LECTURE MATERIAL FOR ANALYSIS 1
Bases on the lectures of Prof. Dr. Friedrich Sauvigny, given in the winter semester 1992 at the Brandenburg Technical University Cottbus.
Literature
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Vorlesungsinhalt
Part I: Numbers, Sequences, and Series
1.1 Mathematical logic
1.1.1 Propositions and formulas
1.1.2 Connectives
1.1.3 Propositional principles of proof
1.1.4 Quantifiers
1.1.5 Exercises
1.1.6 Knowledge questions
1.2 Set theory
1.2.1 Characterisation of sets
1.2.2 Relations between sets and set operations
1.2.3 Calculation rules for sets
1.2.4 Mappings between sets
1.2.5 Cardinality of sets
1.2.6 Exercises
1.2.7 Knowledge questions
2. Elementary types of numbers
2.1 Natural numbers
2.1.1 Peano-Dedekind-Axiomatik der natürlichen Zahlen
2.1.2 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen
2.1.3 Das Prinzip der vollständigen Induktion
2.1.4 Das Rechnen mit natürlichen Zahlen
2.1.5 Ordnungsstruktur der natürlichen Zahlen
2.1.6 Aufgaben
2.1.7 Wiederholungsfragen
2.2. Integers
2.2.1 Definition der ganzen Zahlen
2.2.2 Addition und Multiplikation ganzer Zahlen
2.2.3 Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen
2.2.4 Ordnungsstruktur der ganzen Zahlen
2.2.5 Aufgaben
2.2.6 Wiederholungsfragen
2.3 Rational numbers
2.3.1 Definition der rationalen Zahlen
2.3.2 Addition und Multiplikation rationaler Zahlen
2.3.3 Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen
2.3.4 Ordnungsstruktur der rationalen Zahlen
2.3.5 Mächtigkeit von Mengen
2.3.6 Abzählbarkeit der rationalen Zahlen
2.3.7 Aufgaben
2.3.8 Wiederholungsfragen
2.4 Introduction to the theory of fields
2.4.1 Definition of a field
2.4.2 Calculus in fields
2.4.3 Ordered fields
2.4.4. The axiom of Archimedes
2.4.5 The absolut value
2.4.6 Exercises
2.5.7 Knowledge questions
3.1 Rational and irrational numbers
3.1.1 Existence of irrational numbers
3.1.2 Erster Schritt: Wahl einer approximierenden Zahlenfolge
3.1.3 Zweiter Schritt: Die geometrische Summenformel
3.1.4 Definition of real numbers
3.1.5 Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen
3.1.6 Aufgaben
3.1.7 Wiederholungsfragen
3.2 Algebraische Struktur reeller Zahlen
3.2.1 Beschränktheit rationaler Cauchyfolgen
3.2.2 Addition und Multiplikation reeller Zahlen
3.2.3 Ordnungsstruktur reeller Zahlen
3.2.4 Die multiplikative Inverse einer reellen Zahl
3.2.5 Reelle Zahlenintervalle
3.2.6 Die reellen Zahlen als Körper
3.2.7 Aufgaben
3.2.8 Wiederholungsfragen
3.3 Weitere Eigenschaften reeller Zahlen
3.3.1 Lösung der p-ten Wurzelgleichung - Beginn
3.3.2 Der binomische Lehrsatz
3.3.3 Lösung der p-ten Wurzelgleichung - Abschluss
3.3.4 Dezimaldarstellung reeller Zahlen
3.3.5 Überabzählbarkeit der reellen Zahlen
3.3.6 Aufgaben
3.3.7 Wiederholungsfragen
3.4 Reelle Zahlenfolgen
3.4.1 Konvergente und divergente Zahlenfolgen
3.4.2 Erste Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen
3.4.3 Dichtheit der rationalen Zahlen, Vollständigkeit der reellen Zahlen
3.4.4 Der Häufungsstellensatz von Weierstraß
3.4.5 Monotone Zahlenfolgen
3.4.6 Der erweiterte Zahlenraum
3.4.7 Infimum und Supremum
3.4.8 Limes inferior und limes superior
3.4.9 Aufgaben
3.4.10 Wiederholungsfragen
4.1 Eigenschaften komplexer Zahlen
4.1.1 Definition komplexer Zahlen
4.1.2 Addition und Multiplikation komplexer Zahlen
4.1.3 Die komplexe Einheit
4.1.4 Die komplexen Zahlen sind nicht anordbar
4.1.5 Die komplexe Ebene
4.1.6 Aufgaben
4.1.7 Wiederholungsfragen
4.2 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
4.2.1 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Komplexen
4.2.2 Aufgaben
4.2.3 Wiederholungsfragen
5.1 Konvergente und divergente Reihen
