MATERIALIEN ZUR ANALYSIS 1


 

Teil I: Zahlen, Folgen und Reihen

1. Grundlagen

1.1 Mathematische Logik

1.1.1 Aussagen und Aussageformen

1.1.2 Logische Paradoxien

1.1.3 Verknüpfungen von Aussagen

1.1.4 Aussagenlogische Beweisprinzipien

1.1.5 Quantoren

1.2 Elementare Mengenlehre

1.2.1 Charakterisierung von Mengen

1.2.2 Mengenrelationen und Mengenoperationen

1.2.3 Rechenregeln für Mengen

1.2.4 Die Axiome der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre

1.2.5 Abbildungen zwischen Mengen

1.2.6 Mächtigkeit von Mengen

1.2.7 Relationen

1.2.8 Äquivalenzrelationen

1.2.9 Funktionen

1.2.10 Der Satz von Cantor-Bernstein-Schröder

1.3 Aufgaben - Mathematischen Logik

1.4 Aufgaben - Elementare Mengenlehre

2. Elementare Zahlenbereiche

2.1 Die natürlichen Zahlen

2.1.1 Mengentheoretische Einführung der natürlichen Zahlen

2.1.2 Peano-Dedekind-Axiomatik der natürlichen Zahlen

2.1.3 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen

2.1.4 Das Prinzip der vollständigen Induktion

2.1.5 Das Rechnen mit natürlichen Zahlen

2.1.6 Ordnungsstruktur der natürlichen Zahlen

2.1.7 Subtraktion natürlicher Zahlen

2.2 Die ganzen Zahlen

2.2.1 Definition der ganzen Zahlen

2.2.2 Addition und Multiplikation ganzer Zahlen

2.2.3 Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen

2.2.4 Ordnungsstruktur der ganzen Zahlen

2.3 Die rationalen Zahlen

2.3.1 Definition der rationalen Zahlen

2.3.2 Addition und Multiplikation rationaler Zahlen

2.3.3 Einbettung der ganzen Zahlen in rationale Zahlen

2.3.4 Ordnungsstruktur der rationalen Zahlen

2.3.5 Abzählbarkeit der rationalen Zahlen

2.4 Einführung in die Körpertheorie

2.4.1 Definition eines Körpers

2.4.2 Rechnen in Körpern

2.4.3 Angeordnete Körper

2.4.4 Das Archimedische Axiom

2.4.5 Der Absolutbetrag

2.4 Aufgaben - Die natürlichen Zahlen

2.5 Aufgaben - Die ganzen Zahlen

2.6 Aufgaben - Die rationalen Zahlen

2.7 Aufgaben - Einführung in die Körpertheorie

3. Reelle Zahlen

3.1 Rationale und nichtrationale Zahlen

3.1.1 Existenz nichtrationaler Zahlen

3.1.2 Definition der reellen Zahlen

3.1.3 Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen

3.2 Eigenschaften reeller Zahlen

3.2.1 Beschränktheit rationaler Cauchyfolgen

3.2.2 Addition und Multiplikation reeller Zahlen

3.2.3 Ordnungsstruktur der reellen Zahlen

3.2.4 Vorzeichentypen

3.2.5 Inverse einer reellen Zahl

3.2.6 Reelle Zahlenintervalle

3.2.7 Der Körper der reellen Zahlen

3.3 Lösung der p-ten Wurzelgleichung

3.3.1 Der Auflösungssatz

3.3.2 Die binomische Formel

3.3.3 Dezimaldarstellung reeller Zahlen

3.4 Reelle Zahlenfolgen

3.4.1 Konvergente und divergente Folgen

3.4.2 Dichtheit der rationalen Zahlen

3.4.3 Vollständigkeit der reellen Zahlen

3.4.4 Der Weierstraßsche Häufungsstellensatz

3.4.5 Monotone Zahlenfolgen

3.4.6 Infimum und Supremum

3.4.7 Limes inferior und limes superior

3.5 Aufgaben - Rationale und nichtrationale Zahlen

3.6 Aufgaben - Eigenschaften reeller Zahlen

3.7 Aufgaben - Die p-ten Wurzelgleichung

3.8 Aufgaben - Reelle Zahlenfolgen

4. Komplexe Zahlen

5. Theorie der Reihen

6. Stetige Funktionen

7. Differenzierbare Funktionen

8. Integrierbare Funktionen

Lösungen zu den Aufgaben

Lösungen zu den Aufgaben - Grundlagen

Lösungen zu den Aufgaben - Elementare Zahlenbereiche

Lösungen zu den Aufgaben - Reelle und komplexe Zahlen

Lösungen zu den Aufgaben - Theorie der Reihen

Lösungen zu den Aufgaben - Stetige Funktionen

Lösungen zu den Aufgaben - Differenzierbare Funktionen

Lösungen zu den Aufgaben - Integrierbare Funktionen