvergenzbegriffe

6.4.2 Cauchykriterium zur gleichmäßigen Konvergenz

6.4.3 Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit

6.4.4 Aufgaben

6.5 Der Weierstraßsche Majorantentest

6.5.1 Funktionenreihen und gleichmäßige Konvergent

6.5.2 Der Weierstraßsche Majorantentest

6.5.3 Aufgaben

7. Differenzierbare Funktionen

7.1 Der Raum der differenzierbaren Funktionen

7.1.1 Definition

7.1.2 Lineare Approximation und Stetigkeit

7.1.3 Algebraische Eigenschaften

7.1.4 Die Kettenregel

7.1.5 Differentiation der Umkehrfunktion

7.1.6 Stetig differenzierbare Funktionen

7.1.7 Aufgaben

7.2 Die allgemeine Potenzfunktion

7.2.1 Natürlicher Logarithmus und allgemeine Potenz

7.2.2 Rechenregeln

7.2.3 Aufgaben

7.3 Sätze über differenzierbare Funktionen

7.3.1 Der Satz von Rolle

7.3.2 Ein notwendiges Kriterium für lokale Extrema

7.3.3 Mittelwertsätze

7.3.4 Ein notwendiges Kriterium für strenge lokale Maxima und Minima

7.3.5 Aufgaben

7.4 Die Taylorsche Formel

7.4.1 Differentiation von Potenzreihen

7.4.2 Die Taylorsche Formel

7.4.3 Aufgaben

7.5 Trigonometrische Funktionen

7.5.1 Definition und Eulersche Darstellung

7.5.2 Potenzreihenentwicklungen

7.5.3 Additionstheoreme

7.5.4 Ableitungen der trigonometrischen Funktionen

7.5.5 Einführung der Kreiszahl

7.5.6 Eigenschaften der reellen trigonometrischen Funktionen

7.5.7 Polardarstellung komplexer Zahlen

7.5.8 Die Periode der komplexen Exponentialreihe

7.5.9 Aufgaben

8. Das Riemannsche Integral

8.1 Einführung des Riemannschen Integrals

8.1.1 Zerlegung von Intervallen

8.1.2 Die Riemannsche Zwischensumme

8.1.3 Riemannintegrierbarkeit und Riemannsches Integral

8.1.4 Kriterien zur Riemannintegrierbarkeit

8.1.5 Die Dirichletsche Sprungfunktion

8.1.6 Aufgaben

8.2 Eigenschaften Riemannintegrierbarer Funktionen

8.2.1 Algebraische Eigenschaften

8.2.2 Monotonie des Riemannschen Integrals

8.2.3 Beschränktheit Riemannintegrierbarer Funktionen

8.2.4 Riemannintegrierbarkeit des Absolutbetrags

8.2.5 Aufgaben

8.3 Das Riemann-Darbouxsche Integral

8.3.1 Untersummen und Obersummen

8.3.2 Riemann-Darboux-Integrierbarkeit

8.3.3 Äquivalenz beider Integralbegriffe

8.3.4 Aufgaben

8.4 Zwei Klassen Riemannintegrierbarer Funktionen

8.4.1 Riemannintegrierbarkeit monotoner Funktionen

8.4.2 Riemannintegrierbarkeit stetiger Funktionen

8.4.3 Aufgaben

8.5 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

8.5.1 Der Fundamentalsatz

8.5.2 Die Signumfunktion

8.5.3 Stammfunktionen

8.5.4 Aufgaben

8.6 Integrationsregeln

8.6.1 Die Regel der partiellen Integration

8.6.2 Die Substitutionsregel

8.6.3 Aufgaben

8.7 Integration und Grenzwertbildung

8.7.1 Der Vertauschbarkeitssatz

8.7.2 Ein Beispiel

8.7.3 Der Satz von Arzela

8.7.4 Aufgaben

Lösungen zu den Aufgaben

Lösungen zu den Aufgaben - Grundlagen

Lösungen zu den Aufgaben - Elementare Zahlenbereiche

Lösungen zu den Aufgaben - Reelle Zahlen

Lösungen zu den Aufgaben - Komplexe Zahlen

Lösungen zu den Aufgaben - Theorie der Reihen

Lösungen zu den Aufgaben - Stetige Funktionen

Lösungen zu den Aufgaben - Differenzierbare Funktionen

Lösungen zu den Aufgaben - Integrierbare Funktionen