5.1.1 Reihen und ihre Partialsummen
5.1.2 Das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen
5.1.3 Die geometrische Reihe
5.1.4 Die harmonische Reihe
5.1.5 Aufgaben
5.1.6 Wiederholungsfragen
5.2 Konvergenzkriterien für Reihen
5.2.1 Das Majorantenkriterium
5.2.2 Das Minorantenkriterium
5.2.3 Das Leibnizkriterium
5.2.4 Das Wurzelkriterium
5.2.5 Das Quotientenkriterium
5.2.6 Aufgaben
5.2.7 Wiederholungsfragen
5.3 Umordnung von Reihen
5.3.1 Absolute und bedingte Konvergenz
5.3.2 Der Begriff der Umordnung
5.3.3 Der erste Riemannsche Umordnungssatz
5.3.4 Der zweite Riemannsche Umordnungssatz
5.3.5 Aufgaben
5.4.6 Wiederholungsfragen
5.4 Doppelreihen
5.4.1 Der Begriff der Doppelreihe
5.4.2 Absolut konvergente Doppelreihen
5.4.3 Der Cauchysche Produktsatz
5.4.4 Aufgaben
5.4.5 Wiederholungsfragen
5.5 Potenzreihen
5.5.1 Definition und die komplexe Exponentialreihe
5.5.2 Der Satz von Cauchy-Hadamard
5.5.3 Konvergenzradius und Konvergenzbereich
5.5.4 Der Cauchysche Produktsatz für Reihen
5.5.5 Die Funktionalgleichung der komplexwertigen Exponentialreihe
5.5.6 Aufgaben
5.5.7 Wiederholungsfragen
Teil II: Funktionen in einer Veränderlichen
6.1 Der Begriff der stetigen Funktion
6.1.1 Grundbegriffe
6.1.2 Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit
6.1.3 Häufungspunkte und isolierte Punkte
6.1.4 Folgenstetigkeit
6.2 Der Raum der stetigen Funktionen
6.2.1 Algebraische Eigenschaften stetiger Funktionen
6.2.2 Der Vektorraum der stetigen Funktionen
6.2.3 Offene, abgeschlossene und kompakte Mengen
6.2.4 Stetigkeit der Umkehrfunktion
6.2.5 Aufgaben
6.2.6 Wiederholungsfragen
6.3 Sätze über stetige Funktionen
6.3.1 Der Fundamentalsatz von Weierstraß
6.3.2 Der Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß
6.3.3 Satz über die monotone Umkehrfunktion
6.3.4 Satz über die gleichmäßige Konvergenz
6.3.5 Aufgaben
6.3.6 Wiederholungsfragen
6.4 Funktionenfolgen
6.4.1 Konvergenzbegriffe
6.4.2 Cauchykriterium zur gleichmäßigen Konvergenz
6.4.3 Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit
6.4.4 Aufgaben
6.4.5 Wiederholungsfragen
6.5 Der Weierstraßsche Majorantentest
6.5.1 Funktionenreihen und gleichmäßige Konvergenz
6.5.2 Der Weierstraßsche Majorantentest
6.5.3 Aufgaben
6.5.4 Wiederholungsfragen
7. Differenzierbare Funktionen
7.1 Der Raum der differenzierbaren Funktionen
7.1.1 Definition
7.1.2 Lineare Approximation und Stetigkeit
7.1.3 Elementare Ableitungsregeln
7.1.4 Differentiation der Umkehrfunktion
7.1.5 Der Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen
7.1.6 Aufgaben
7.1.7 Wiederholungsfragen
7.2 Die allgemeine Potenzfunktion
7.2.1 Natürlicher Logarithmus und die allgemeine Potenzfunktion
7.2.2 Rechenregeln
7.2.3 Ableitung der Potenzfunktion
7.2.4 Aufgaben
7.2.5 Wiederholungsfragen
7.3 Sätze über differenzierbare Funktionen
7.3.1 Der Satz von Rolle
7.3.2 Ein notwendiges Kriterium für lokale Extrema
7.3.3 Mittelwertsätze
7.3.4 Ein hinreichendes Kriterium für strenge lokale Minima und Maxima
7.3.5 Aufgaben
7.3.6 Wiederholungsfragen
7.4 Die Taylorsche Formel
7.4.1 Differentiation von Potenzreihen
7.4.2 Die Taylorsche Formel
7.4.3 Aufgaben
7.4.4 Wiederholungsfragen
7.5 Trigonometrische Funktionen
7.5.1 Definition und Eulersche Relation
7.5.2 Potenzreihenentwicklungen
7.5.3 Additionstheoreme und Winkelverdopplungsformeln
7.5.4 Differentiation der trigonometrischen Funktionen
7.5.5 Einführung der Kreiszahl
7.5.6 Phasenverschiebung und Monotonie der reellen trigonometrischen Funktionen
7.5.7 Polardarstellung komplexer Zahlen
7.5.8 Die Periode der komplexwertigen Exponentialfunktion
7.5.9 Die Nullstellen der komplexen Kosinusfunktion
7.5.10 Aufgaben
7.5.11 Wiederholungsfragen