MATERIALIEN ZUR ANALYSIS 1


 

Teil I: Zahlen, Folgen und Reihen

1. Grundlagen

1.1 Mathematische Logik

1.1.1 Aussagen und Aussageformen

1.1.2 Logische Paradoxien

1.1.3 Verknüpfungen von Aussagen

1.1.4 Aussagenlogische Beweisprinzipien

1.1.5 Quantoren

1.1.6 Aufgaben

1.2 Elementare Mengenlehre

1.2.1 Charakterisierung von Mengen

1.2.2 Mengenrelationen und Mengenoperationen

1.2.3 Rechenregeln für Mengen

1.2.4 Die Axiome der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre

1.2.5 Abbildungen zwischen Mengen

1.2.6 Mächtigkeit von Mengen

1.2.7 Relationen

1.2.8 Äquivalenzrelationen

1.2.9 Funktionen

1.2.10 Der Satz von Cantor-Bernstein-Schröder

1.2.11 Aufgaben

2. Elementare Zahlenbereiche

2.1 Die natürlichen Zahlen

2.1.1 Mengentheoretische Einführung der natürlichen Zahlen

2.1.2 Peano-Dedekind-Axiomatik der natürlichen Zahlen

2.1.3 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen

2.1.4 Das Prinzip der vollständigen Induktion

2.1.5 Das Rechnen mit natürlichen Zahlen

2.1.6 Ordnungsstruktur der natürlichen Zahlen

2.1.7 Subtraktion natürlicher Zahlen

2.1.8 Aufgaben

2.2 Die ganzen Zahlen

2.2.1 Definition der ganzen Zahlen

2.2.2 Addition und Multiplikation ganzer Zahlen

2.2.3 Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen

2.2.4 Ordnungsstruktur der ganzen Zahlen

2.2.5 Aufgaben

2.3 Die rationalen Zahlen

2.3.1 Definition der rationalen Zahlen

2.3.2 Addition und Multiplikation rationaler Zahlen

2.3.3 Einbettung der ganzen Zahlen in rationale Zahlen

2.3.4 Ordnungsstruktur der rationalen Zahlen

2.3.5 Abzählbarkeit der rationalen Zahlen

2.3.6 Aufgaben

2.4 Einführung in die Körpertheorie

2.4.1 Definition eines Körpers

2.4.2 Rechnen in Körpern

2.4.3 Angeordnete Körper

2.4.4 Das Archimedische Axiom

2.4.5 Der Absolutbetrag

2.4.6 Aufgaben

3. Reelle Zahlen

3.1 Rationale und nichtrationale Zahlen

3.1.1 Existenz nichtrationaler Zahlen

3.1.2 Definition der reellen Zahlen

3.1.3 Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen

3.1.4 Aufgaben

3.2 Eigenschaften reeller Zahlen

3.2.1 Beschränktheit rationaler Cauchyfolgen

3.2.2 Addition und Multiplikation reeller Zahlen

3.2.3 Ordnungsstruktur der reellen Zahlen

3.2.4 Vorzeichentypen

3.2.5 Inverse einer reellen Zahl

3.2.6 Reelle Zahlenintervalle

3.2.7 Der Körper der reellen Zahlen

3.2.8 Aufgaben

3.3 Lösung der p-ten Wurzelgleichung

3.3.1 Der Auflösungssatz

3.3.2 Die binomische Formel

3.3.3 Dezimaldarstellung reeller Zahlen

3.3.4 Aufgaben

3.4 Reelle Zahlenfolgen

3.4.1 Konvergente und divergente Folgen

3.4.2 Dichtheit der rationalen Zahlen

3.4.3 Vollständigkeit der reellen Zahlen

3.4.4 Der Weierstraßsche Häufungsstellensatz

3.4.5 Monotone Zahlenfolgen

3.4.6 Infimum und Supremum

3.4.7 Limes inferior und limes superior

3.4.8 Aufgaben

4. Komplexe Zahlen

4.1 Eigenschaften komplexer Zahlen

4.1.1 Definition komplexer Zahlen

4.1.2 Arithmetische Eigenschaften

4.1.3 Die komplexe Einheit

4.1.4 Die komplexe Ebene

4.1.5 Aufgaben

4.2 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

4.2.1 Cauchy-Schwarz-Ungleichung im Reellen und Komplexen

4.2.2 Die Ungleichung von Engel

4.2.3 Aufgaben

5. Theorie der Reihen

5.1 Konvergente und divergente Reihen

5.1.1 Reihen und Partialsummen

5.1.2 Das Cauchysche Konvergenzkriterium

5.1.3 Die harmonische Reihe

5.1.4 Die geometrische Reihe

5.1.5 Notwendige Konvergenzkriterien

5.1.6 Aufgaben

5.2 Hinreichende Konvergenzkriterien

5.2.1 Das Majorantenkriterium

5.2.2 Das Minorantenkriterium

5.2.3 Das Leibnizkriterium

5.2.4 Das Wurzelkriterium

5.2.5 Das Quotientenkriterium

5.2.6 Vergleich von Wurzel- und Quotientenkriterium

5.2.7 Der Satz von Oliver

5.2.8 Verdichtungskriterium von Cauchy

5.2.9 Der Abelsche Konvergenzsatz

5.2.10 Der Dirichletsche Konvergenzsatz

5.2.11 Das Konvergenzkriterium von Kummer und Dini

5.2.12 Das Konvergenzkriterium von Raabe

5.2.13 Das Konvergenzkriterium von Gauß

5.2.14 Aufgaben

5.3 Umordnung von Reihen

5.3.1 Der Begriff der Reihenumordnung

5.3.2 Der erste Riemannsche Umordnungssatz

5.3.3 Der zweite Riemannsche Umordnungssatz

5.3.4 Aufgaben

5.4 Doppelreihen

5.4.1 Konvergente und divergente Doppelreihen

5.4.2 Der Cauchysche Produktsatz

5.4.3 Aufgaben

5.5 Potenzreihen

5.5.1 Reelle und komplexe Potenzreihen

5.5.2 Der Satz von Cauchy-Hadamard

5.5.3 Konvergenzradius und Konvergenzbereiche

5.5.4 Der Satz von d'Alembert

5.5.5 Die komplexe Exponentialfunktion

5.5.6 Der Cauchysche Produktsatz für Potenzreihen

5.5.7 Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion

5.5.8 Aufgaben

Teil II: Funktion in einer reellen Veränderlichen

6. Stetige Funktionen

7. Differenzierbare Funktionen

8. Integrierbare Funktionen

Lösungen zu den Aufgaben

Lösungen zu den Aufgaben - Grundlagen

Lösungen zu den Aufgaben - Elementare Zahlenbereiche

Lösungen zu den Aufgaben - Reelle Zahlen

Lösungen zu den Aufgaben - Komplexe Zahlen

Lösungen zu den Aufgaben - Theorie der Reihen

Lösungen zu den Aufgaben - Stetige Funktionen

Lösungen zu den Aufgaben - Differenzierbare Funktionen

Lösungen zu den Aufgaben - Integrierbare Funktionen